解析几何第四版习题答案第四章1讲解

1、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： 222?25?23)?(1(x?)z?(y? ?x?y?z?2?0?xx?y,z?c，试求这些柱面的方程。2）母线平行于直线1且（）母线平行于 轴；（解：（1）从方程 222?252)?(z?x?1)3?(y?)( ?x?y?z?2?0?222x25?z?2)?(y?3)?(3(z?y? 中消去，得到：322?5z0z?yz?6yy? 即： 2 此即为要求的柱面方程。x?y?M(x,y,z)M且平行于直线的直线方程为：2（）取准线上一点 ，过?00000z?c?x?x?tx?x?t?00?y?y?y?y?tt ?00?

2、zz?z?z?00M 而在准线上，所以0222?252)?(z)?(y?t?3)1(x?t? ?x?y?z?2t?2?0?222tx?y?3z?2xy?8x?8y?8z?26?0 后得到：上式中消去此即为要求的柱面方程。 2 M在准线上，所以： 而022?)t?2?y?(zx?t ?x?t?2(z?2t)?222t4x?25y?z?4xz?20x?10z?0 ，得到：消去此即为所求的方程。 x?y?z,x?1?y?z?1,与x?1?y?1?z?2 的圆柱面方程。、求过三条平行直线3 解：过?)y,1,1,1zM(x,，且方向为又过准线上一点的直线方程为： 1111t?x?xx?tx?11?tt

3、?y?y?y?y? ?11?ttz?z?z?z?11t 将此式代入准线方程，并消去得到：2220?2x?11y?5(x13?yz?zzx?xy?yz?) 此即为所求的圆柱面的方程。?ZS?,)X,Y(u)?ux(u),y(),z(u，母线的方向平行于矢量、已知柱面的准线为4 试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：Sv(u)?x?Y 与Xv?(u)x?x?Yv?(u)y?y ?Zv?(u)z?z?vu, 式中的为参数。?(x(u),y(uMx,y,z),z(u)M(M，则，过的母线与准线交于点证明：对柱面上任一点?M?vSM 即2x?2z?1?0,y?z?1?0的锥面方程。 、求顶点

4、在原点，准线为1O),z(x,yMM的直线为：与解：设为锥面上任一点，过 XYZ? xyztX?xt,Y?yt,Z?)X(,Y,Zzt，将它们代入准线，即存在，使设其与准线交于000000t，得： 方程，并消去参数22?)0z?y)2z(z?y?(x? 222x?y?z?0 即：此为所要求的锥面方程。 222x?y?z?1,x?y?z?0)1?,(3,2? ，试求它的方程。，准线为、已知锥面的顶点为2),zM(x,y 解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：2Z?X?3Y?1? 2z?x?3y?1t)Z(X,Y, ，使令它与准线交于，即存在000t3)3?(x?X?0?t)?(y?!Y?

5、1 ?0?t)?(z?2Z?2?0t 将它们代入准线方程，并消去得：2220?4z?4xz?4x?43xy?5y?7zyz?6xy?2?10 此为要求的锥面方程。 4、求O)zy,M(x,M 的母线为：与顶点对锥面上任一点，过ZXY? zxytzt,Z?xt,Y?yt(X,Y,Z)X，将它们代入，使令它与准线的交点为，即存在000000t 准线方程，并消去得：0zx?xy?yz? 此即为要求的圆锥面的方程。0z?x?2y?2)1(3,4),2,1(,2 的圆锥面的方程。5、求顶点为垂直，且经过点，轴与平面4?y?2z1x? 解：轴线的方程为： 122),32,1( 过点且垂直于轴的平面为：01

6、)?2)?(z?y(2x?3)?2( 0?112y?z?2x? 即：372011),(),2,1(3 ，它与该平面与轴的交点为的距离为： 999116372011222?)?(?1)?d(?3?(2) 3999? 要求圆锥面的准线为：?zy,?x ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：的径矢为0000?)?v)?(1?v(u 0与 x?vx(u)?(1?v)x?0?y?vy(u)?(1?v)y ?0?z?vz(u)?(1?v)z?0u,v为参数。式中， ?OM),zM(x,yA的连线交准它与顶，令点线证明：对锥面上任一点于，?(u?)OM)z(u(x(u),y(u)M,?。 ，即

