高等代数试题库

1、高等代数试题库 、选择题 1.在Fx里能整除任意多项式的多项式是( A.零多项式B .零次多项式 C .本原多项式D .不可约多项式 2.设 g(x) x 1 是 f (x) x6 2 42 k x 4kx x 4的一个因式，贝U k ( D .既不充分也不必要 )。 A.如果 f (x)g(x), g(x) f (x)，那么 f(x) g(x) B.如果 f (x) g(x), f(x)h(x)，那么 f(x)(g(x)h(x) A . 1 B . 2 C . 3 3 .以下命题不正确的是( a bi|a,b Q是数域; A.若 f(x)|g(x),则 f(x)|g(x) ； B .集合 F

2、 C .若(f (x), f (x)1,则f (x)没有重因式; D .设p(x)是f(x)的k 1重因式，贝y p(x)是f (x)的k重因式 4整系数多项式f (x)在Z不可约是f(x)在Q上不可约的() 条件。 A.充分 B.充分必要C.必要 5 下列对于多项式的结论不正确的是( C .如果 D.如果 f (x) g(x)，那么 h(x) Fx，有 f(x)g(x)h(x) f (x) g(x), g(x)h(x)，那么 f(x) h(x) 6.对于“命题甲：将n( 1)级行列式D的主对角线上元素反号，则行列式变为 D ；命题 乙：对换行列式中两行的位置，则行列式反号”有()。 A.甲成

3、立，乙不成立；B.甲不成立，乙成立；C.甲，乙均成立；D .甲，乙均不成立 7 .下面论述中，错误的是()。 B.代数基本定理适用于复数域; A.奇数次实系数多项式必有实根； C .任一数域包含Q； D .在 Px中，f (x)g(x) f (x)h(x) g(x) h(x) B. A 1; D. I A k, k 19.设A, B为n级方阵, N ,则“命题甲: A A ;命题乙: (AB)m AmBm ” 中正确的是（）。 A.甲成立，乙不成立；B . 甲不成立，乙成立; C .甲，乙均成立; D.甲，乙均不成立 20.设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则 A. A， B. An D.|A|

4、n2 n 21. 若矩阵A , B满足AB O，则（ A. A O或 B O ； B. A O 且 B 22. 如果矩阵A的秩等于r，贝y A.至多有一个r阶子式不为零； 而至少有一个r阶子式不为零； O ； D.以上结论都不正确 23.设n阶矩阵A可逆（n 2）, A. n 1 A A ； B. A 24. A. B .所有r阶子式都不为零； D.所有低于r阶子式都不为零 A*是矩阵A的伴随矩阵, C .所有r 1阶子式全为零, 则结论正确的是（ n 2 A A ； D. 设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则 I|A |A|=( 2 2 | A|n B. |A|n C |A|n n 2 D. |

5、A|n 25.任n级矩阵A与 A,下述判断成立的是 A. A A ； B. AX O 与(A)X O同解; C.若A可逆,则（A） 1 1)nA1 ; D A反对称，- A反对称 26.如果矩阵rankA r,则 A.至多有一个r阶子式不为零; 而至少有一个r阶子式不为零； ） B.所有r阶子式都不为零C 所有r D 所有低于r阶子式都不为零 1阶子式全为零, 27. 设A为方阵，满足AA 1 A1A I，则A的行列式I A |应该有 （ A. |A| 0 B. |A| 0 |A| k,k 1 D. |A| k,k 28. A是n阶矩阵, k是非零常数, kA ( A. k A ； B. Ik

6、lA ； kn A D. |k|n 29. A. 设A、B为n阶方阵，则有（ A , B可逆，则A B可逆 B. ）. A , B不可逆，则A B不可逆 30. A可逆，B不可逆，则 A B不可逆D . A可逆，B不可逆，则 AB不可逆 设A为数域F上的n阶方阵，满足 A2 2A 0 ,则下列矩阵哪个可逆（ 31. A. 32. A. 33. A. 34. A. A B. A I 21 A,B为n阶方阵，A O，且R（AB） 0,则 B O ； B. R(B) 0 ； C . BA O ； D . A , B , C是同阶方阵，且 ACB I ； B. BAC 设A为3阶方阵，且R（A） R(

7、A*)3 ； B. R(A*)2 ； R(A) R(B) n ABC I，则必有 I ； C . CAB )。 D . CBA 1，则（ C . R(A*)1 ； D . R(心 0 设A,B为n阶方阵，A O，且AB O，则（ A. B O B. B A2B2 35. 设矩阵 ，则秩A=（ A . 36. 2 n矩阵, C . 若（ D . 4 ），则AX O有非零解。 A. m B . R(A) n ； D . R(A) m 37. B是n阶方阵，则下列结论成立得是（ A. AB B. 38. AB l A| 设A为n阶方阵，且R A r n，则 A 中（ B .任意r个行向量线性无关 C

8、.任意r个行向量构成一个极 A.必有r个行向量线性无关 大无关组D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示 39.设A为3 4矩阵，B为2 3矩阵，C为4 3矩阵，则下列乘法运算不能进行的是 （ ）。 A. BCtAt B. ACBtC . BAC D . ABC 40.设A是n阶方阵，那么AA是（ A.对称矩阵； B.反对称矩阵; ） C 可逆矩阵；D.对角矩阵 41.若由AB AC必能推出B C （ A,B,C均为n阶方阵），贝U A满足（）。 A. A B. A O C . A O D.|A B0 42.设A为任意阶 (n 3)可逆矩阵，k为任意常数，且k 0,则必有(kA) 1()

