第讲非齐次线性方程组解的结构

1、高等院校非数学类本科数学课程 线性代数 大大 学学 数数 学学（3） 第十二讲 非齐次线性方程组解的结构 脚本编写：彭亚新 教案制作：彭亚新 第五章 线性方程组 第三节 非齐次线性方程组解的结构 本节教学要求： 理解非齐次线性方程组解的基本性质和解的结构。 能熟练地求非齐次线性方程组的通解。 第三节 非齐次线性方程组解的结构 一. 非齐次线性方程组解的基本性质 二. 非齐次线性方程组的通解 一. 非齐次线性方程组解的基本性质 非齐次线性方程组 :程组程组称为非齐次线性方右端不全为零的线性方 , 1 1212111 bxaxaxa nn ? , 22222121 bxaxaxa nn ? 221

2、1 。 mnmnmm bxaxaxa? ? 它的矩阵形式为 , BAX? , 其中 , 21 22221 11211 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? mnmm n n aaa aaa aaa A ? ? ? ? , 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n x x x X ? . 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m b b b B ? )1( 次线性方程组。也可用向量来表示非齐 , , , , , 2 1 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? mmn n n n mm b b b b a a a a a a a a a ? ? ? ?记 表示为则非齐次线性方程组可 2211 。bxxx nn ? 示法还有常用的线性方程组的表 ) , , 2 , 1 ( 1 。mibxa i n j jji ? ? ? 齐次线性方程组 , 0 1212111 ? nn xaxaxa? , 0 2222121 ? nn xaxaxa? 0 2211 。? nmnmm xaxaxa? ? )2( ) 1 ( 组。所对应的齐次线性方程称为非齐次线性方程组 )2( ) 1

4、 (均相同。的未知元的个数及系数与 , )2( ) 1 (仅右端不同。的左边完全相同与 基本性质非齐次线性方程组解的 1 性质 意两个解之差是它对应非齐次线性方程组的任 证证 21 的两个解，则是非齐次线性方程组和设BAX? 0,)( 2121 ?BBAAA? 0 的解。的齐次线性方程组即两个解之差是它对应?AX 。的齐次线性方程组的解 证证 , 0 则的解程组是其对应的齐次线性方?AX? 2 性质 性方程组个解与其对应的齐次线非齐次线性方程组的一 的解。是该非齐次线性方程组的一个解之和（差）仍 ,0)(BBAAA? ) ( 的解。仍是非齐次线性方程组即BAXA? 的一个解，是非齐次线性方程组

5、设BAX? 3 性质 , ),( (1) 21n ?的一个解组若已知非齐次线性方程 , 11 方程组的通解是其所对应的齐次线性 rnrn CC ? ? 均可表示为任意一个解则非齐次线性方程组的? ? 2211rnrn CCC ? ? 的形式。 证证 )(? 组的解是对应的齐次线性方程? 2211rnrn CCC ? ? 二. 非齐次线性方程组的通解 解非齐次线性方程组的通 基础解系为 , , , , 21r n? ? 2211rnrn CCC ? ? , ) 1 ( 为任意常数其中的通解为非齐次线性方程组 i C )2( )1( 的组所对应的齐次线性方程若非齐次线性方程组 , )1( 则称的一

6、个解组又已知非齐次线性方程? ) , , 2 , 1 (。rni? )(rAr? )1( 的通解求非齐次线性方程组 )1( 的一个解求非齐次线性方程组 )1( 组的通解所对应的齐次线性方程求 ? 例 解解 求解方程组 , 12 54321 ?xxxxx , 4343 54321 ?xxxxx 0895 54321 。?xxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 018951 434113 111211 A 13 r r ? 3 12 r r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 107740 107740 111211 23 r r ? ? ? ? ? ? ? ? ?

7、 ? ? 000000 107740 111211 4 1 21 r r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 000000 107740 451434101 4 1 2 r? . 000000 4 1 0 4 7 4 7 10 451434101 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 325 , , 2)( 。所以由于?rnAr : ) * ( , 0 543 的一个解则得到同解方程组令?xxx , 4 5 1 ?x , 14 2 ?x ) 0 , 0 , 0 , 4 1 , 4 5 (。? 得同解方程组 , 4 3 4 1 5431 xxxx? . 4 7 4 7 432 xxx? ) * ( :线性方程组的基础解系 得到对应的齐次为依次取 1 , 0 , 0 ; 0 , 1 , 0 ; 0 , 0 , 1 , 543 xxx , ) 0 , 0 , 1 , 4 7 , 4 1 ( 1 ? , ) 0 , 1 , 0 , 4 7 , 4