7、 ?0AMAM/AM（顶点不在准线上），且 ?vAM?AM ?)?u?v()?( 即00 ?)v(1?(u)?v? 亦即0 此为锥面的矢量式参数方程。 若将矢量式参数方程用分量表示，即： x,y,z?vx(u),y(u),z(u)?(1?v)x,y,z 000x?vx(u)?(1?v)x?0?y?vy(u)?(1?v)y ?0?z?vz(u)?(1?v)z?0u,v为参数。此为锥面的坐标式参数方程， 4.3旋转曲面 1、求下列旋转曲面的方程： x?1y?1z?1xyz?1?（1旋转 ）绕； 2?1?21111yz?1xyz?x? 绕旋转；（2） 211211?z1x?y?z （3轴旋转；）绕

8、33?12?z?x?z轴旋转。绕 （4）空间曲线?22x?y?1?x?1y?1z?1M),xM(yz,? 的纬圆为：）设（解：1上任一点，过是母线 1111121?1(x?x)?(y?y)?2(z?z)?0(1)?111 ?222222(2)1)(z?1)?x?y?x?y?(z?111xyz?1111M?(3) 因 在母线上， 121?1x,y,z，得到：1）（3）消去 从（111222?12xy?24yz?24xz?24x?24y?46z5x?5y?23z23?0 此为所求的旋转面的方程。 M(x,y,z)，过该点的纬圆为：（3）对母线上任一点 1111z?z(1)?1 ?222222(2)

9、zx?y?yx?z?111x?1yz111M? 又在母线上，所以：（3） 11?33x,y,z，得到： 从（1）（3）消去111222?6z?9)?10z9(x?y0 此为所求的旋转面方程。 M)zy,M(x,的纬圆为：）对母线上任一点（4 ，过11111z?z(1)?1 ?222222(2)zx?y?xy?z?111M 在母线上，所以又12?(1)z?x?11 ?22(2)?xy?1?11x,y,z，得到：1）（3 ）消去从（11122?1?xy 2?1?0?zxz?z?1 11 22x?y?1(0?z?1) 即旋转面的方程为： ?z?xy?,z可能的值讨论这是什轴旋转，求这旋转面的方程，并

10、就2、将直线绕 ?01么曲面？ 解：先求旋转面的方程式：M)z,y,M(x的纬圆为： ，过任取母线上一点11111z?z(1)?1 ?222222(2)y?z?z?x?x?y?111?z?xy111? 又 （3） ?01x,y,z，得到： ）（3）消去从（111122222?xz?y0? 此即为所求旋转面的方程。 ?0,?0z轴为轴）；当 时，旋转面为圆柱面（以?0,0?z轴为轴，顶点在原点）当； 时，旋转面为圆锥面（以?,0z轴；时，旋转面变为当 ?0,0?时，旋转面为单叶旋转双曲面。 当?)(uz?zy?y(u),(x?xu),z轴旋转，将曲线，的参数方程为求旋转曲绕3、已知曲线面的参数方

11、程。 ?p(x,yu),z)(M(x(u),yu),z(M，为 上任一点，则对经过解：如图，设 的纬圆上任一点z 4.4椭球面 222zyxx?2?0?1?与椭球面1、做出平面的交线的图形。 M(x(u),y(u),z(u) 2494222zyx02?x?1?与椭球面解：平面的交线为： 249422?zy22?1?3zy? 27?3 椭 ，即944? 4?2?x?2x? x 图形为 z?x zO y x?4(1,0,0)的距离的一半，试求此动点的轨迹。的距离等于从这点到平面 2、设动点与点?),zx,yM(，则解：设动点，要求的轨迹为 op?r,op?r,op?rp,pp,，试证：条两两相互垂