9、 D. 1 A k A , B都是n阶方阵，且 A与B有相同的特征值，则( A. knA 1 43. A. 44. A. 45. 46. 47. B. kn1A 1 C . kA 1 A相似于B ； B . A B ； C .A合同于B ； 1 设 A -(B I )，则 2 B I ；(B) B 设n阶矩阵A满足A2 A. A 2I 设n阶方阵A满足A2 A. A 2I ; A2 B. 2A B. 设A为n阶方阵，且R A A的充要条件是() B2 I D. B2 2I D.| A 则下列矩阵哪个可能不可逆 0,则下列矩阵哪个一定可逆( r n，则 A 中( ). D. A D. A r个行

10、向量线性表示 )，则n元线性方程组 AX 0有非零解。 n C . m n D . A的秩等于m A.必有r个列向量线性无关；B .任意r个列向量线性无关；C .任意r个行向量构成一个 极大无关组； D .任意一个行向量都能被其他 48.设A是m n矩阵，若( B.A的秩等于 49. 设矩阵A aj mn，AX 0仅有零解的充分必要条件是(). A. C . 50. A的行向量组线性相关 A的列向量组线性相关 设A, B均为P上矩阵, B.A的行向量组线性无关 D.A的列向量组线性无关 则由()不能断言A B ； A. R(A) R(B) ； B.存在可逆阵P与Q使A PBQ A与B均为n级可

11、逆；D . A可经初等变换变成 B 51. 对于非齐次线性方程组 AX B 其中 A (aj)nn,B (bi)n1,X (Xj)n1，则以下结论不 A. 正确的是( A.若方程组无解，则系数行列式 A 0; B.若方程组有解，则系数行列式 C .若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解； D.系数行列式IA 0是方程组有惟一解的充分必要条件 52.设线性方程组的增广矩阵是0 0 1 ，则这个方程组解的情况是 2 A.有唯一解B.无解 C .有四个解D .有无穷多个解 53. A,B为n阶方阵 ,A 0,且 AB 0，则( ）。 A. A 0 ； B . R(B) n ；C. 齐次线性方程组

12、(BA)X O有非 54.当() 时，方程组 X1X2X31 ，有无穷多解 2为 2x2 2x3 A . 1B . 2 C . .3 D . 4 bx1 ax2 2ab 55.设线性方程组 2cx2 3bx3 bc，则（ ) cx1 ax3 0 o A.当a,b, c取任意实数时，方程组均有解。 B.当a 0 解；D.|A 56. A. 0时，方程组无解。 当b 0时，方程组无解。 D .当c 0时，方程组无解。 设原方程组为 AX b，且R A R A,b r,则和原方程组同解的方程组为 AtX b ； B. QAX b （ Q为初等矩阵）； C . PAX Pb （ P为可逆矩阵）； D.

13、原方程组前r个方程组成的方程组 设线性方程组AX b及相应的齐次线性方程组 A. AX 0只有零解时，AX 个解；C . AX b有唯一解时， 58.设n元齐次线性方程组 条件是（）。 A. r nB. r n 57. AX AX b有唯一解；B . AX AX 0只有零解；D. 0的系数矩阵A的秩为r 0,则下列命题成立的是 （ 0有非零解时， AX b有无穷多 AX b解时，AX 0也无解 ，则AX 0有非零解的充分必要 59. n维向量组 A.存在一组不全为零的数 B. D. r s (3 s k1, k2, D. 60. n）线性无关的充分必要条件是（ ,ks，使 k1 1 k2 2k

14、s s 0 2, s中任意两个向量组都线性无关 2, s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 2, s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 若向量组中含有零向量，则此向量组（） A.线性相关；B .线性无关；C .线性相关或线性无关；D .不一定 61.设为任意非零向量，则（）。 A.线性相关; 62. n维向量组 A. 线性相关；B. 一定能被 2，s线性表出; B .线性无关；C .线性相关或线性无关；D 不一定 1 , 2，- s线性无关，为一 n维向量，则( 定不能被 s线性表出; D.当s n时, 定能被 s线性表出 63.(1)若两个向量组等价, 则它们所含向量的个数相同;

15、(2)若向量组 1,2, r 线性无关, 1可由1 ,2, r线性表出，则向量组 1, 2, r 1也线性无关; 设 1,2, r线性无关, 则 1,2, r 1也线性无关；(4) 1, r 线性相关，则 r 一定可由1 , 2, r 1线性表出；以上说法正确的有( 个。 A.1个 B .2个 D .4个 是向量空间 V中的n个向量，且 V中的每个向量都可由之线性表示，则 2, 64 ( 1) n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成 V的一个基；(2)设 1 ,2,n等价，则 1, 2, n也是V的一个基； (4) n维向量空间V的任意n 1个向量线性相关；以上说法中正确的有()个。

