IIR低通滤波器设计说明

1、.专业整理 .1、滤波器简介从广义上讲，任何对某些频率（相对于其他频率来说）进行修正的系统称为滤波器。严格地讲，对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率围的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。我们知道，无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方法来分析。这些方程组可以用专用的

2、或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输出数列。2、低通数字滤波器2.1 频谱图H (ej )H ( e j )c0c|H(ej )|-2 - - cc 2-f s-f s/2 -f cfc fs/2 fsf图 2.1低通数字滤波器的频谱.学习帮手 .专业整理 .2.2 、低通数字滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益（即通带允许起伏）；最大阻带增益；通带截止频率p ；阻带截止频率s 。如图 2.2所示H a e jT0dB dBdB图 2.2ps滤波器

3、的主要技术指标3、 IIR 低通滤波器的设计方法Mbr z rIIR 滤波器是一种数字滤波器， 滤波器的系统函数如式Y(z)nr 0H (z)h(n)zX(z)Nn 01ak z kk1由于它的脉冲响应序列 h(n) 是无限长的，故称无限冲激响应滤波器。 IIR 滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求，设计滤波器的分子和分母多项式。它和 FIR 滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下，IIR 滤波器的阶数要明显低于 FIR 滤波器。但 IIR 滤波器的相位是非线性的。3.1 、IIR 低通滤波器设计的基本思路1) 利用 = T，将数字低通的技术指标转化为模拟低通的技术指标，将、st转

4、换p成p、 st,而R,R不变；PS.学习帮手 .专业整理 .2) 利用巴特沃斯逼近法，求出模拟滤波器的系统函数Ha(s) ；3) 利用冲激响应不变法，将模拟滤波器数字化，得到数字滤波器的系统函数H（z）；4) 利用 MATLAB软件实现所设计的 H（z）。3.2 、模拟低通滤波器的概述用模拟数字变换法设计IIR 数字滤波器，首先必须设计一个模拟滤波器，它有许多不同的类型，本设计中采用的是巴特沃斯滤波器。巴特沃斯（ Botterworth简写 BW）滤波器。对一个N 阶低通滤波器来说，所谓最平坦特性就是模拟函数的前（2N-1）阶导数 在0 处都为零。 BW滤波器的另一个特性是在通带和阻带的幅频

5、特性始终是频率的单调下降函数，且其模拟函数随阶次N 的增大而更接近于理想低通滤波器。巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 |H a(j )| 2 用下式表示：| H a ( j ) |212 N1c式中， N 称为滤波器的阶数。当 =0 时，|Ha(j )|=1 ； =c 时， | H a ( j ) | 1/ 2, c 是 3dB 截止频率。在 = c 附近，随加大，幅度迅速下降。幅度特性与和 N 的关系如图 3.1 所示。幅度下降的速度与阶数N 有关， N 愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快, 总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。.学习帮手 .专业整理 .图 3.

6、1 巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N 的关系以 s 替换 j ，将幅度平方函数 |Ha(j )| 2 写成 s 的函数：H a ( s) H a (s)1(1)s2 N1jcs2 N( jc )2 N(2)sk (1j (12k1)1)2 N ( j c )c e22N(3)式(3) 中， k=0，1，2， ， 2N-1。H a (s) H a (s)在 S 平面的极点位置如图3.2 所示图 3.2 巴特沃斯滤波器H a ( s)H a ( s) 在 S 平面的极点位置.学习帮手 .专业整理 .3.3 、通过模拟滤波器设计IIR 数字滤波器3.3.1 、S 域到 Z 域的映射IIR 数字滤波器在

7、 Z 域中的传递函数为一有理分式，即MMrbr z rC 1 c r z 1H z0Ar1NN1ak z kC 1 d k z 1k 1k 1而模拟滤波器在S 域中的传递函数为MMrbr srC 1 cr s 1H s0Ar 1NN1ak skC 1 dk s 1k 0k 1可见 H(z) 与 H(s) 具有相同的形式，利用线性映射的方法，可以把S 平面上的模拟滤波器映照成 Z 平面上的 IIR 数字滤波器。按技术要求设计一个模拟滤波器Ha s , 然后按一定的映照关系将Ha s 中成数字滤波器的要求，必须对由复变量S 到复变量 Z 直接的映照提出如下要求：1）因果温度的模拟滤波器转换成数字滤

8、波器后仍是因果温度的，因此，映射应使S平面的左半平 面 Re s0 映射为 Z 平面的单位圆部 , z1。2）数字滤波器的幅频特性应与模拟滤波器的幅频特性一致，故 S 平面的虚轴j线性映射到 Z 平面的单位圆 e j 上 ，即频率轴要对应。下图表明了上述映照关系.学习帮手 .专业整理 .jIm( s)jIm( z)s 平面z 平面js/2单位圆Re(s)Re(z)- js/2图 3.3s 域到 z 域的映射模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域实现，也可以在频域实现。 时域转换法是使数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的时域采样值相等，具体方法有：冲激不变法、 阶跃不变法和匹配 Z 变换法。在本设

9、计过程中采用的是冲激响应不变法。4、 IIR 低通滤波器设计基于模拟滤波器变换原理， 首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器，然后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器。在MATLAB中，经典法设计 IIR 数字滤波器采用下面的主要步骤：IIR 滤波器模拟低通滤波原型频率变换模拟离散化由上可见，此法是利用模拟滤波器的设计成果。第二步完成后，一个达到期望性能指标的模拟滤波器已经设计出来。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数H ( S) 映射成数字滤波器的系统函数H ( z) 。数字滤波器的设计工作就全部完成。实现系统传递函数s 域

