动力学计算题

1、一、质点运动微分方程 解题要求：明确研究对象画受力图列方程求解 1、半径为R的偏心轮绕O轴以匀角速度转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。导板顶部放有一 质量为m的物块A,设偏心距OC=e，开始时OC沿水平线。求：（1）物块对导板的最大压力；（2）使物 块不离开导板的0）最大值。（提示：列A的运动方程求加速度） 卩 X 解：建立如图b所示直角坐标系Oxy，导板与物块均沿y轴线作直线运动，导板作平移，其 运动规律为：y = R + esinw t,对时间求2阶导数得: 2 a y = -ew sinwt 如图c。物块对导板的压力与 F N等值、 y轴的投影式为： 物块A受重力mg和导板的约束力

2、F N作用, 反向、共线。由图C得，物块A的运动微分方程在 Fn -mg = may 把（1）带入（2），可得 2 Fn = m(g e sineot) 因此，物块对导板的最大压力为 FNmax =m(g 飞) 要使物块不离开导板，则应有 FNmin =m(g 32) 0，即 g e时2 ,尬乞 2、质量m =6kg的小球，放在倾角 a =30的光滑斜面上，并用平行于斜面的软绳将小球固定在图示 位置。如斜面以a =的加速度向左运动，求绳的张力和斜面的反力；欲使绳的张力为零，斜面的加速 度应该多大？ 解：以小球为研究对象， 进行受力和运动分析, 角坐标系Oxy。 小球跟随斜面一起沿X轴反方向以3

3、=% 据质点运动微分方程有: T cosa - Fn sin a = -ma T sin a + Fn cosa mg = 0 代入数据，求解得 Fn =（3 如 1）g T 专（g _73a）=（3_j3）g 要使T =0,即a 3 +5- 二、动量定理 解题要求：明确研究对象画受力图运动分析求动量列方程求解 1、在图示系统中，均质杆 OA、AB与均质轮的质量均为m， OA杆的长度为1,，AB杆的长度为1?， 轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA杆的角速度为，求整个系统的动量。 解：OA杆: AB 杆: P2 =mli (水平向左) 均质轮 B : P 3（水平向左） 5 系统

4、的动量 P = P, + P2 + P3 = ml, (水平向左) 2 2、一凸轮机构如图所示。 半径为r ,偏心距为e的圆形凸轮绕O轴以匀角速转动，带动滑杆D在套筒 E中作水平方向的往复运动。已知凸轮质量为 m,，滑杆质量为 m2，求在任一瞬时机座地脚螺钉所受的动 约束力。 二阡吧童 J jA-. 2） 解取凸轮机构为研究对象，设基座重 时，凸轮轮心在轴x 上点O的右边, m3g，重心在点C，建立图b示定坐标Oxy，设运动初始 如图C所示。根据质心坐标公式，得 m2ecos 叭+ mecos矶 + y + a) + m3b Xc = m, + m2 + m3 m2esin t - m3h m

5、, + m2 + m3 将上述各量代入上式, (m, t求2次导数，得 2 + m2 +m3)x (m, +m2)eB cot 并对时间 (m, + m2 + m3)y = -m2 sint 设螺钉总水平约束力为FRx，总铅垂约束力为FRy，如图c所示。据质心运动定理有 (mi +m2 +m3)Xc =Frx (mi +m2 +m3)yC =FRy (m, +m2 +m3)g 比较方程组（1）和（2），得任意瞬时机座螺钉的总约束力为 2 Frx = -(mm2) cos祖 2 FRy =(m1 +m2 +m3)g -m?能 sint 故总动约束力为 C Ol a O 2 FRx =(mi +m

6、2)e cosoot FRy = -m2 2 si 4、图示质量为 m、半径为R的均质半圆形板，受力偶 M作用， 在铅垂面内绕O轴转动，转动的角速度为 O，角加速度为a。 c点为半圆板的质心，当 OC与水平线成任意角 半时，求此瞬时 轴O的约束力（Oc = I3兀丿 解：以半圆形板为研究对象，建立 Oxy坐标系，进行运动和受力 分析（如图）。 统动量 p = mvc Vc =oc Px Py 4R .茁 -m sin 3兀 4R =mvcv = m cos 甲 3 = mvcx 其 （2）由根据动量定理霁= *i：，罟=2 Fi；有 4R2 m(a sin 申+ cos) = FOx 3 4R