16、A.1 个B .2个 C . 3个 D .4个 65. 设向量组1, 2, 3线性无关。 1,2,4线性相关，则 ( )。 A. 1必可由2,3, 4线性表示； B.4必可由1, 2, 3线性表示； C . 4必可由1, 2, 3线性表示； D . 4必不可由1 , 2, 3线性表示 66.设向量组1(1, 2 ,r ), n( 1,2,r , r 1 , s)则必须有()。 A. I无关n无关； B. n无关 I无关；C . I无关 n相关；D . n相关I相关 67. 向量组A：1, 2丄 ,n 与 B: 1, 2,L , m等价的充要条件为(). A. R(A) R(B) ； B. R(

17、A) n且 R(B) m ； C . R(A) R(B) R(A, B) ； D. m n 68. 向量组1 ,2 ,L , r线性无关 () 。 A. 不含零向量；B. 存在向量不能由其余向量线性表出； 2, C 每个向量均不能由其余向量表出; D .与单位向量等价 n与 V 2, (3 )设 n是向量空间V的一个基，如果 1, 一个基； 73 .设， 是相互正交的 n维实向量，则下列各式中错误的是（）。 2 2 2 A. ;B. 2 2 2 C . ;D. 1 A.1 个 B.2 个 C . 3个 D .4个 74. A是n阶实方阵，贝U A是正交矩阵的充要条件是（ ）。 A. AA 1

18、I; B. A A/ ； C . A 1A/ ; D. A2 I 75. （1）线性变换 的特征向量之和仍为的特征向量； （2）属于线性变换 的同一特征值 的特征向量；（3） 0的特征向量的任一线性组合仍是 69.已知 5(1,0, 1) (1,0,2) (2, 3, 1)则 A., 2)； B. 2 (3,1, 2) ； C 2 2 七，2); D. (1,1, 3). 70.设向量组 3线性无关。 4线性相关, 则（ A.4必可由 4线性表示; B. 4必可由1 , 3线性表示; C .4必可由 2, 3线性表示; D.4必不可由 3线性表示 下列集合中，是 (X1,X2, X3) A X

19、3 0 B. 2x2 3X3 0 C . |X31 D 72 . 下列7 集合有（ ）个是 Rn的子 空间； w1 (x1 ,x2, Xn)丨 Xi R, x-i X2 Xn 0； w2 (X1,X2 J Xn ) | Xi R, X1 X2 Xn； W3 (a, b,a ,b, ,a,b) |a,b R; w4 (x1 ,x2, 1 xn) | xi为整数 ; ），其中 R3的子空间的为（ x1 2x2 3%1 相似矩阵有相同的特征多项式; （01 A）X 0的非零解向量都是 A的属于0的特征向量; 个。 A.1 75. 个 B.2个 C . 3个 D . 4个 n阶方阵A具有n个不同的特征

20、值是 A与对角阵相似的（ A.充要条件；B .充分而非必要条件；C .必要而非充分条件; 以上说法正确的有（） ）。 D.既非充分也非必要条件 76.对于n阶实对称矩阵 A，以下结论正确的是（）。 C .它的特征根一 A. 一定有n个不同的特征根；B.正交矩阵P，使PAP成对角形; 定是整数；D.属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交 77. 3都是三维向量空间V的基，且 a1 ,212 ,3 3 ,则矩阵P 是由基 )的过渡矩阵。 A. 2,3 D. 2, 78. 是相互正交的n维实向量, 则下列各式中错误的是( A. 2 B. 2 D. 填空题 最小的数环是 一非空数集 P,包含

21、0和1,且对加减乘除四种运算封闭，则其为 ，最小的数域是 设f是实数域上的映射，f:x kx( x R)，若f(4) 12，则f( 5)= 设 f(x),g(x) Fx，若(f(x)0,(g(x) m，则(f(x)g(x)=o 5.求用x 2除f (x) x4 2x3 x 5的商式为 ,余式为 a 0,用g(x) ax b除f(x)所得的余式是函数值 a,b是两个不相等的常数，则多项式f(x)除以(x a)(x b)所得的余式为 f (x) x45 表成 x 1的多项式是 10 .设 f(x) 2x3 x2 3x 5表成x 1的多项式是 f (x) Qx使得 0( f (x) 2，且 f(1)

22、1 , f( 1) 3, f(2)3，则 f(x) 11 .设 f (x) Rx使得 deg f (x) 3且 f(1) 1, f (-1) 3,f(2) 3,则 f(x) =_ O 12 .设 f (x) Rx使得 deg f (x) 3且f(1) 1,f (-1) 2,f(2) 0,则f (x) =_O 13.若 g(x) f (x),h(x) f(x)，并且 ，则 g(x)h(x) f (x) O 14.设g(x) f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为 15.多项式f(x)、g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)、v(x)使得 16.设d (x)为f (x) , g(x)的一

23、个最大公因式，则d(x)与(f(x),g(x)的关系 17.多项式f(x) x4 x3 3x2 4x 1 与 g(x) x3 2 x x 1的最大公因式 (f(x), g(x) 18.设 f (x) x4 x2 ax b O g (x) x2x 2，若 (f(x),g(x) g(x)，则 19 在有理数域上将多项式f (x) x3 2 x 2x 2分解为不可约因式的乘积 20 .在实数域上将多项式 f(x) x3 x2 2x 2分解为不可约因式的乘积 21.当a ,b满足条件 时，多项式f(x) x3 3ax b才能有重因式。 22.设p(x)是多项式f(x)的一个k(k 1)重因式，那么p(