12、直的射线，分别交曲面，设312213321111111? 222222rrrabc312222?1iii?(i?1,2,3) 证明：利用上题结果，有 2222cbrai?op, 是的方向余弦。其中iiii?,2,3)1op(i?,是坐标矢量关于所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则若将321i 222222222?1?1?1?， ，新坐标系的方向余弦，从而同理，311223321 所以， 111111222222222?)?(?)?)?(?(? 323121231222222rrrabc321 111? 222cab111111?即： 222222crrarb312A,B,Cxoyyoz,z

13、ox,，当直线变动时，直线上的三定点于三点5、一直线分别交坐标面A,B,Cp，它与三点的距离分别为也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点a,b,cA,B,Cp点的轨，当直线按照这样的规定（即保持分别在三坐标面上）变动，试求迹。 A(0,y,z),B(x,0,z),C(x,y,0)，则知： 解：设321213xzzy2112?xy, 33z?zz?z1221yzxz1212,0)(?C, z?zzz?1212 cpB?b,pA?a,pC?),y,zp(x 又设， ? ?2222(1)z?z)ax?(y?y)?(11?2222(2)bz?z)?)(x?x?y?( ?22?yzxz2222?

14、1212(3)?z?(x?y?)c zz?z?z?1122z?y?yzx11?pAB ）又（在4的连线上， z?x?yz1112zz,x,y, ）消去，得到从（1）（4211222aa2?1?)?(1? 即： 22cb222bac?2? 222ab?c 22c?ba? 22acb? 满足要求的平 zz 222zxy?1(A?B?C?0) 2、给定方程 ?A?CB?A,B,C的各种数值时，它表示怎样的曲面？ 取异于试问当222zxy?1(A?B?C?0) （*）解：对方程 ?A?CB?A时，（o、当*）不表示任何实图形； 1?BA时，（*2o、当）表示双叶双曲面； ?CB?时，3o、当（*）表示

15、单叶双曲面； ?C时，（*）表示椭球面。 o、当4222zxyxoz1?yoz面）（或使这平面平行于已知单叶双曲面3，、试求平面的方程，面 494且与曲面的交线是一对相交直线。 x?k，则该平面与单叶双曲面的交线为：解：设所求的平面为 222?zxy?1? （*） 944?x?k?222?kyz?1? 亦即 449?x?k?2kk?21?0）为二相交直线，则须： ，即为使交线（* 4x?2 所以，要求的平面方程为：y?3xoy 同理，平行于则该平面为：的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，x?1(4,0,0)的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 4、设动点与的距离等于这点到平面22x?20

16、y?24x?116?0 解： 此即为要求的射影柱面方程。 mmCllA,B两点分别与6、设直线是与的公垂线的中点，为互不垂直的两条异面直线，ml?ACB?90AB的轨迹是一个单叶双曲面。 在直线上滑动，且，试证直线 ?mxmCllz，公证明：以作为坐标原点，再令，轴与的公垂线作为的夹角均为轴， ?mc2l?tg的方程分别为：，若设，则垂线的长为 z ?x?0y? :l ?c?z?A(x,y,c)l 11 ?0x?yO?y :m ?c?z?x? )(Ax,y,cB(x,yc,? ，则有：令2112? ?0x?0,y?y?x m2121222222222AC?CBx?y?c?x?y?c?(x?x)

17、?(y?y)?(2c) 又，所以：222121112xx?yy?c?0 亦即 （2） 2121M(x,y,z)AB 上任一点，则为又设x?xy?yz?c11? (3) x?xy?y?2c1212x,y,x,y，得：3）中消去 从（1）（2211222222222?c?(1?z)(1?y?)x 222zyx?1 (4) 即： 2222?ccc 22?11?m?l1 不垂直，AB的轨迹是一单叶双曲面。）表示单叶双曲面，即 （47、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为： x?asecucosvx?atgucosv?vusiny?bsecy?btgusinv 与 ?ctguz?z?csecu?