10、至 z 域映射有冲激响应不变法和双线性映射两种.学习帮手 .专业整理 .方法。4.1 、冲激响应不变法将传输函数 H a s 从 s 平面传换到 z 平面的方法有多种， 但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。我们先研究脉冲响应不变法。设模拟滤波器的传输函数为H a s ，相应的单位冲激响应是ha t ， H a s =LT ha t LT. 代表拉氏变换，对 ha t 进行等间隔采样，采样间隔为 T，得到 ha nT ，将 h(n)=ha nT作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z) 便是 h(n) 的 Z 变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(

11、n) 在采样点上等于 ha t 。设模拟滤波器H a s 只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将H a s 用部分分式表示：NAiH as（ 4）s sii1式中 si 为 H a s 的单阶极点。将 H as 逆拉氏变换得到 hat ：Nha tAi esit u(t )（ 5）i 1式中 u(t) 是单位阶跃函数。对 hat进行等间隔采样，采样间隔为T, 得到：h n ha (nT )NAi esi nT u(nT )（ 6）i 1对上式进行 Z 变换，得到数字滤波器的系统函数H(z) ：NAiH z(7)esiT z1i 1 1对比（ 4）、（7）式， H a s 的极

12、点 si 映射到 z 平面，其极点变成 esi T ，系数 Ai 不变化。此结果表明， Z 平面极点 zk 与 S 平面极点 sk 具有skTk)0 ，故ze的 关系，由于Re(sk.学习帮手 .专业整理 .有 zkeSk T1,极点 zk 位于单位圆，故而冲激响应不变法能够保证H(z) 是稳定的。4.2 、双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率围压缩到/T 之间，再用 z esT 转换到 z 平面上。设 Ha（s）， s=j ，经过非线性频率压缩后用 Ha（ s1）， s1 =j 1 表示，这里用正切变换实现频率压缩：2 tan 0.51T（ 8）T式中 T

13、仍是采样间隔， 当 1 从 - /T 经过 0 变化到 /T 时，则由 - 经过 0 变化到 +，实现了 s 平面上整个虚轴完全压缩到s1 平面上虚轴的 /T 之间的转换。这样便有s2 th 0.51T2 1zTT 1zs1T（ 9）s1t再通过 zesT 转换到 z 平面上，得到：s2 1z112szT（ 10）T 1z2sT式（ 10）称为双线性变换。从 s 平面映射到 s1 平面，再从 s1 平面映射到 z 平面，其映射情况如图 4.1 所示。由于从 s 平面到 s1 平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象。另外，从 s1 平面转换到 z 平面仍然采用标准转换关系 z

14、es1T ， s1 平面的 /T 之间水平带的左半部分映射 z 平面单位圆部，虚轴映射单位圆。这样 Ha（s）因果稳定，转换成的 H（ z）也是因果稳定的。下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。令 sj, ze j，并代入（ 10）式中，有.学习帮手 .专业整理 .j2 1ejj2 tan 1（ 11）T 1eT2j j Im /TRe1- /Ts 平面s1 平面z 平面图 4.1双线性变换法的映射关系上式说明， s 平面上与平面上的成非线性正切关系，如图4.2 所示。在 =0 附近接近线性关系；当增加是，增加得愈来愈快；当趋近时，趋近于。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。-0图 4

15、.2双线性变换法的频率变换与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响。 这种非线性影响的实质问题是：如果的刻度是均匀的， 则影射到 z平面的刻度不是均匀的，而是随增加愈来愈密。.学习帮手 .专业整理 .双线性变换法可由简单的代数公式（10）将 Ha（ s）直接转换成 H（z），这是该变换法的优点。但当阶数稍高时，将H（ z）整理成需要的形式，也不是一件简单的工作。5、 IIR 数字滤波器的 Matlab 仿真IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是：（1）根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率指标进行转换，转换后的频率指标作为模拟滤

16、波器原型设计性能指标。（2）估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord 、cheb1ord 等。（3）设计模拟低通滤波器原型，利用MATLAB工具函数 buttap 、cheb1ap 等。（4）由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻），利用MATLAB工具函数 lp2lp 、 lp2hp 、lp2bp 、 lp2bs 。（5）将模拟滤波器离散化获得IIR 数字滤波器，利用MATLAB工具函数 bilinear。设计 IIR 滤波器时，给出的性能指标通常分为数字指标和模拟指标两种。数字性能指标给出通带截止频率p ，阻带截止频率s ，通带衰

17、减 Rp ，阻带衰减 Rs 等。数字频率p 和s 的取值围为0，单位：弧度，而MATLAB工具函数常采用标准化频率，p 和s 的取值围为 01。模拟性能指标给出通带截止频率p ，阻带起始频率s ，通带衰减Rp ，阻带衰减 Rs 等。模拟频率c 和s 的单位均为弧度 / 秒。下面是一个利用双线性变换设计的Butterworth低通滤波器的示例：技术指标：通带截止频率 c =2 200 rad / s ，阻带截止频率 ，通带衰减 Rp 小于3dB，阻带衰减 Rs 大于 15dB, 采样频率 Fs 1000 Hz 。仿真结果见图 5.1Wp= 200*2*pi;Ws=400*2*pi;.学习帮手 .

18、专业整理 .Rp=3;Rs=15;Fs=1000;Ts=1/Fs;Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)b,a=butter(N,Wn,s);z,p,k=buttap(N);Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn);bz,az=bilinear(b,a,Fs)freqz(bz,az,Nn,Fs)仿真结果： N=3Wn=1.4209e+003bz= 0.0946 0.2839 0.2839 0.0946az= 1.0000 -0.6164 0.4343 -0.0607.学习帮手 .专业整理 .图 5.1仿真结果心得体会通过此次课程设计，使我更加扎实的掌握了有关数字信号处理方面