高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分：第1节导数的概念

1、第1 节导数的概念【基础知识】1函数 yf(x)在 x x0 处的导数定义：称函数 y f(x) 在 x x0 处的瞬时变化率f ( x0x)f (x0 )limy 为函数 y f( x)在 x x处的导数，记作f(xlimxx00)或 y|xx 0x 0x0，即 f (x0 )limylimf (x0x)f ( x0 ) .x 0xx0x2函数 f(x)的导函数称函数 f ( x) lim0f ( x x) f ( x)xx为 f( x)的导函数【规律技巧】1.根据导数的定义求函数yf (x) 在点 x0 处导数的方法：求函数的增量yf ( x0x) f ( x0 ) ；求平均变化率yf (

2、x0x)f (x0 ) ；xx得导数 f ( x0 )limy ，简记作：一差、二比、三极限 .x0 x2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数【典例讲解】例 1、利用导数的定义求函数 f(x) x3 在 x x0 处的导数，并求曲线 f(x) x3 在 xx0 处的切线与曲线 f(x) x3 的交点【方法技巧】求函数f(x) 的导数步骤：(1)求函数值的增量f f(x2) f(x1)；(2)计算平均变化率f fx2 f x1；xx2 x1(3)计算导数 f(x) limf.xx0【变式探究】利用导数的定义，求：(1) f(x)

3、 1 在 x 1 处的导数； x1(2)f(x) x 2的导数1 1(1) y f (1x)f (1) 1 x【解析】xxx1 1 x11xx1 x(x1x)(11x )x(x1x )(11x )1(1x)(11x) f(1) limy lim11.x0xx0(1x)(11x)2yf (x0x)(2)xx1 1x 2 x x 2x1（ x2)( x2x)f ( x0 )x 2 ( x 2 x)（xx2)( x2x)，y f(x) limx0x lim112 .x)2)x0（x 2)( x 2（x【针对训练】1、 求函数 y11 处的导数 .的在 xx【答案】122、一质点运动的方程为s83t

4、2 .（ 1）求质点在 1， 1+ t这段时间内的平均速度；（ 2）求质点在 t=1 时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）【答案】（ 1） 6 3 x ；（ 2） 6 .综合点评： 导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系.对位移 s与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间 t 的关系 .根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，应按照 “一差、二比、三极限 ”的求导步骤来求 .【练习巩固】1、过曲线 yf (x)x图象上一点（2，2）及邻近一点（ 2x ， 2y ）作割线，1x则当x 0.5时割线的斜率为（）A1 B2 C1D5333【答案】 B2、已知函数f (x) 在 x1处的导数为1，则 limf (1 x)f (1x) =x03xA 32C1D3B323【答案】 B3、若定义在 R 上的函数 fx满足 f01，其导函数fx满足f xk1，则下列结论中一定错误的是（）A f11B f11Cf11kkkk11