24、x)是f (x)的导数的一个 23.多项式 f(x)没有重因式的充要条件是 互素。 24 .设 2, 3为方程x3 px2 qx r 0的根，其中 0,则 25 .设 1, 2, 3为方程x3 px2 qx 0的根, 其中 0,则 26 .设 1, 2, 3为方程x3 px2 qx 0的根, 其中 0，则 27.设 3为方程x3 px2 qx 0的根, 其中 0,则丄丄丄 1 2 2431的反序数为 4132的反序数为 28.按自然数从小到大为标准次序，排列 29 按自然数从小到大为标准次序，排列 30 .排列451362的反序数为 31 .排列542163的反序数为 32 排列5231468

25、79的反序数为 33 .排列n,n 1,2,1的反序数为 34. 若9元排列1274i56k9是奇排列，则i 35. 设n级排列i1 i2 in的反数的反序数为 k，则(inimL i2i1) = 36. 设i1 , i2 , in 1, 2, n ,则 (“2 in) (inin1 h)_o 37. 时，5阶行列式D的项a12a2ka31a4la53取“负”号。 38. 32153 32053 72284 72184 1 101 10 2 202 20 3 303 30 40. 41 . 42. 43. 44. 45. 0 0 0 0 5 0 0 0 4 0 f(X) 0 0 3x 0 0

26、0 2x 0 0 0 X 0 015 , X 0 0 X 3 2 1 则 f(4) 46. 2, ai , a2 , ,an 两两不同，则 47. Dn 49. 50. 51. a1 .ai 设行列式 设行列式 52行列式 53.设 A 54 .设 A 55 .设 A a2 an . 的不同根为 an 1 ，则 AB = 中，余子式 中，余子式 A21 M 22 的余子式 ，则 A|4A24A34A44 M 21 M 22 M 23的值为 4 ,则 AB 3 4 ,则 3AB 2B 0 ,则 A 3B 56.设 A 1 3，则(AB) 2 57.设 A ，贝y (AB)= 58 .设矩阵 60

27、. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. A可逆，且IA B为n阶方阵, 1, 则(A A的伴随矩阵A的逆矩阵为 2 2 B)2 A2 2AB B2的充要条件是 一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则 A的秩为 设矩阵 Q都是可逆矩阵，若 PXQ B，则X 2 ，贝y R(A) 设A为n阶矩阵，且 已知A ，贝y R(A) 2 2，且 R(A) 2,则 1,则 R(A) ,其中k 0,则A 1 若A为n级实对称阵，并且 AA/ O，则A= 70.设A为5阶方阵，且detA 3，则det A 1 ,det(AA) ,A的伴随矩 阵A的行列式det(A )

28、71. 0 , A是A的伴随矩阵，贝y (A ) 1 72. 2 , A是A的伴随矩阵，贝y (A ) 1 73. 74. 设A为4阶矩阵，且 A 2,则 2AA* 75. A为3阶矩阵, 0.5，则(2A) 5A =( 76. 设25x 77. A , B ,C是同阶矩阵，A 0,若AB AC,必有B C，则A应是 78. 设 A -(B I )，则 A2 2 A的充要条件是 1 ,则(A*) 79. 一个齐次线性方程组中共有m个线性方程、n2个未知量，其系数矩阵的秩为n3，若它有 非零解，则它的基础解系所含解的个数为 o 80. 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条

29、件是 81. 线性方程组有解的充分必要条件是 X1X2X3a1 82.方程组x1x2x3X4 a2有解的充要条件是 2x2 2 X3X4a3 X1 X2 a1 X2 X3 a2有解的充要条件是 X3 X1 33 83.方程组 84. A是n n矩阵，对任何bni矩阵，方程 AX b都有解的充要条件是 85 .已知向量组 1 (1,2,3,4) ,2 (2, 3,4,5) ,3( 3,4 ,5,6 ), 3( 4 ,5,6,7 则向量12 86.若 12 L 0，则向量组 2,L s必线性 87.已知向量组 1 (1 ,2,3,4),2 (2, 3,4,5), 3( 3,4,5,6 ), (4

30、,5,6,7 则该向量组的秩是 88. 若可由 r唯一表示，则 r线性 89. 单个向量线性无关的充要条件是 90. m为n维向量组,且R（ m) n，则 n 91. n 1个n维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关） 92. 已知向量组 1(1,0,1), 2(2,2,3), 3(1,3,t)线性无关，则 t 93. 向量组 n的极大无关组的定义是 94. 设 t1 , t2 , ,ts 两两不同，则 i (1, ti , ti2, tir 1), i 1,2, ,r 线性_O 95.二次型 f(x,y,z) 2 2 x2y2 z2 xy xz yz的矩阵是 96. 97 . 是正定

31、阵, 2 k满足条件 当t满足条件 ,使二次型 x1 2x| 3x3 2x1x2 2x1x3 2tx2x3 是正定的。 设n阶实对称矩阵 A的特征值中有 98. 负惯性指数是 99. A相似于单位矩阵，则 100. A相似于单位阵, 101. r个为正值，有n r为负值，则A的正惯性指数和 矩阵A 0 0 的特征值是 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 矩阵A 0 0 设A为3阶方阵, A满足A2 2A 0 的特征值是 6 其特征值为3, 1, 2,则 I 0，则A有特征值 设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 设矩阵A是n阶零矩阵，则 A的n个特征值

