Derivative高中数学导数

1、导数（ Derivative ）是微积分 中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。 在一个函数存在导数时， 称这个函数可导或者可 微分。可导的函数一定连续。 不连续的函数一定不可导。 导数实质上就是一个求极限的过程， 导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数（ derivative function）亦名纪数、微商 （微分中的概念），由速度变化问题和曲线的切线 问题而抽象出来的数学概念。又称变化率 。如一辆汽车在10 小时走了600 千米，它的平均速度是60 千米小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60 千米小时。为了较好地反映汽车在

2、行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s 与时间t 的关系为s f（ t ）那么汽车在由时刻t0 变到 t1 这段时间的平均速度是f(t1)-f(t0)/t1-t0当t1 与 t0 很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0到t1这段时间的运动变化情况.自然就把极限f(t1)-f(t0)/t1-t0作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数y f(x ) 在x0 点的附近(x0 a， x0 a) 有定义 ;当自变量的增量xx x00 时函数 增量y f（ x）f（ x0 ）与 自变量 增量之比的极限存在且有限,就说

3、函数f 在 x0 点可导，称之为f 在 x0 点的（或变化率).导数的几何意义若函数f 在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I 为定义域 的新函数， 记作f(x)或y ，称之为f 的导函数，简称为导数。函数y f （ x）在 x0 点的导数f （ x0 ）的几何意义：表示函数曲线在P0 x0 ， f（ x0 ）点的切线斜率一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y f(x ) 在（ a ，b ）可导。如果在（a ，b ）， f（ x ）0, 则 f（ x）在这个区间是单调增加的。如果在（a ，b ）， f （ x） 0, 则 f（ x ）在这个区间是单调减小的。所以，当f （

4、 x ） =0 时， y f(x)有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。导数是微积分中的重要概念。导数另一个定义：当x=x0时，f(x0)是一个确定的数。这样，当x 变化时，f(x)便是x 的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数） 。y=f(x)的导数有时也记作y ，即（如右图）：物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率 、还可以表示经济学中的边际和弹性 。以上说的经典导数定义

5、可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的 流形 上的 向量丛 截面（比如 切向量场）的变化， 导数的概念被推广为所谓的“联络 ”。有了联络，人们就可以研究大围的几何问题，这是微分几何与物理 中最重要的基础概念之一。注意： 1.f(x)0且 a 不等于1)(x1/2)=2(x1/2)(-1)(1/x)=x(-2)补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。（ 3 ）导数的四则运算法则（和、差、积、商）： (u v)=u v (uv)=uv+uv (u/v)=(uv-uv)/ v2（ 4 ）复合函数 的导数复合函数对自变量的

6、导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数- 称为 链式法则。导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿 及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！编辑本段导数公式及证明这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:基本导数公式1.y=c(c为常数 ) y=02.y=xn, y=nx(n-1)3.(1)y=ax ,y=axlna； (2)y=ex y=ex4.(1)y=logaX, y=1/xlna (a0且 a 不等于5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/(cosx)28.y=cotx y=-1/(sinx)29.y=arcsinx y

7、=1/1-x210.y=arccosx y=-1/ 1-x211.y=arctanx y=1/(1+x2)12.y=arccotx y=-1/(1+x2)1,x0)； (2)y=lnx ,y=1/x在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=fg(x),y=fg(x)?g(x) fg(x)中 g(x ）看作整个变量，而g(x)中把x 看作变量2.y=u/v,y=(uv-uv)/v23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y=1/x证：1. 显而易见，y=c是一条平行于x 轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0 。用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c -c=0,limx

8、0y/x=0。2. 这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到 n 任意实数的一般情况。在得到 y=ex y=ex 和 y=lnx y=1/x 这两个结果后能用复合为函数的 求导 给予证明。3.y=ax,y=a(x+x) -ax=ax(a x -1)y/x=ax(ax-1)/x如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数 ax-1 通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+ )。所以 (a x-1)/ x /loga(1+ )=1/loga(1+ )1/ 显 然 ， 当x0 时 ， 也 是 趋 向 于0的 。 而lim 0(1+ )1/ =e

