2020春高中人教版物理选修3 4学案第十一章 第4节 单摆 Word版含解析

1、 单摆第4节 1理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源。 2了解影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。 一、单摆的回复力01可以忽略，球的直由小球和细线组成，细线的质量与小球相比1单摆：02空气等对它径和线的长度相比与小球受到的重力及绳的拉力相比，可以忽略，03 理想化模型。的阻力可以忽略，这样的装置叫做单摆。单摆是实际摆的 2单摆的回复力04 切线方向的分力。(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位(2)0605，正比，方向总指向、摆球质量为平衡位置，若单摆摆长为l移大小成mmg0807 简谐运动。，因此单

2、摆做则回复力Fxl 二、单摆的周期 定性探究影响单摆周期的因素1 探究方法：控制变量法。(1)0201 振振幅较小时周期与实验结论：(2)单摆振动的周期与摆球质量无关，03 越大。幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期 2定量探究单摆的周期与摆长的关系t04T，次全振动的时间或N(1)周期的测量：用停表测出单摆(3050)t利用N 计算它的周期。0605，(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度Dl停表测出小球直径，用0 D07 利用ll求出摆长。0209082l-l、(3)数据处理：改变T摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T- T-l 图象，得出结论。或 3周期公式 (1)提出：周期公式是荷兰物

3、理学家惠更斯首先提出的。l1110的二次方根成2 与摆长l(单，即周期T(2)公式：正比，与Tg12 反比。重力加速度g的二次方根成)摆所在处的 判一判) (1)一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。() 单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。(2)( ) 单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的。( (3) 单摆的振幅越大周期越大。( (4) ( (5)单摆的周期与摆球的质量无关。 (5) (4) (1)提示： (2) (3) 想一想，加0(1)摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处时v0? 速度是否等于单摆摆动过程中经过平衡位置时不处于平衡状态，有向心力和向心加提示：速度

4、，回复力为零，合外力不为零。摆球到达最大位移处时速度等于零，合外力 等于重力沿圆弧切线方向的分力，所以加速度不等于零。 应如何调整摆长？(2)把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，l知，应2 提示：两极处的重力加速度大于赤道处的重力加速度，由Tg 增大摆长，才能使周期不变。 课堂任务 单摆及其回复力 1单摆(1)单摆是实际摆的理想化模型。 (2)实际摆看做单摆的条件 摆线的形变量与摆线长度相比可忽略； 摆线的质量与摆球质量相比可忽略； 摆球的直径与摆线长度相比可忽略； 空气阻力与摆球的重力及绳的拉力相比可忽略。 2单摆的回复力 如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G是摆球沿运动方向

5、的合力，正是2这个力提供了使摆球做简谐运动的回复力：FGmgsin。 2 3单摆的运动特点 (1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v0，半径方向都受向心力(最高点其向心力为零)。向心力由细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供。 (2)摆球同时在平衡位置附近做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。 4单摆做简谐运动的推证 xmg在很小时(理论值为5)，sin。GGsinx，G方向与摆球位22llmgmg?k?。因此，在摆角xkx很小时，移方向相反，所以有回复力Fll回?单摆做简谐运动。 例1 (多选)关于单摆，下列说法中正确的是( )

6、A单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力mgsin，其中是摆线与 竖直方向之间的夹角 B单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力 C单摆的摆球在平衡位置时(最低点)的加速度为零 D单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关 (1)摆球通过平衡位置时，做何种运动？加速度是零吗？ 提示：摆球做圆周运动。加速度不为零。 (2)“振幅很小”的含义是什么？ 提示：“振幅很小”时，摆球的运动可看成简谐运动，此时，周期与振幅无关。 规范解答 单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受重力G和摆线的拉力F两个力的作用，提 T供回复力的是重力沿圆弧切线方向的分力mgsin，而不是重力和摆线拉力的合力，A正确

7、，B错误；摆球在平衡位置时有向心加速度，加速度不为零，C错误；通常情况下单摆的振动不是简谐运动，只有在偏角很小的情况下才可近似为简谐运动，单摆做简谐运动的条件下，周期与振幅无关，D正确。 完美答案 AD 回复力、向心力、合外力的区别与联系 (1)区别 回复力：使物体回到平衡位置且指向平衡位置的力；对单摆来说，重力沿圆弧切线方向的分力Fmgsin提供回复力。 向心力：使物体做曲线运动且指向圆心的力；对单摆来说，摆线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。 合外力：物体所受的合力，它使物体的运动状态发生变化。 (2)联系：回复力、向心力、合外力均为效果力且均为矢量。回复力、向心力一定是变力，合外

