例谈以形助数思想在解题中的运用

1、例谈“以形助数”思想在解题中的运用 温州第二高级中学 庄迁福数形结合思想是高考重点考查的数学思想方法之一，也是一种重要的解题方法。在教学实践中，笔者发现学生对“以数辅形”运用比较熟练，能将平面或空间图形放进坐标系中，转化为代数的问题加以解决，但对“以形助数”方面往往缺少意识。下面，本文以2012年浙江省高考试题为例，巧妙地运用“形”的直观性与灵活性，使问题的解决更简便与深刻。一、坐标系中的形例1.（理科9题）设，A.若，则. B.若，则.图9-1C.若，则. D.若，则.解析：对于A,B两选项，考查的是函数与，如右图9-1所示，在部分，始终有.所以当时，则，故A选项正确.图9-2对于C,D两选

2、项，也画出与的图像，如右图9-2所示，当时，的大小关系无法判断，故C,D两选项都错.例2.（理科16题）定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离.已知曲线: 到直线：的距离等于曲线：到直线：的距离，则实数=_.解析：可算出曲线到直线的距离为，由图形可知，要使曲线到直线的距离也为，则曲线要与相切.设切点的横坐标为，则有，即，解得.例3.（理科17题）设，若时均有，则=_.解析：设，因为，要使对恒成立，由图像（右图）可知，与在部分有相同的零点，即，解得.感悟：坐标系中的“形”主要指函数与方程的图像，先建立坐标系，再将函数的解析式与圆锥曲线的方程转化为图形语言，挖掘其自身的几何意义，

3、揭示“数”的本质关系，将抽象的问题转化为直观问题，寻找解决问题的突破口。二、平面空间的形例1.（理科5题）设，是两个非零向量，A.若，则.B.若，则.C.若，则存在实数，使得.D.若存在实数，使得，则.解析：在平面上任意画两个向量与,有两种情况，一种是与不共线，由三角形的两边之差小于第三边可知，所以A,B选项都不正确；一种是与共线，此时若两者同向，则有，若两者反向，则有，故选C。 例2.（理科10题）已经矩形，.将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A.存在某个位置，使得直线与直线垂直.B.存在某个位置，使得直线与直线垂直.C.存在某个位置，使得直线与直线垂直.D.对任意位置，三对

4、直线“与”，“与”,“与”均不垂直.解析：如右图所示，当沿对折时，得到，因此在翻折过程中，存在某一位置，使得A点在底面的投影落在边BC上，此时，所以，选B. 例3（理科15题）在中，是的中点，则=_.解析：.感悟：平面空间的形主要指平面图形与空间中的立体图形，在解决问题中，要求先画出图形进行观察，再关键抓住图形的某一个特征，如例1中的共线与不共线情况，例2中对折后图形位置，例3中是的中点的特性，优化解题过程。三、代数结构的形例1.（理科13题）设公比为的等比数列的前项和为.若，则=_.解析：由，的代数结构的形相同，可将两式进行作差得到，即，解得.感悟：代数结构的形是指代数式中具有对称性、变量等价、统一性等规律性，可以用指定地方法来求解。例如例1中两式有相同的结构，具有很好的统一性，作差法可以简化求解过程；再如解析几何中的点差法也是从两式结构一