18、 解为：22yx?2z 22abab 令确定与1(,?1,1)61?(,2,均在该曲面上。 和 3?有： 41?12? 22?ab ?11?2? 22b9a?13616?,? 从而 2255ab22yx636?2z 所以要求的椭圆抛物面的方程为： 552218x?3y?5z 即：2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程： （1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹； ?2a2。已知两异面直线间的距离为 ，夹角为与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，（2）xoyxoyz轴，则定点的坐标设为面，过定点且垂直于面的直线作为1解：（）取定平面为c0z?),(00a ，则，并令所求的轨迹为，设比值常数

19、为，而定平面即为222)a?(zx?yc)?M(x,y,z 点z222220a?2az?y?(1?c)zx 即 此为的方程。x轴，使其与二异面直线的夹）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取（2 角相等，则二异面直线的方程为：?x?tgtg?x?00yy? 与 ?zz?a?a? ，则设所求的轨迹为222yxxz?az?ay?tg1tg001?)M(x,y,z?2?tg1? 222yz?axxyz?a?tg?1?tg100?2?tg1?解：略。 5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成： ?x?a(u?v)vaucosx?y?b(u?v)vbusin?y 与 ?z?2uv1

20、?2?uz? 2?v,u 为参数。式中的 解：对方程?x?aucosv?y?businv ?12?uz? 2? 22yx?2zvu, 消去参数得： 22ab这正是椭圆抛物面的方程。 对方程)va(u?x?)vb(u?y? ?uv2z?22yxz2?u,v 消去参数得： 22ba 这正是双曲抛物面的方程。 单叶双曲面与双叶双曲面的直母线 4.7 求下列直纹面的直母线族方程：1、 2220?xz?y?axy?z ） （2 （1） 222y?x?z ）从原方程得：解：（1y?y?)(x?z)?(x?z 即：ty?z?x?yx?z?t? 亦即：? y?x?z)t(zxy? 为了避免取极限，将上方程写成

21、：tyz)?s(x? （ 1） ?sy?xz)t?(?vxu(y?z)?222x?y?z 2若将原方程变形为：） 则可得到：， （?ux?v(yz)?11)(t?(t?s)vsu? ）便是（1，则（，若令222t,s? 不全为零。1原曲面的直母线族是（），其中zay? （2）原方程变形为： xztay? 亦即： xxtz? 1 ） （ ?t?ay?zax? 由 ysy?z? （ 得： ）2 ?s?ax?（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。 ?为参数）求下列直线族所成的曲面（式中的 2、 ?4?4zx?2y2?zyx?（1）； （2） ? ?01?1z?44x?2y?2?yx解：（1）原方

22、程等价于 ?z?2?z?x?y 从此式中消去，得：此即为直母线（1）所形成的曲面。 22yx2?1z?得：）从原方程中消去（2 164此即为（2）的直母线族所形成的曲面。 22yx?z3x?2y?4z?0的直母线。 3上，求平行于平面、在双曲抛物面 16422yx?z的两族直母线为： 解：双曲抛物面 164xyxy?u?v? ?2442 及 ?yyxx?z?zv(u(?)?)? 2424?2,?1,u 第一族直母线的方向矢量为：2,1,v 第二族直母线的方向矢量为：据题意，要求的直母线应满足： 2?3?2?4u?0?u?1 2v?0?2?32?4v 要求的直母线方程为：xyxy?2?1? ?2

23、424 及 ?yzxyx?z? 24224?222zxy?1xoy面上的射影，一定是其腰圆、试证单叶双曲面4的任意一条直母线在 222abc 的切线。22?yx?1? 22 证明：单叶双曲面的腰圆为ba?z?0?两直母线为： yxz?v(1?)? ?acb ?xz1y?(1?)? bacv?1y12x?v?(?v)? xoy 它在 面内的射影为： （2） vbva?z?0?将（2）的第一式代入（1）的第一式得： 2y411y2v?(?v)?4 2vbvb112112222(v?)y?(?v)y?(?v)?0 即： 22vbvbv上述方程的判别式为： 1414122220?)(?v)(?v)?(

