50知识梳理不等式的综合应用(提高)(20210112130109)

1、不等式的综合应用 【考纲要求】 1在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解 法.通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力； （组），会 2掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式 用分类、换元、数形结合的方法解不等式； 3. 通过复习不等式的性质及常用的证明方法（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等），使学生较灵 活的运用常规方法（即通性通法）证明不等式的有关问题； 4. 通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力； 5. 能较灵活的应用不等式

2、的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题. 6. 通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部 分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本 知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：不等式问题中相关方法 1. 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、 函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.在解不等式 中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不

3、等式化归为较简单的或基本不等式， 通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运 用图解法可以使得分类标准明晰. 2. 整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函 数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、 数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们 有机地联系起来，相互转化和相互变用. 3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，

4、将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数 的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰.通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解 变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用. （商）7变形 4 .比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差 7判断符号（值）. 5证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维 等，将会起到很好的促进作用在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择 适当的证明方法.通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等 式

5、得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执 果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相 成，达到欲证的目的. 6 .证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的 基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思 维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点. 考点二：不等式与相关知识的渗透 1.不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体 现了一定的综合性、 灵活多样性，这对同学们将所

6、学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用. 在 解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解 或证明.不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题，方程(组)的解的 讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最 小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。 2 .不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等 式；另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“

7、正数、定 值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件.利用不等式解应用题的基本步 骤：审题，建立不等式模型，解数学问题，作答。 要点诠释：解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一 元二次不等式(组)来求解，。 解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。 不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选 用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。 【典型例题】 类型一：不等式求解问题 例1 .

8、解关于 【思路点拨】 解：不等式 1) x a=1 时, 竺1. x 2 考虑转化为整式不等式。 a.1 可化为(a Qx 20 . 2x 原不等式的解集为 x的不等式 2 x|x 2) 1时, 原不等式的解集为 x|x 3) 10,则原不等式可化为 a 2 x 1 a x 2 2； 2 -或 x2; 1 故当0 a 1时，原不等式的解集为 x|2 当a 0时，原不等式的解集为 当a 0时，原不等式的解集为x| 2 2 x 1 a 【总结升华】 分式不等式应移项、通分，转化为整式不等式。这是解决分式不等式的基本方法和思路。 举一反三: x 2 2 【变式1】己知三个不等式： 2x 4 5 x

9、1 2x2 mx 1 0 x2 3x 2 (1) 若同时满足、的 x值也满足，求 m的取值范围； (2) 若满足的x值至少满足和中的一个，求 m的取值范围。 解：记的解集为A，的解集为B，的解集为C。 解得 A= (-1, 3);解得 B= 0,1)(2,4 , A B 0,1)(2,3) (1)因同时满足、的 x值也满足，ABC 设f (x) 2x2 mx 1，由f (x)的图象可知：方程的小根小于0,大根大于或等于3时，即可满足 (2) 此C 因满足的 (1,4 f(0) 01 017 即m f(3) 03m 17 03 x值至少满足和中的一个， C A 方程2x2 mx 10小根大于或等

10、于-1, B,而 A B 大根小于或等于 1,4因 4,因而 f( 1) 1 f (4) 4m 310,解之得 31 m 1 4 【高清课堂：基本不等式394889典型例题一】 【变式2】已知函数f(x) ax2 2x 1(a R) (1)若f(x)的图像与x轴恰有一个公共点, 求 a的值; (2)若方程f(x) 0至少有一个正跟，求 a的范围。 解：(1)当a 0时函数f (x)为一次函数，符合题意; 当a 0时，函数f (x)为二次函数，则 4 4a 0，所以 a 1 综上，a 0或1. 当a 0时，f (x)0为一次方程，不符合题意; 0时，f(x) 0为二次方程，显然 f(0)1 所以

11、 当a a 0时有一正一负根，符合题意; 0时， x1 X1 x2 x a 类型二：不等式证明 综上, 的范围 0. 例2.已知 ABC的三边长是a, b,c，且m为正数，求证: 【思路点拨】寻找各项的统一性，可以从函数单调性方面来考虑。 证明：设f(x) -(m 0)，易知(0,)是f(x)的递增区间 x m c, f(a b) f(c)，即 b b m b b m a b a b b a b m 【总结升华】函数是高中数学的重要知识，很多问题都可以从函数的角度来思考和分析。 m、 举一反三： 【变式1】设函数f(x)定义在R上，对任意 m、n恒有f(m+n)=f(m) f(n),且当x0时