32、是 如果A的特征值为，则A的特征值为 设（X1,X2,X3）是R3的任意向量，映射 （cosx1,sinxO）是否是R3到自身的线 性映射 109.设（X1,X2,X3）是R3的任意向量，映射 （xj,X22,X32）是否是R3到自身的线性 映射 110.若线性变换 关于基 1, 2的矩阵为 ，那么线性变换关于基 3 2, 1 的矩阵为O 111. 对于n阶矩阵A与B ,如果存在一个可逆矩阵 112. 实数域R上的n阶矩阵Q满足，则称Q为正交矩阵。 113. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 114. 115. 116. U,使得 ,则称A与B是相似的。 117. 个基, 复数域C作

33、为实数域 复数域C作为复数域 复数域C作为复数域 R上的向量空间，则 C上的向量空间，则 C上的向量空间，则 dim C dime dime O _，它的一个基为 ，它的一个基为 设V是数域e上的3维向量空间，是V的一个线性变换, 1 关于该基的矩阵是 1 的坐标是 1, 2, 3是V的一 3，则 ）关于 1,2,3 118.设 n是向量空间 V的一个基，由该基到 2, n,1 的过渡矩阵为 119.设 n是向量空间V的一个基，由该基到 1的过渡矩 阵为O 120.设V与W都是F上的两个有限维向量空间，则 121.数域F上任一 n维向量空间都却与 Fn O （不同构，同构） 122.任一个有限

34、维的向量空间的基是 的，但任两个基所含向量个数是 123.令S是数域F上一切满足条件A A的n阶矩阵A所成的向量空间，则 dim S = 124.设为变换，V为欧氏空间，若 V 都有()，()，)，则 125. 变换。 在 R3中, 11,2,3, 20,1,2,则1, 126. 在欧氏空间C 2,2里X的长度为o 127. 在欧氏空间C 2,2里X2的长度为 128. L(V),V是欧氏空间，则是正交变换 129. a1, a2 , an d , b2, ,bn，则在只中,(,)= 计算题 1.把 f(X) L 4 c 32 5x 6x X 4按X 1的方幕展开. 2 .利用综合除法，求用

35、g(x)去除f (X)所得的商及余式。f(x) 2x5 5x3 8x , g(x) X 3 o 3.利用综合除法，求用g(x)去除 f (x)所得的商及余式。f (X) X5 3x 1 , g(x) X 4.已知 f(x) X4 4x31,g(x) 2 X 3x 1 ,求f(x)被g(x)除所得的商式和余式。 、432 5.设 f (x) X 2x 4x 4x 32 3,g(x) 2x 5x 4x 3，求 f(x),g(x)的最大公因式 (f (X), g(x) o 6 .求多项式f (x) X3 X2 2x 4与 g(x) 32 X 2x 4x 1的最大公因式. 7.求多项式f (x) 4x

36、4 2x3 16x2 5x 9 , g(x) 2x3 X2 5x 4的最大公因式 d(x)，以及满足等式 f(x)u(x) g(x)v(x) d (x)的 u(x)和 v(x) o 8.求多项式 f (x) X4 X3 4x2 2 4x 1 , g(x) X X 1的最大公因式d(x)，以及满足 等式 f (x)u(x) g(x)v(x) d (x)的 u(x)和 v(x) o 2x316x2 5x 9 , 9.令F是有理数域，求出Fx的多项式f(X) 4x4 32 g(x) 2x x 5x 4的最大公因式(f(x), g(x)，并求出u(x), v(x)使得 f(x)u(x) g(x)v(x

37、) (f(x), g(x)。 10.令F是有理数域，求Fx的多项式 4323 f (x) x 2x 4x 4x 3,g(x) 2x 5x2 4x 3的最大公因式。 432 11.设 f(x) x 2x x 4x 2 , g (x) 32 x x 2x 2，求出 u(x),v(x)，使得 u(x) f (x) v(x)g(x) (f (x), g(x)。 12.已知 f(x) x4 2x3 x2 4x 2,g(x) x4 x3 x2 2x 2，求 u(x),v(x),使得 f (x)u(x) g(x)v(x) (f (x), g(x)。 13.在有理数域上分解多项式 x3 2x2 2x 1为不可

38、约因式的乘积。 14. a,b应该满足什么条件，有理系数多项式x3 3ax b才能有重因式。 15.求多项式f (x) 3x4 5x3 x2 5x 2的有理根。 16.求多项式f (x) 4x4 7x2 5x 1的有理根。 17 .求多项式f(x) x3 6x2 15x 14的有理根。 18.求多项式f (x) x5 3 2x22x 3的有理根。 19.求多项式f (x) 3x4 8x3 6x2 3x 2的有理根。 20.求多项式 x5 x4 6x314x211x 3的有理根。 21.求一个二次多项式 f(x)，使得：f (1) 0, f(2)3, f( 3)28。 22.问取何值时，多项式