24、v? 222vvbvb? （2）与（1）相比，证毕。 x?6yz?1xy?8z?4?0y?5?2x?3平而且与平面相交，5、求与两直线与 32132?21行的直线的轨迹。 (x,y,z),(x,y,z)，则解：设动直线与二已知直线分别交于 110001x?6yz?1xy?8z?4000111?， 32132?212(x?x)?3(y?y)?00?y5?2x?3 又动直线与平面平行，所以，1001 x?xy?yz?z000?)xM(,y,z ，有：对动直线上任一点 x?xy?yz?z01001122yx?4zx,y,z,x,y,z，得到：）消去）（ 从（14 10010194 6、求与下列三条直

25、线 x?1x?1?x?2y?1z?2? 与 ， ? z?yz?y53?4?都共面的直线所构成的曲面。 x?1x?1?及直线 解：动直线不可能同时平行于直线?y?zy?z?),p(1 不妨设其与第一条直线交于?(x?1)?(y?z)?0)p(1, 注与第二条直线的平面为：x?2y?1z?2?0?y?z)3(x?1)?(x?1)?3(y?z)?p 的平面为过与直线 ?345?(x?1)?(y?z)?0? 动直线的方程为：?(x?1)?3(y?z)?3(x?1)?(y?z)?0?222?x?y?z?1 ，得：从上式中消去参数此为所要求的轨迹方程。 7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经

26、过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。 222zxy?1的一族直母线为： 证明：单叶双曲面 222abcyxz?u(?)?v(1?)? ?acb ?xzy?v(?)?u(1?)? bac?xzyxzy?)?v(1?)?tv(?su()?u(1?)?0 过该族中一条直母线的平面为： acbacbxzyxzysu(?)?sv(1?)?tv(?)?tu(1?)?0 即： （1） acbacbxzy?)?n(1)m(? ?bac 另一族直母线为：?yzx?)?m(1n(?)? bca?xzyxzy?)?n(1?(km)?ln(?)?m(1?)?0 过该

27、族中一条直母线的平面为： acbacbxzyxzykm(?)?kn(1?)?nl(?)?ml(1?)?0 即 （2） acbacbm?s,k?u,n?t,l?v，得（2、1对照（）（）得，只要令2）便是（1）了 uv族中的一条直母线，族每一直母线的任一平面都经过 亦即过v 族的直母线也有类似性质。同理，对22yx?2z 对双曲抛物面： 22ab其族直母线为： xy?2u? ?ba （*） ?yx?z?)u(? ba?xyvu?2u通过直母线（，显然平面），但该平面不通过*族直）取其中的一条（即取定 ab 母线中的任何一条，这是因为：v 族直母线xy?w? ?ab ?xy?)v?(z? ab?1

28、12v,的方向矢量为 abab2v1112100? 而 abbbaabayxvu2? 族中的任何直母线。不能通过平面 ba222zxy?1上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。、试求单叶双曲面 8 222abcuv母线，母线和一条解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条 所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为： yxz?w(?)?u(1?)? ?acb ?xzy?u(?)?w(1?)? bac?xzy?)?(1?)?vt(? ?bca ?yzx?)(1?)?t(v? bac?将两方程化为标准式，得： 2222wuw?)a(u?zx?y 2uwuw2? 2222buw2)u?w

29、)c(a(u?w2222)t?v)a(ta(v?x?z?y 2vt2vt? 2222bvt?2)t?v(c)t?v(a由此求出二直线的交点坐标为： a(uv?wt)b(vw?ut)c(uv?wt),x?y?,z? vw?utvw?utvw?ut又二直线垂直， 22222222222)?v0c?(u?wt)(v?tw)?4b)(uvwt?a(u 222222)?cwt(vw?ut)auv(uv?wt)?b222?y?z?x 2)utvw?(222222222222222222)cbuvwt)?)?c2(au(u(vv?wat)?b?(vww?utt? 2)?ut(vw22222222222222)uvwt?2(vawc?(uuv?wttb)(ac?)?b? 2)vw?ut(222222222222222uvwt4cb)?2w(v?uatuvwt)?b?(vbw?ut(a?c?)(? 2)?ut(vw2222222)uvwtu?c?)(wtv2(a?b? 2)?ut(vw222ca?b? 222222cb