8、力可以为恒力，也可为变力。对单摆来说，回复力与向心力的合力等于合外力。 变式训练1 对于单摆振动，以下说法中正确的是( ) A单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D摆球经过平衡位置时所受合外力为零 C 答案 单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解析 解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向2v而回复力m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，心力大小为l C。在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，故应选 单摆的周期课堂任务 1单摆的周期的二次方根成正与摆

9、长l荷兰物理学家惠更斯发现单摆做简谐运动的周期Tl。T比，与当地的重力加速度g的二次方根成反比，他确定周期公式为： 2 gl及单摆所在处的重力加速度有关，与2 ，只与摆长l(1)单摆的周期Tg) 单摆的等时性就是指单摆的周期与振幅无关的性质。振幅及摆球的质量无关。(由周期公式算出的周时，(2)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5 0.01%)。期和精确值相差为单摆所在处的重力加速度，它会随地理位置的改变g(3)单摆周期公式中的d为摆ll，l而改变。为单摆的摆长。摆长是指从悬点到摆球重心的长度，l2 为摆球直径。线长，d 计算单摆的周期的方法2l 2 T计算，计算的关键是正确确定摆长。(

10、1)用单摆的周期公式gt和t计算。这是粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于T(2)根据N测量的准确性的影和振动次数NtN，但可以利用该方法计算周期，它会受到时间 响。 等效单摆3的小球从稍稍偏离最低点的r如图是一半径为R的光滑凹槽，现将一半径为位置释放，小球做往复运动的回复力与单摆振动的回复力均为重力沿圆弧切线方Rr T)(向的分力，其运动与摆长为Rr的单摆等效，故其周期2 。g ，已知单摆做简kgm0.10 有一单摆，其摆长l1.02 m，摆球的质量例2 60.8 s，试求：谐运动，单摆振动30次用的时间t (1)当地的重力加速度是多大？ (2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改

11、变多少？ (1)根据周期公式如何求重力加速度？24ll 。g提示：由T2 得2Tg 要改变单摆的周期，可采用哪些措施？(2)l2 提示：由可知，改变l和g均可使单摆的周期改变。 Tgl2 当单摆做简谐运动时，其周期公式 (1)T，由此可得g规范解答g24l 值代入即可。，只要求出T2T60.8t 2.027 s， s因为T30n221.0243.144l22 。 所以g m/s9.79 m/s222.027T，由于在同一地点重力加速度是不变的，l2 s，设其摆长为(2)秒摆的周期是0 根据单摆的振动规律有：lT ，Tl00221.022lT0 m0.993 m。 故有：l0222.027T其摆

12、长要缩短，缩短量lll 。0.027 m0.993 m1.02 m0 2 (2)缩短 0.027 m (1)9.79 m/s完美答案 ?1?注意秒摆是周期为2 s的单摆，不是一秒；其摆长约为1 m。?2?单摆振动周期改变的途径 改变单摆的摆长；。?改变单摆所在处的重力加速度?改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重 1变式训练2有一个小球第一如图所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，B；第二次自，用时为tO次自A点由静止开始滑下，到达最低点时的速度为v11，下列关系正确的是tv，用时为点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为22) ( Att，vv Btt，vt， v vv v21121221A 答

13、案 RTA，t 点由静止开始滑下均做等效单摆的运动，、小球从解析 AB1g42RTB，R为球面半径，故tt t；A点离平衡位置远些，与平衡位置的高221g42度差较大，由机械能守恒定律可知从A点滑下到达平衡位置O时的速度较大，即vv。故A正确。 21变式训练22如图所示是处于同一地点的两个单摆的振动图象。 (1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？ 起，乙第一0t以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从(2) 次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？ 答案 (1)14 (2)平衡位置 向左运动 11解析 (1)由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的，即TT， 22

14、乙甲又由单摆的周期与摆长的关系可知，ll14。 乙甲1(2)由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t2 s，乙振动了个 41周期，甲振动了个周期，位移为0，位于平衡位置，此时甲向左运动。 2 单摆模型的综合问题课堂任务 一、利用单摆求所处位置通过单摆周期公式求所在处的重力加速度，然后应用万有引力等知识求所在 高度、深度、纬度等。 二、等效摆长和等效重力加速度 等效摆长问题1等效摆长为摆球运动轨迹所在圆弧的圆心到摆球球心间的距离。如图甲、乙所示，忽略摆球直径且摆球在垂直纸面的竖直平面内做小角度的摆动，则其等效 ，周期分别为LsinLL摆长分别为LLsin，1乙甲LsinLsinL1 ，

