高考数学一轮复习椭圆

1、第五节椭圆考纲传真 (教师用书独具 )1.了解椭圆的实际背景， 了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想 .4.了解椭圆的简单应用(对应学生用书第119 页)基础知识填充 1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2 的距离的和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合 P M|MF 1| |MF 2|2a ，|F1 F2| 2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0.当 2a|F1F2|，即 ac 时， M 点的轨迹

2、为椭圆；当 2a|F1F2|，即 a c 时， M 点的轨迹为线段 F1F2 ；当 2ab0)a2b21(ab0)图形范围axab x bbyba y a性对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点质A1(a,0)， A2(a,0)，A1(0， a)， A2(0，a)，顶点B (b,0)， B (b,0)B (0， b)， B (0，b)1212离心率cea，且 e(0,1)1a， b， c 的关系c2a2b2知识拓展 1点 P(x ，y )和椭圆的关系00x220y0(1)点 P(x0，y0)在椭圆内 ? a2b2 1.x02y02(2)点 P(x ，y )在椭圆上 ? ab 1.0022x02y

3、02(3)点 P(x0，y0)在椭圆外 ? a2b2 1.2焦点三角形x2y2椭圆 a2b2 1(a b 0)上一点 P(x0，y0)与两焦点构成的焦点三角形F1PF2 中，1sin 22若F1PF2，则 SF1PF2 |PF1|PF2| sin bb tan221 cos 3过焦点垂直于长轴的弦长2b椭圆过焦点垂直于长轴的半弦长为a .基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成 PF1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，

4、 c 为椭圆的半焦距 )()(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()答案 (1)(2) (3) (4)教材改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 1，则 C2 (2的方程是 ()22Bx22xy1 y1A 34432Cx22Dx22 y1y14243D 椭圆的焦点在 x 轴上， c1.c1222又离心率为 a2，故 a2，b ac 413，x2y2故椭圆的方程为4 3 1.x2y23(2015 广东高考 )已知椭圆25m2 1(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m()A2B3C4D9B 由左焦点为 F1( 4,

5、0)知 c4.又 a5，25m216，解得 m3 或 3.又 m0，故 m3.4(2016 国卷全)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 若椭圆中心到 l 的距1离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率为 ()11A3B223C3D.4bB 如图， |OB|为椭圆中心到 l 的距离，则 |OA| |OF| |AF| |OB|，即 bca， 2c 1所以 ea2.2y25椭圆 x 1 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 A，B，当 FAB 的43周长最大时， FAB 的面积是 _3 直线 x m 过右焦点 (1,0)时，FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为 4a 8，即 a2，32b

6、23此时， |AB| 2 a 23，1SFAB2233.(对应学生用书第120 页)椭圆的定义与标准方程(1)如图 8-5-1 所示，一圆形纸片的圆心为O，F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设 CD 与OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是 ()图 8-5-1A椭圆B双曲线C抛物线D圆(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P (6，1)，P (123， 2)，则椭圆的方程为 _. 【导学号： 79170290】2y21(0b|OF|.P 点的轨迹是以O，F 为焦点的椭圆(2)设椭圆方程为 mx2 ny2 1(m0，n

7、0 且 m n)4椭圆经过点 P1， P2，点P1，P2 的坐标适合椭圆方程6mn1，则3m2n1，1m 9，两式联立，解得1n3.x2y2所求椭圆方程为 9 3 1.(3)不妨设点 A 在第一象限，设半焦距为c，则 F1(c,0)， F2 (c,0)AF2x 轴，则 A(c，b2 )(其中 c2 1 b2,0b|F1F2|这一5条件(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余 )弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|PF2|与 |PF1| |PF2|的整体代换2求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立

8、关于a，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2 By21(A0，B0，AB)的形式变式训练 1(1)(1)与圆 C1：(x 3)2 y21 外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为 _22(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2y21(ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一ab点，且 F1260， S PF1F233，则 b_.PF已知12(1,0)是椭圆 C的两个焦点，过F2 且垂直于 x 轴的直线交(3)F (1,0)，FC 于 A，B 两点，且 |AB|3，则 C 的方程为 _. 【导学号： 79170291】x2y2x2y2(1)251

9、61(2)3(3) 43 1(1) 设动圆的半径为 r ，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|r 1， |PC2| 9 r.所以 |PC1|PC2|10 |C1C2|，即 P 在以 C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，得点 P 的轨迹方x2y2程为 2516 1.(2)由题意得 |PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以 |PF1|2 |PF2|22|PF1|PF2|cos 60 |F1F2|2，所以 (|PF1| |PF2|)23|PF 1|PF2|4c2，所以 3|PF1 |PF2| 4a2 4c2 4b2，642所以 |PF1|PF2|3b ，所以 SPF

