高中物理竞赛：天体部分习题精选

1、天体部分习题精选1. 试证明质量均匀、厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零.证明 设球壳单位面积质量为 , 壳内 P 点处有一质点 m,如图 4-17 所示 , 球壳上取一小面元 S1, 距 P 为 r 1 , 过此面元边界与 P 连接并延长 , 在球壳上又取下对应面元 S2 , 距 P 为 r 2 , 可得 S1与 S2 对质点 m的总万有引力 F i 为Fi =F1 - F 2 .S1S1S1Or1PPOr2S2S2S2图 4-17Fi=G m S1- G m S2r12r22S1 S2=Gm( r 2-r2).12从图中可得S1- S222.r1r2因为 S1 和S2 很小 ,

2、所以S1 =S1 cos , S2=S2 cos ,即 S1= S2.22r1r2这样可得F i =0.所以F=Fi =0.i=12. 两个质量为 1.0g 的质点相距 10m.开始时两质点相对静止，且其中一个质点固定 . 如果它们之间只有万有引力作用， 问：无初速释放一个质点后， 经过多长时间它们相碰？解设想 m1 绕 m2 做半径为 l 的圆周运动， m2 为圆心 . 由于两质点只有万有引力作用，故可视为m1 做类似于太阳系行星的运动. 设 m1 在 A 点速度减小，开始沿虚线做椭圆运动， m2 为焦点，如图 4-18 所示 . 设圆运动和椭圆运动的周长分别l 和 lA为 T 和 T ，圆

3、半径和椭圆半长轴分别为，由开普勒第三定律有 m1lT T 22TT 1m23l= l3图 4-18当 m1 在 A 点的速度减为零时，有 l1T 2，则 m1 从 A 运动到 m2 的时间 t= 2 .又因为 m1 做圆周运动时，受向心力Fn = Gm1m2=m1 l4 2作用，故l 2T 2T 24 2.2l3 =Gm 21231T1（l2，所以 t=)由 、 两式得 T =2）Gm2=( 2210 8 s.32 1 =1.36 Gm23. 求半径为 R的液态行星中心处压强， 假设液态不可压缩且密度为 . 若 R=6.410 6 m， =1.7 10 3 kg/m 3 ，计算此压强。解 将行

4、星球体分成大量厚 r 的薄球层 . 不难证明：各层对该层内微粒万有引力之和等于零 . 为此研究小顶角的圆锥，其中含有质量为 m的微粒 . 圆锥从球层上分出面积分别为 S1 和 S2 两部分（图 4-19 ） .若球层单位面积表面摊有物质的质量为，则 S1 和 S2部分对质量 m的万有引S1力分别为B11F1 Gm S1，F2m S2，M 1A1r12Gr1r22但是 S21 cos1S22 cos2O,r1r2M 2r2式中： 为圆锥顶点 O处立体角 .B2S2作 OM=OA 和 OM =OA ，所以A211222OA M =OA M .1122图 4-19此外， OA1 B1= OA2 B2

5、 . 因为 1 = OA1 B1- OA1 M1 ， 2 =OA2 B2 - OA2 M2 ，所以 1 = 2，因此， S21=S22 .r1r2结果 F1 =F 2 ，这两个力彼此相互平衡. 对球层其他部分进行类似研究，我们证明了前面作出的结论 .4r3Sr体积 S r 元层所受指向行星中心的引力为F =G 3.r 2式中： r 是从此元层到行星的距离.由此求出厚 r 部分压强的增加为 p=F= 4G2r r . S3于是在离行星中心距离r 0 处的压强为p=p0+ 4G2r r .3由于r r 等于图像 y=r 与轴 r 所围图形面积，所以（ R+r0）（ R-r0）R2 -r2r r=2

6、=2，因而2222p=p 0 +G（ R r0 ）.3取行星表面处压强等于零，得到2222p=G（ Rr0）.3在行星中心处（ r 0 =0）压强等于222p=G R .代入 和 R数值，得到P 1.6 10 29 N/m2 .4. 使航天器飞越太阳系的设计方案之一， 建议使用面积 S=1km2 的太阳帆，当航天器绕太阳沿半径 R地 =1.5 10 8 km的地球轨道运行时，太阳帆展开 . 在随后运行中指令帆始终垂直太阳光线的方向，在地球轨道上太阳光压强为p=10-5 pa.问：（1）当航天器质量多少时它可以飞离太阳系？（2）当航天器质量为多少时，它可以飞到半径R火 =2.3 108 km的火

7、星轨道？不考虑地球以及其他行星的引力影响.太阳质量与万有引力恒量的乘积等于M太 G=1.31011 km3 /s 2 .解 （1）当太阳帆张开时太阳引力和太阳压强作用在航天器上， 这两个力的合力为M 太 mM 太 m2- pS = G- G地F=GR地2mR pSR地2GmR地22（）M 太 - pSR地 /Gm m= GR地2可见，太阳光压好像减少了太阳对航天器的引力. 这个力结果是使太阳质量不是M太 ，而是某个减少后的等效质量，即M效 = M太 -pSR地2 .Gm我们利用引入的等效质量， 可以不考虑太阳光压而进一步解题. 在质量为 M效 的物体的引力场里，航天器总机械能为E =1 mv2