7、 -m（acos半一时2sin） = FOy -mg 3兀 故此瞬时轴O的约束力为： 4R FOx =-7m(Gs in W+2cosW) 3兀 4R FOy =mg- m(GcosW-2si n) 3兀 3、图示长I、质量为mt的均质细长杆 OA与A质量为 接在一起。已知图示位置 OA杆的角速度和角加速度分别为 m2的均质圆盘焊 C和a ,杆 与水平线的夹角为9,求轴承O处的约束力。 解1:用质心运动定理。 以杆与圆盘组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。 （1）确定系统质心坐标 xlco前，yCIsinO mi +m2 mi +m2 , m, + 2m2 OC，=-l 2(mm2)

8、 (2)计算系统质心加速度 ac” =OC x 仝斗2 2(mm2) m, +2m2 la 2(mi +m2) aC x 一aCcos日-aC罰- 0+沁2 105 2(mi +m2) 2(mi +m2) ac y = aCsin 日-aCfcosQ m, +2m22 c m, + 2m2 一1 l2sin0 - lotcosT 2(mi +m2)2(m1 +m2) 根据质心运动定理，有 F Ox m, +2m2 = (mi+m2)aCx=- 1(2 cos8sin9) F Oy -(mi +m2)g =(mi +m2)acy mlQsinO-cos 巧 F Ox = (mi +m2)acx

9、=-mi ；2m2 2 I (2 cosT +a sin 日) F Oy = (mi +m2)g + mi ；2m2 |2sj门日co) 解2:用动量定理 以杆与圆盘组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。 (1)计算系统动量 Px = (m, +m2) mij +m2 m1, 1 2 +m2 Py = -(rn “2)二一 m, +m2 d Px. F (e) d Py 由 dt (2)根据动量定理，有 dt mi 一(二 + m2)l(a sin 0 +2 cos0) = FOx 2 -(匹 +m2)1 (a cosQ -时2sin 0) = FOy -(mi, +m2)g 2 y

10、解之，得 m1C 2 C Fox =-(+m2)l(asin0 + cosQ) 2 m2m22 cc FOy =(, +m2)g + l(时2sin9 -a cosH) 3、如图所示，质量为m的滑块A，可以在水平光滑槽中运动， 具有刚性系数为 另一端固定。杆AB长度为丨，质量忽略不计，A端与滑块A铰 接，B端装有质量 m，在铅直平面内可绕点 A旋转。设在力 偶M作用下转动角速度 为常数。求滑块A的运动微分方程。 解：取滑块A和小球B组成的系统为研究对象，建立 向右坐标X，原点取在运动开始时滑块 A的质心上, k的弹簧一端与滑块相连接, 4 M B Wl 则质心之X坐标为（?=3 t）： mx

11、+ mi(X +丨 sin ct) XC m +m1 XC = X + iJsi nt m + 5 工 ） 根据系统质心运动定理， 有: （m +m 1）xC -kx (3) 把（2）带入（3）有: mi =丨豹 2 sint m + 此即滑块A的运动微分方程。 B点的轨迹方 Xc = l COS% 5、均质杆AB长21，A端放置在光滑水平面上。杆在如图位置自由倒下, 程。 解：取均质杆AB为研究对象，进行受力分析（图b所示）. 因为杆只受铅垂方向的重力 W和地面约束反力FN作用， 且系统开始时静止，所以杆AB的质心沿轴x坐标恒为零， 即 设任意时刻杆AB与水平x轴夹角为0，则点B坐标为 Xb

12、 = l COS% + l COS2叶-m4知，M2由静止向下运动， 可应用动能定理确 定M2的速度。设M2下降h距离时的速度为V,则动滑轮02的角速度 定滑轮01的角速度 2v 根据动能定理 Wi 2 = T 2 - T 1 12 12 1 12 2 11 m2gh +m 4g2m1g - m2vm4v + -口42 2)+ -x- 2 2 2 2 2 2 I 4gh(m2-2m1 + mJ *2m2 +8m1 +4m3 +3m4 3、周转轮系传动机构置于水平面内，已知动齿轮半径r,重P,可看作均质圆盘；曲柄 OA重Q, 均质杆；定齿轮半径为 R。在曲柄上作用一常力偶 M，机构由静止开始运动