10、1F2114233 23，所以 b3.|PF1 |PF2|sin 60 b23b 3223x2y2(3)依题意，设椭圆 C：a2b2 1(ab0)过点 F2(1,0)且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长 |AB|3，点A 1，3192必在椭圆上， 221.a4b又由 c1，得 1b2a2.由联立，得 b2 3，a24.x2y2故所求椭圆 C 的方程为 4 3 1.椭圆的几何性质x2y2(1)(2018 泉州质检 )已知椭圆 m 210m1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于 ()A8B7C6D5x2y2(2)(2016 江苏高考 )如图 8-5-2，在平面直角坐标系xOy 中，

11、 F 是椭圆 a2b2b1(ab0)的右焦点，直线 y 2与椭圆交于 B，C 两点，且 BFC 90，则该椭圆的离心率是 _.图 8-5-2(1)A (2)6x2y23(1) 椭圆1 的长轴在 x 轴上，m210m7m 2 0， 10m0，解得 6m 10.m 2 10m，焦距为4，c2 ，解得m8.m 210m42b24(2)将 y b代入椭圆的标准方程，得 x2 21，2ab所以 x33b，C3a，b.2a，故 B 2a，2223b3 ， b .又因为 F(c,0)，所以 BF，CFc2 a，2c2 a2 因为BFC 90，所以 BFCF 0，33b22 3 21 2222所以 2 a2

12、a2 0，即 c a b 0，将 b a c 代入并cc4423 22c226(负值舍去 )化简，得 a c ，所以 e2 ，所以 e32a3规律方法 1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析2求椭圆离心率的主要方法有： (1)直接求出 a，c的值，利用离心率公式直接求解 (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程 (或不等式 )，借助于 b2a2c2 消去b，转化为含有 e 的方程 (或不等式 )求解变式训练 2x2y24(1)已知椭圆 9 1 的离心率为 5，则 k 的值为 ()4kA21B211919C 25或 21D25或 21x2y2(2)过椭圆 a2 b2 1(ab0)的左焦点

13、F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为椭圆的右焦点，若 F1260，则椭圆的离心率为 () 【导学号：79170292】PF823A 2B 311C2D3x2y2(3)(2017 全国卷 )已知椭圆C：a2b2 1(a b 0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A12 为直径的圆与直线 bxay 2ab0A相切，则 C 的离心率为 ()63A 3B 321C3D3(1)D(2)B (3)A (1) 当 94k0，即 5k 4 时，a 3， c2 9(4k) 5 k，5 k419 35，解得 k25.当 94k，即 k 5 时， a4k， c2 k5，k54195，解得 k 21

14、，所以 k 的值为25或 21.4kb2(2)由题意，可设 P c， a .因为在 RtPF1F2 中， |PF1|b2，|F1F2|2c，F1PF260，所以2ac3.又因a2 b2222223为 b a c ，所以3c 2ac 3a0，即3e 2e30，解得 e3 或3e3，又因为 e(0,1)，所以 e3 .(3)由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为 A又直线 bxay2ab0 与圆相切，9圆心到直线的距离 d2ab ，解得，aa3ba2b2b13，aca2 b2b 21 26eaa 1 a 133 .故选 A直线与椭圆的位置关系角度 1由位置关系研究椭圆的方程

15、与性质22已知椭圆 E：x2y21(ab0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点 (c,0)，abc(0，b)的直线的距离为 2.图 8-5-3(1)求椭圆 E 的离心率；如图，是圆M：(x2)2(y 1)25的一条直径， 若椭圆 E 经过 A，(2)8-5-3AB2B 两点，求椭圆 E 的方程解(1)过点 (c,0)，(0，b)的直线方程为 bx cybc 0，则原点 O 到该直线的距离 dbcbc3 分22 a ，bc122c3由 d2c，得 a2b2ac ，解得离心率 a2 .5 分(2)由(1)知，椭圆222E 的方程为 x 4y 4b .依题意，圆心 M( 2,1)是线段 AB 的中

16、点，且 |AB|10.10易知， AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 yk(x2) 1，代入得 (14k2 )x2 8k(2k1)x4(2k1)24b20.8 分设 A(x1， y1)， B(x2，y2)，8k 2k14 2k1 2 4b2则 x1 x22，x1x214k2.14k8k 2k11由 x1 x2 4，得1 4k2 4，解得 k 2.12210 分从而 x x 82b .1 2于是 |AB|1 2|x1x2|5222x1 x24x1x210 b 2 .由|AB| 10，得 10 b2 2 10，解得 b23.x2y2故椭圆 E 的方程为 12 3 1.12 分角度 2由位置关系研究

17、直线的性质222，点 (2，(2015 全国卷 )已知椭圆 C：x2y2 1(ab0)的离心率为ab22)在 C 上(1)求 C 的方程(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值a2 b224 2解 (1)由题意有a2，a2b2 1，解得 a28，b24.3 分x2y2所以 C 的方程为 8 41.5 分(2)证明：设直线 l ：ykxb(k0，b0)， A(x1，y1)，B(x2， y2)，M(xM，yM).117 分x2y2将 ykx b 代入 8 4 1，得2229 分(2k1)x4kbx2b 80.x1x2 2kbb故 xM2，yMkxM b.2k2 12k2