39、f(x) x3x 2, g(x) x2 x 2有实根。 23.用初等对称多项式表示n兀对称多项式 2 2 沁。 24.用初等对称多项式表示n兀对称多项式 x3x2。 25.请把n兀对称多项式x13x2表成是初等对称多项式的多项式。 26.求行列式 27.求行列式 28.求行列式 29.求行列式 30.求行列式 31.求行列式 32.求行列式 33.求行列式 34.把行列式 301 102 199 的值。 10 10 20 的值。 的值。 的值。 的值。 的值。 的值。 的值。 依第三行展开然后加以计算。 35.求行列式 36.求行列式 37.求行列式 38.求行列式 的值。 的值。 的值。 的

40、值。 39.计算n阶行列式 40.计算n阶行列式D 41.计算n阶行列式 a x a x y 0 .0 0 0 x y .0 0 0 0 0 .x y y 0 0 .0 x a 42.计算n阶行列式Dn 43. 计算n阶行列式 Dn 44. 计算n阶行列式 Dn ai 45. 计算n阶行列式 46.计算n阶行列式 47.计算n阶行列式 48.计算n阶行列式 a2 ai ai ai Dn Dn a2 an an a2 a2 a1 an an a1 1 a2 a2 a3 a1 1 a2 an 1 an 1 an (a an 0) an ab ab (其中a b) 49.计算n阶行列式 a1 1a1

41、 1 a。 a1 a2 a2 a3 50.计算n阶行列式 Dn a2 an 1 0 an 51.计算n阶行列式 52.计算n阶行列式 53.计算n阶行列式 54.计算n阶行列式 55.解方程 a1 a1 a1 Dn a2 an a2 a2 an an x 1 X2 L Xn 音 X21 L Xn M M M M X2 L Xn1 x2 1 X1X2 L X1Xn X2X1 x； 1 L X2Xn M M M M XnX1 XnX2 L x； 1 1 1 x D D 0。 an 1 1 an 1 an 56.解方程 57.解方程 58.解方程 3x 59.设A为3 3矩阵, 的第j列。求(1)

42、60.已知 (1,1, A 2，把A按列分块为A (A1, A2, As)。其中Aj(j 1,2,3)是A A,2a3,A ； (2) A32A,3A,A1 。 1),(1,2,3)，试求： T : T 2 。 61.已知A ，求A3 62.设 A = ,AB A 2B，求 B。 3k 63.设 A = 2k 3，已知 R(A) 1 ,求k。 64.求矩阵 65.求矩阵 66.求矩阵 1 3 4 3 的秩。 的秩。 的秩。 67.求矩阵 68.求矩阵 69.求矩阵 70.求矩阵 71.求矩阵 4的秩。 1 1的秩。 的逆矩阵。 的逆矩阵。 的逆矩阵。 72.求矩阵 0 的逆矩阵。 73.设 A

43、 给出A可逆的充分必要条件，并在 A可逆时求其逆. 74.设矩阵 75.设矩阵 1 ，问矩阵A是否可逆？若可逆，求出 A1。 0，问矩阵A是否可逆？若可逆，求出 2 3 76.设矩阵 1 0，判断A是否可逆？若可逆，求 A和A。 2 1 77.设 A ，请用两种方法（行初等变换，伴随矩阵）求 A 1 O 78.已知矩阵 79.已知矩阵 A= 3 0 A=3 1 2 ,用矩阵的初等变换求 A的逆矩阵。 1 2 ，用矩阵的初等变换求 A的逆矩阵。 80.设A为三阶矩阵, A为A的伴随矩阵, 1 已知 A=_L，求（1） A 1的值; 】2 (3A) 1 2A 的值。 81.设A为n阶方阵, A2

44、5A 6E 判断A 3E与A 3E是否一定可逆，如果可逆, 求出其逆。 82.设矩阵A= 2 1 3，求矩阵 2 X, 使得 AX At。 83.用求逆矩阵的方法解矩阵方程 1 84.解矩阵方程 0 85.解矩阵方程 86.解矩阵方程 87.解矩阵方程 88.求解矩阵方程 Xi X2 2x30 89.判断齐次线性方程组2x1 x2 x3 0是否有非零解? x1 2x24 2cy 3bz be 0 (其中 abc 0) ex az 0 3x1 2x2 x30 Sx-i 5x2 1 X1 X2 2x3 91.用求逆矩阵的方法解线性方程组 X2 X3 2 2x1 X2 3 ax1 ax2 bx3 1

45、 92.用克来姆法则解线性万程组 ax1 bx2 ax3 1 bx1 ax2 ax3 1 bx ay 2ab 0 90.用求逆矩阵的方法解线性方程组 93.用克莱姆法则解线性方程组 1 （其中a b，a m Xi 94.用克莱姆规则解方程组 X2 X3 X34 ax1 X2 X3 a 3 95.讨论a取何值时，方程组有解，并求解。 X1 ax2 X3 2 X1 X2 ax 3 2 X1 (a21)x2 2X3 a 96.讨论a取什么值时，方程组有解, 并求解。 ax1 ax2(2a 1)X3 0 X1 (2a1)x2 2x3 2 X1X2X34 97.选择，使方程组 2x1 x2 2x36无解

46、。 X1X2 X3 4 X1X2 X3 0 98.确定的值，使齐次线性方程组 X,2x2X3 0有非零解。 2X1 X2 0 2X( x2 3x3 0 98. k取何值时，齐次线性方程组 3X( 4x2 7x3 0有非零解？ x-i2x2 kx3 0 3 Xi 2xi X2X3 99.齐次线性方程组 kx1 X2 X3 x1 kx2 x3 2x1 X2 X3 0 0有非零解，则k为何值? 100.问 取何值时，齐次线性方程组 0 x1 x2 x3 0有非零解? x12 x2 x30 Xi X2X3 X1X2 101 .问 取何值时，非线性方程组x1 X2 X30 x33有无限多个解? 102.