13、。求曲 柄转过角时的角速度和角加速度。 解：以整个系统为研究对象，在系统运动过程中只有力偶矩M作功。 (1)设曲柄OA的转动角速度为 3 1，动齿轮的转动角速度为 (J) 2。 动齿轮中心点A的速度为: 可看作 Va = co 1 OA = (R + r)co1(1) 又因两齿轮啮合点为动齿轮的速度瞬心，故 R + r 由式(1)、式(2)得：O2 =1 r (2) 曲柄OA的质心C点的速度 OA1 _ 、 Vc =叫=(R+r)叫 22 (3) 初态：机构静止；末态：曲柄转过0角时，则 a III O 1 1 Q2 2 T2咒旦(R + r)2眉12 2 3 g Pr2)话 g 根据动能定理

14、，有 + 3x P(R + r)2硏 4 g 1 Q M 护=-x (R + r )2 时; 6 g + ?xP(R + r )2笛1，解之得 4 g 丄戲(与M同向) R + r V9P+2Q 3 1两边对时间t求导，即得曲柄转过 0角时的角加速度 6Mg d1 2 貞=(R + r)2(9 P+2Q)(与3 1 同向) 3、原长ho = 400mm、刚度系数k=2kN/m、不计质量的弹簧一端固定于 0点，另一端与质量m=10kg的均 质圆盘中心A相连。开始时0A在水平位置h, = 400mm,速度为零。求圆盘在铅垂平面内沿曲线轨道纯 滚动到0A处于铅垂位置时盘心的速度。此时 h2 = 40

15、0mm。 2、电绞车提升一质量为 m的重物P,如图所示，电绞车在 主动轴上作用一不变的转动力矩 M，已知主动轴和从动轴连 同安装在这两轴上的齿轮以及其他附属零件的转动惯量分 别为J1和J2，传速比 三 =i，吊索缠绕在鼓轮上，此轮 Zi 的半径为R,设轴承的摩擦以及吊索的质量均可略去不计, 求重物P的加速度。 此轮半彳空为 肌设轴祇的摩擦 14-12如图14皿所示*电动绞牟提升1质最为用的物俶在主动轴上件用有1矩为 M的主动力偶.己知主动轴和臥动轴连同i装在这网轴上的齿轮以及其他附属零件的转动 惯姑份别为4和人；传动比W缝绕在鼓轮上. 和吊索的质吐均略i不讣.求物的加速味 II ia F、 F

16、： G -WId 粗g 图 14-12 (e) （1如图口-12b所示（0处堂力未标注，wun中用不到. L 工 =0 .F,R,+J, -M = Q （2）如图41k所小 下同 -F陶(b + C +放亶t + F胡=0 匸bg-脑eg +加 (C + b)(b+c) 欲使/= 炉 则汽车的加速皮町由 bg-hd?E + hd m_ = w f 十 Z?)(i + c) 解得 2h 形块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车 C fim 2、图示矩形块质量 mi= 100kg，置于平台车上。车质量 为m2=50kg，此车沿光滑的水平面运动。车和矩形块在 一起由质量为 m3的物块牵引，使

17、之作加速运动。设矩 加速运动而mi块不倒的质量m3的最大值，以及此时车 的加速度大小。 h-p G - 1 t a I上二 FFT. 祕 1 F 1 4 1 g 3 e、 取年与矩形块列研究对彖如图14孔所在愤性力为 巧 三 WI + HM ）盘=1 ?0 n 由动静法 二片=0耳片=0 片=1刃门 取矩形块为研究对象，欲求使年与矩形块一起加速运动血块m不倒的与垠大值，应考虑在 此时矩形块受车的约來力乐已集中到左侧点川，如懼1臭矗所示.且矩形块惯性力为 Fii = in 1 占 由动静法，不翻倒的条件为 0 S1 V灯d=a片.川_叫_ = 0 Ft= 150 =7 a I 同理可得变形后的禅

18、蠢度为 则弹性力 (1) 作坐掃系设BAC = 3.取6为广文坐标如W】5-8b所*応，则 匚=2Zcos6,Ap = if -h)cQs(,x =(/ + f)cost? 求坐标的变分： 0一0=-刀呂111 氐 6f.o.v=-(/-Z)sm66 邛心=Q + b)沁氐 8 F16心+ （-耳）右心+ F 6心=0 故右 + 珥 U + 方)2n)sm(2)得 F=F=P Q 拉) (2) 6 M 3、组合梁由铰链 C铰接AC和CE而成，载荷分布如 ?I 篡岬J易 图所示。已知跨度 l=8m ,P=4900N，均布力 q=2450N/m， 力偶矩M=49OON m ；求E支座反力。 ；山跨度/ = 力“ IMd组合梁由辛交链C连接討?和而成, 荷分布如ra Bm. P= 4 900N.血布力 = 2 450Nm