8、 - G mM 效 .2R根据能量守恒定律，航天器在轨道任何一点机械能应该等于E = 1 mv地2 - GmM 效，地2R式中： v 地 为航天器在离太阳距离R地 且当帆张开时具有的速度。根据航天器在太阳引力作用下沿地球轨道运动方程来求这个速度.v地2= GmM 太M 太.mR地2，即 v 地 = GR地R地由此可见，E = GmM 太-M效)R地(22M 太= G地).m ( pSR-R地Gm2如果 E0, 即在下面条件下2pSR地 - M 太 0，Gm2航天器可以飞离太阳系。由此求出，当航天器质量为多少时这才可能实行。（ 2）设 M为某一质量 m1 时，航天器与火星轨道相切， 航天器能够飞

9、到火星轨道（穿过轨道）所具有的一切可能质量m中， m1 是最大的 . 在这种情况下，航天器轨道是椭圆，其长半轴等于（R地 +R火 ）（图 4-20 ），在切点航天器速度垂直于航天半径矢量。Rv地根据机械能守恒定律，有12Gm1 M 效=12m1M 效，2 m1v地-R地2 m1v火 - GR火V地2- V火2 = 2GM效 （1-1）.R地R火根据开普勒第二定律V地 R地 = V 火 R火 ，即V火=V地R地 .图 4-20R火综合上两式并考虑到v 地 = GM 太，经不太复杂代换后得到2 M 效R火=M太R地pSR2地（R火+R地），即2（M太-）R火 =M太(R 火+R地）.Gm1由此求出

10、航天器可以飞到火星轨道所具有的最大质量m1 ：2R火4 kg.m =地102pSR1GR火 -R地m太5. 质量为 400kg 的宇宙飞船绕地球沿离地面高 h 1 =200km的圆周轨道运行 . 启动火箭，发动机在短时间 t 内工作，使宇宙飞船速度增加了 v=10m/s，而运行轨道变为椭圆形，离地面最近距离 h 1 =200km，离地面最远距离 h 2 =234km.球在离地面最远距离处宇宙飞船的速度v 2 为多少，火箭发动机牵引力F 多大，工作时间 t 多长，消耗燃料质量 m多少以及火箭发动机的工作效率多大.飞船质量的变化不计 . 地球的半径 R 6370km，地球的质量 M=6 10 24

11、 kg，万有引力恒量 G=6.67 10-1122，每秒消耗燃料m = m= 1kg/s ，喷气Nm /kg0 t流速度 u=4000m/s.燃料和氧化剂的燃烧值为q=1.2 107 J/kg.解 离地面最近点宇宙飞船速度v 1 等于v 1 = v 0 + v .沿圆周轨道运行速度v 0 可以由下面方程求得1mv02=G M m .22R1式中： R1= R + h 1 = 6.57 10 6 m .由此v0 =GMR1代入数值，得到6.67 10-1124v 0=6 106.57106=7.805 10 3 m/s ,v 1 =7.805 10 3 +10=7.81510 3 m/s.根据动

12、量守恒定律，有mv1 R1 = mv 2 R2所以在远点速度 v 2为 v 2 = v1R1 ，R2式中： R = R + h2= 6.604 106 m .2代入数值，可得v 2 = 7.815 1036.570 1066.604106=7.775 10 3 m/s.根据动量守恒定律求得火箭发动机的牵引力 FFt = mu，式中： m为在时间 t 内火箭发动机喷出的气体质量，u 为喷气流速度 .改写这方程mu = m cu .F =t代入数值，得到 F=14000=4 103 N.发动机工作时间可以根据宇宙飞船动量的变化得到：Ft = m v，得：m v40010.t=1sF4000消耗燃料

13、和氧化剂的质量 m 可以根据对于“飞船燃料物”系统动量守恒定律得到： m v= mu ，即 m= m v = 400 10 =1kg .u4000火箭发动机工作效率由下式确定：=P，式中P 为发动机功率，Q为燃料Q燃烧时释放的功率。2由于 P= m0 u ， Q=mq，所以火箭发动机工作效率等于：02u2（4 1032）=0.67.=1.21072q26. 木星彗星族的形成粗略描述为下木星面. 彗星从遥远处无初速“落”向太阳，远日点并从木星不远处飞过（图4-21 ）当木星引力场对彗星的显著影响消失后，它又在太阳引力场中运行，并且它的速度方向与木星速度方向相反 . 彗星新轨道的远日点位于木星轨道

14、附近，即在离太阳为 R=5.2 天文单位*图 4-21处.太阳试求此处彗星轨道的近日点将位于离太阳多远处 .解 注意：太阳为巨重木星 10 3 倍，结果同太阳影响相比，木星引力范围大小为其轨道半径的10 -6 . 并且彗星与木星实质性相互作用时间，与木星运转周期以及彗星绕太阳运行周期相比是不可比拟的短 . 因而，在这段时间内彗星的摄动就算不了什么 . 所以我们把彗星的运动分为三个独立阶段： （1）彗星从遥远处沿着指向太阳系方向， 在太阳引力作用下运行； （2）在木星引力场里 “瞬间”掉转头来；（3）沿椭圆轨道绕太阳运行（且可不必考虑木星的影响） .木星受到太阳（质量为M）的引力作用而沿着圆周轨道运行，其条件为v2=GM2 .RR由此得到木星的速度v=GM .R当彗星飞近木星第一阶段结束时，速度vk 由能量守恒定律得出vk2- GM =0 ，即 v k =2GM = 2v .2RR木星和彗星两星速度方向互相垂直，则彗星相对木星速度等于v1=（ 3 - 1）v .从飞出木星引力场后（第三