12、，0vf(x)v 1. f(0)=1，且当 XV 0 时，f(x) 1； f(x)在R上单调递减； A= (X, y)|f(x2) f(y2)f(1)，集合 B=(x, y)|f(ax g+2)=1 , a R，若 An B=，求 a 的 (1) 求证： (2) 求证： (3) 设集合 m 0, n=0 得：f(m)=f(m) f(0). / f(m)丰 0,a f(0)=1 n= m, (mv 0),得 f(0)=f(m)f( m) 1 ,V mv 0, m 0,.0v f( m)v 1 , f(m) 1 取值范围. 证明：令 取 m=m, f(m)= f ( m) 证明：任取 X1, X2

13、 R，贝u f(X1) f(X2)=f(X1) f (X2 X1)+X1 = f(X1) f(X2 X1) f(X1)=f(X1): 1 f(X2 X1)L f(X1 ) 0 , 1 f(X2 X1) 0,. f(X1) f(X2), 函数f(x)在R上为单调减函数. (3)由 f(x f (ax )f (1) 得 2) 1 f(厂 X2 ax ，由题意此不等式组无解, 0 数形结合得: |2L 1，解得 1 4a2 a2w 3 a ： 73, 73: 类型三：不等式与相关知识的融合 例3.(2015 甘肃一模)已知函数f X In 1 x(其中常数m0) X (1)当m=2时，求f X的极大

14、值. (2)时谈论f X在区间0,1上的单调性 当m 3, 时，曲线y f 上总存在相异两点 P Nf N ，Q x2, f x2 ，使得曲线 y f X 在点P,Q处的切线互相平行，求 Xi X2的取值范围. 【解析】(1)当m=2时, 5|nx 2 fx 2 2x 2x 1 2X2X 0 x 令f X 0可得0 令f X 1 0解得一 2 f X 1 在0,和 2 故f X 的极大值为 x 2, f 2 上单调递减, 单调递增 1 m X m X 当 1 m 1时，则一 m 此时 0,m 当 此时 0,1 当 1时，0 时, 此时 5ln2 X2 0,m , 上单调递减，在m,1 1 故

15、X 0,1 有 f X 上单调递减 上单调递增. 2 X 1 2 X 上单调递减，在 (3)由题意，可得 X2 m X1 1 2 X1 X2 1 2 X2 Q x1 x2由不等式性质可得 X1X2 X1 X2 X1 2 X2 3易知 1 X m X m 2 X 1 丄,1上单调递增. m X1,X2 1所以 0且X1 X1X2 X1 X2 x2 m,1 时，f X 0 0恒成立, 1 m x1x2 m 恒成立又x1, x2 ,m 0 Zr对m 3, 恒成立 1 在3, 上单增 2 2 Xi 6 X2 5 Xi x2的取值范围为 举一反三: 【变式】 （2015 辽宁二模）已知a a,b 0,

16、14 1+- |2x 1 |x 1 恒成立 4 的最小值; b （2）求x的取值范围. (1)求- a 【解析】 (1) Qa 0,b 4a V 当且仅当 2a时等号成立, 1 2 ?b 3时， 等号成立 14 故一一的最小值为 a b 9. 因为对a,b 0, l2x 所以|2x 1 1时，2 1 x 时, 2 3x 11 综上可知x的取值范围是 7,11 . 类型四：不等式相关应用题 例4 .如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米, y_j 7弋: i i A i ! L : 1 ! （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽I是多少? （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高 半个椭圆形隧道的土方工程最小？ h和拱宽I ,才能使 S= Ih,柱体体积为: 4 1.414 , 472.646本题结果均精确到 0.1 【思路点拨】显然本题是一个椭圆模型的实际问题，应该考虑从椭圆方面入手。 （半个椭圆的面积公式为 底面积乘以高, 米） 【解析】1）建立如图所示直角坐标系，则P（ 11, 4.5 ） 2 2 椭圆方程为：冷与 1 a2 b2 将b=h=