47、齐次线性方程组 Xi x21 X3 X|x2x3ax40 X-,2x2x3x40 x1x23x3x40 为x2ax3bx0 有非零解，则a,b应满足什么条件? 为 X2 103.确定 的值，使线性方程组2x1 3x2 x1x2 3x3 2 X31 x33无解？有惟一解？有无穷多解? 104.取怎样的数值时，线性方程组 x1 2x2 x3 x4 2x1 x2 x3 x41 2x1 9x2 3x3 5x4 1 有解，并求出一般解。 105 .问当取何值时，线性方程组 X1X2 X1 X2 X1 X2 1 x3有唯一解？无解？有无穷多解？并在 2 X3 X3 有解时写出解。 106 .问 取何值时，

48、线性方程组 (1 X1 X1 )X1 X2 X30 (1)X2 X3 3有唯一解？无解？有无穷多 X2(1)X3 解？并在有解时写出解。 X1 X2X3X4 x2 x3 x42 23讨论为何值时，下面线性方程组有唯一 x2x3 x4 3 X2 X3 (1)X4 1 107.设线性方程组为X1 X1 xi 3x2 X30 108.设非齐次线性方程组为x1 4x2 ax3 3x3 b试冋：a, b取何值时，方程组无解？有唯一的 5 2x1 X2 解？有无穷多个解？有解时请求出解。 (1 )X1 X2 X3 0 109.设非齐次线性方程组为x1 (1 )X2 X3 3 试问：取何值时，方程组无解？有

49、唯 X1 X2 (1 )X3 一的解？有无穷多个解？当有解时请求出解来。 xX2 X3 4x4 3x5 0 2x1 x2 3x 5x 4 5x5 0 , 110.求线性齐次方程组 的基础解系。 X1X2 3x 3 2x 4 X5 0 3x1x2 5x 3 6X4 7x5 0 2x1 2x2 X3 X5 0 111.求线性齐次方程组 X1X2 2x3 3x4 X5 0 的基础解系。 X1 X2 2x3 X5 0 x3 ；X4X5 0 X1X2 X3 X4 0 112.求线性齐次方程组 X1X2 X3 3X4 0 的基础解系。 X1X2 2x3 3X4 0 2x1 2x2 X3 X5 0 X-ix

50、2 2x3 3x4 x5 0 113.求线性齐次方程组 的基础解系。 X1 X2 2X3 X5 0 X3x4Xs0 2X1 2x2 X3 2x2 0 3x1 X2 6x3 4x4 2x5 115.求线性齐次方程组2X1 2x2 3x3 5x4 3X5 X1 5x2 6x3 8x4 6x5 114.求线性齐次方程组 0 0 0的基础解系。 x1 x2 2x3 X40 2为x2 x3 x4 0的基础解系。 x1 x2 5x3 x4 0 x1 x2 2x3 3x4 0 116.求齐次线性方程组 123的基础解系。 3x1 x2 8x3 x40 x1 3x2 9x3 7x40 X1 X2 4X3 3x

51、4 0 X1 8x2 10X3 2x4 0 118.求齐次线性方程组 2X1 4x2 5x 3 X4 0的通解。 3x1 8x2 6x3 2x4 0 X1 X2 X3 x40 119.求非齐次线性方程组 X1 X2 X3 3x41 的通解 X1 X2 2X3 3X4 1 求齐次线性方程组 0的通解。 117. O X2 X1 2X1 2X3 2X3 X4 2x4 120. 求非齐次线性方程组 121. 2x 4x 2x 问下列向量组是否线性相关? (1) (3, 1, 4), (2, 5, -1 ) 122.判别向量组 1 =(0,0,2,3), 相关，并求 2，3, 123.求向量组 y 2

52、y (4, 2z -3, 7 )； 2=(1,234) 2的通解。 (2) (2, 0, 1), (0, 1, -2), (1, -1 , 1) 4的一个极大线性无关组。 (1,1,1), (1,2,3), 3=(1,2,1,1) 4=(1,0,1,0) 是否线性 (3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向 量表为该极大线性无关组的线性组合。 124.求向量组 1 1,2,4),2(0,3,1, 2) ,3( 3,0,7,14), 4 ( 1 , 1,2,0), (2,1,5,6)的极大无关组，并求出组中其余向量被该极大无 关组线性表出的表达式。 125.已知向量组(I) 2,3 ,( 5

53、，若各向量组的 秩分别为R( I )= 证明向量组(W): 1 ,2 ,3,5 秩为 4。 126. 设矩阵A 求矩阵 A的列向量组的一个最大无关组。 127. 已知向量 线性相关，求的a值。 131. 取何值时，实二次型f(X： 2 X2 xf) 2X1X3 2x2X3 2X3X1 2 X4是正定的? 132. t取何值时，二次型 f (X1,X2,X3) t(X1 2 2 X2 X32) 2x1x2 2 X2 X 3正定。 133. t取何值时，二次型 f (X1,X2,X3) 2 X1 2 X2 5x32 2tx1x2 2X1X3 4x2x3正定。 134. t取何值时，二次型 f (X