15、TT22。gg乙甲 2等效重力加速度问题 等效重力加速度为单摆处于静止状态时，摆线的拉力F(相当于视重)与摆球质F量的比值，即g。有关等效重力加速度的题比较复杂，但只要求出g就可以m等等求出对应的周期。 (1)摆球为带电小球，摆线为轻质绝缘细线，竖直方向有电场的单摆。 如图甲所示，电场方向竖直向下，摆球带正电，单摆处于静止状态时摆线的FEq拉力FmgEq，其等效重力加速度为gg，所以单摆的周期为Tmm等LL2。同理可得，如果电场强度竖直向上，则单摆的周期为T2Eqg等gm L。 2Eqgm (2)摆线一端固定在光滑斜面上，另一端连接摆球，摆球在光滑斜面上小角度摆动的单摆。 如图乙所示，在斜面上

16、摆球静止时摆线的拉力Fmgsin，所以ggsin，等L。2 在斜面上该单摆的周期为Tgsin 例3 有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T，求该气球此时离海平面的高度h。(把地球看做质量均匀分布的半径为R的球体) (1)单摆的周期与什么有关？ 提示：与单摆所在处的重力加速度和摆长有关。 (2)同一经纬度处，离海平面越高，重力加速度越大还是越小？ 提示：越小。 处的重力加速度分h，海平面处和离海平面的高度为l设摆长为 规范解答 和gg。别是 根据单摆周期公式得ll 2，TT2gg2Tg 故2TgMm ，mg(M为

17、地球质量)根据万有引力公式有G2R2?RhgMM ，G，得得gG，同理g222RR?Rgh? 由以上结论可得22?h?RTT?R。 ，则h122RTT?T?R 完美答案1T? 本题是一个既考查天体运动又考查单摆的综合题。重力加速度g是联系“单摆”与“天体运动”的纽带，无论从单摆到天体运动，还是从天体运动到单摆，首先必须求出或表示出g。这类问题经常会用到万有引力定律及黄金代换GM2。 gR 变式训练31 一单摆在地面上的摆动周期与在某矿井底部的摆动周期的比值为k。设地球的半径为R，假定地球的密度均匀，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。 2)Rk 答案 (1解析 单摆在地

18、面和矿井底部的周期分别为 l，2 Tgl， T2gTk，由题目知 T单摆在地面和矿井底部的重力加速度分别为 GMg ，2R GM g，2?Rd由质量和体积的关系知 43，R M343， Rd)(M32)R。k 联立式解得d(1变式训练32如图，一可视为质点的小球用长为L的细线系于与水平面成角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于5，然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间至少为多少？ L 答案 sing2解析 此单摆做简谐运动，将其与竖直平面内振动的单摆比较可以发现，其L等效重力加速度为gsin，故其振动周期T，小球到达最低点所需的2 gsinLT。 时间至少为

19、tsing42 A组：合格性水平训练 1.(单摆的认识)(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( ) A摆线质量不计 B摆线不可伸缩 C摆球的直径比摆线长度短得多 D只要是单摆的运动就是一种简谐运动 答案 ABC 解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不可伸缩。但把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有D正确，C、B、A的情况下才能视单摆的运动为简谐运动。故)5(在摆角很小 错误。) 单摆振动的回复力是( 2(单摆的回复力) 摆球所受的重力A 摆球重力在垂直悬线方向上的分力B 悬线对摆球的拉力C 摆球所受重力和悬线对摆球拉力的

20、合力DB 答案单摆振动的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，即摆球重力在 解析 正确。垂直悬线方向上的分力，B) ( (单摆的简谐运动)关于单摆，下列说法中正确的是3 摆球运动的回复力是它受到的合力A B摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的 C摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 D摆球经过平衡位置时，加速度为零B 答案 错误；摆球经摆球的回复力为重力沿其运动轨迹切线方向的分力，A解析 ，故此时加速度，但合力提供向心力，不为0过平衡位置即最低点时，回复力为0错误；回复力的方向指向平衡位置，但合力的方向并不始终指向平衡位，D不为0由简谐C错误；置，故摆球在运动过程中的加速度方向也并不始终指向平衡位置， 正确。运动特点可知B) 发生下列哪一种情况时，单摆周期会增大( 4(单摆的周期) 增大摆球质量A 缩短摆