54、1,X2,X3) 2 X1 2 X2 5x32 2tx1x2 2X1X3 4x2x3正定。 135. 求一个正交变换X PY把二次型 f(X1,X2,X3)2X1 2 2 X2 4X2X3 4X1X2化为只 128. 设矩阵A ( 4 ),其中 4线性无关，1 2 2 3，向量 129. 判断实二次形 130. 取什么值时 4求方程AX 10 x2 2x2 3x2 ,实二次形(X； 的解。 4X1X2 4X1X3是不是正定的。 x| x3) 2x1x2 2x1x3 2X2X3 2 x4是正定的。 136.求一个正交变换X PY把二次型 2 f(X1，X2，X3)4X1 3x22 2X2X3 2

55、 3x3化为只 含有平方项的标准形。 含有平方项的标准形。 137.将二次型 f (x1, x2, x3) 2X； 2x1x2 4x1x3 6X2X3 x；化为规范形, 并指出所用的 线性变换。 138.用正交线性替换化实二次型 阵。 2 2 f (x) 2X1 4X1X2 2X2 2x1为典范形，并求相应的正交 139.已知向量组 1=(1,1,0,-1), 2=(123,4) 3=(121,1) 4 =(2,4,2,2)，试求它 们的生成子空间 span( 1, 4 )的维数和一个基。 140. 1 1的特征值。 141. 的特征值。 142. 的特征值。 0 143. 求矩阵 2的特征根

56、和相应的特征向量。 3 144. ，求一个正交矩阵u,使u/Au为对角形矩阵。 145. 2 4 ，求一个正交矩阵u,使u/Au为对角形矩阵。 2 146. 3，用初等变换求一可逆矩阵 P,使PAP是对角形式。 0 147. ，用初等变换求一可逆矩阵 P,使P/A P是对角形式。 148. 1 2,求可逆矩阵 1 T, 使T 1AT是对角形矩阵。 149. ，求一个正交矩阵 使T/AT是对角矩阵。 150. 设矩阵 相似，求X, y。 4 151. 1 (1,1,1), 2 (1,1,2), (1,2,3), (6,9,14),求关于基 3的坐标。 152. 已知 11,1,1 , 2 1,2

57、,4 , 3 3 1,3,9是线性空间P的一组基，求向量 1,1,3在基 3下的坐标。 10 153.设R3中的两个基分别为10 , 21 , 10 (1)求由基 2, 1 , 2, 3的过渡矩阵。 (2)已知向量 在基 1 3下的坐标为 3 ，求 0 在基 2, 3下的坐标。 154.已知x3,x 2 x, x X, x 1是C3x的一个基, 1在该基下的坐标。 155.已知x3,x3 2 x, x x, x 1是C3X的一个基, 2x 1在该基下的坐标。 156.考虑R3中以下两组向量 1( 3,1, 2), 2 (1, 1,1), 3(2,3, 1)； 1(1,1,1), 2(1,2,3

58、), 3 (2,0,1)，证明 3和 3都是R3的基。 求出由基 2, 3的过渡矩阵。 15 11 157.设F上三维向量空间的相性变换 关于基 3的矩阵是 20 15 关于基 12 13 2 3, 的矩阵。 158. 1 (1,0, 1) 3 R中的两向量组 2(2,1,1) 3(1,1,1) (0,1,1) (1,1,0) (1,2,1) (1) 证明它们都是R3的基，(2)并求第一个基到第二个基的过渡矩阵, 如果在基 1 , 2 , 3下的坐标为(3, 1, 2),求在基 3下的坐标。 设在标准欧几里得空间 V (0,0, 2,2),4 (4, 2,0,0) R4 中有向量组1 (2,2

59、,2,2) ,2 (0,2,2,2) ，求L( 1, 2, 3, 4)的一个基与维数。 四、判断题 1.判断Rn中的子集(a,0,.,an) a1an R 是否为子空间。 2.判断 Rn 中的子集(a1,a2,.,an) I n ai 1 是否为子空间。 i 1 3. 判断Rn中的子集(ai,a2,.,an) n ai 0 i 1 是否为子空间。 4. 判断R3的向量 (3,1,4), 2 (2,5,1), 3(4, 3,7)是否线性相关。 5. 3 判断R的向量 (1, 2,3), 2 (2,1,0), 3(1, 7,9)是否线性相关。 6. 判断R3的向量 (1,0,0), 2 (1,1,

60、0), 3 (1,1,1)的线性相关性。 7.若整系数多项式 f(X)在有理数域可约，则 f(X)定有有理根。( 8.若P(X)、q(x)均为不可约多项式，且 (P(X), q(x)1， 则存在非零常数C,使得 p(x) cq(x)。( 9. 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。( 10. 若矩阵A的所有r 1级的子式全为零，则 A的秩为r。 11. 若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数, ( ) ) ) 则行列式的值一定是偶数。 12.若向量组 1, 2,L , s ( s 1 )线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。 ( ) 13. 若两个向量组等价，则它们