9、,所 以lim 01/loga(1+ )1/ =1/logae=lna。把这个结 果代入limx0y/x=limx0ax(a x-1)/ x 后得 到limx 0y/x=axlna。可以知道，当a=e时有y=ex y=ex。4.y=logaxlimy=loga(x+x) -logax=loga(x+x)/x=loga(1+y/x=loga(1+x/x)(x/x)/x因 为 当x0 时 ，x/x趋 向 于x 0loga(1+x/x)(x/x)logae, 所以有x/x)x/x0而x/ x 趋 向 于 ， 所 以limx0y/ x logae/x。也可以进一步用换底公式limx0y/ x loga

10、e/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)(-1)可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。这时可以进行y=xn y=nx(n-1)的推导了。 因为y=xn,所以y=eln(xn)=enlnx,所以y=enlnx?(nlnx)=xn?n/x=nx(n-1) 。5.y=sinxy=sin(x+x)- sinx=2cos(x+y/x=2cos(x+x/2)sin(所以limx0y/x=limx/2)sin(x/2)x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x0cos(x+x/2)?limx0sin(x/2)x/2)/(x/2)=cosx6. 类似地，可以导出

11、y=cosx y=-sinx。7.y=tanx=sinx/cosxy=(sinx)cosx-sinx(cosx)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x8.y=cotx=cosx/sinxy=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x9.y=arcsinxx=sinyx=cosyy=1/x=1/cosy=1/1-sin2y=1/ 1-x210.y=arccosxx=cosyx=-sinyy=1/x=-1/siny=-1/ 1-cos2y=-1/ 1-x211.y=arctanxx=tanyx=1/cos2yy=1/x=cos2y=1/s

12、ec2y=1/1+tan2x=1/1+x212.y=arccotxx=cotyx=-1/sin2yy=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2另外在对 双曲函数 shx,chx,thx 等以及反双曲函数 arshx,archx,arthx 复杂的复合函数求导时通过查阅 导数表 和运用开头的公式与等和其他较4.y=u土v,y=u土v5.y=uv,y=uv+uv均能较快捷地求得结果。对于y=xn y=nx(n-1)， y=ax y=axlna有更直接的求导方法。y=xn由指数函数定义可知，y0等式两边取自然对数ln y=n*ln x等式两边对x 求导，注意y 是

13、 y 对 x 的复合函数y * (1/y)=n*(1/x)y=n*y/x=n* xn / x=n * x (n-1)幂函数同理可证导数说白了它其实就是斜率上面说的分母趋于零者的比就有可能是某一个数, 这是当然的了, 但不要忘了分子也是可能趋于零的,所以两, 如果分子趋于某一个数, 而不是零的话, 那么比值会很大,可以认为是无穷大, 也就是我们所说的导数不存在.x/x,若这里让X 趋于零的话, 分母是趋于零了, 但它们的比值是1, 所以极限为1.建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念,可以很接近它,但永远到不了那个岸.并且要认识到导数是一个比值.导数的应用1函数的单调性(1) 利用导

14、数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想一般地，在某个区间(a ， b) ，如果f(x) ，那么函数y=f(x) 在这个区间单调递增；如果f(x) ，那么函数y=f(x) 在这个区间单调递减如果在某个区间恒有f(x)=0 ，则 f(x) 是常数函数注意：在某个区间，f(x) 是f(x) 在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在 R 是增函数，但x=0 时 f(x)=0 。也就是说，如果已知f(x) 为增函数，解题时就必须写f(x)0。(2) 求函数单调区间的步骤确定f(x)的定义域

15、；求导数；由（或）解出相应的x 的围当f(x) 0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x) 0 时， f(x) 在相应区间上是减函数2函数的极值(1) 函数的极值的判定如果在两侧符号相同，则不是f(x) 的极值点；如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极小值.3求函数极值的步骤确定函数的定义域；求导数；在定义域求出所有的驻点，即求方程及的所有实根；检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x) 在这个根处取得极小值4函数的最值(1) 如果f(x)在 a,b上的最大值（或最小值）是在(a ， b) 一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）

16、同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在 (a ， b) 所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a， b的端点a 或b 处取得，极值与最值是两个不同的概念(2) 求 f(x) 在 a ， b 上的最大值与最小值的步骤求 f(x) 在 (a ， b) 的极值；将 f(x) 的各极值与 f(a) ，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值5生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现实的意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题6

17、实习作业本节容概括总结了微积分建立的时代背景，并阐述了其历史意义，包括以下六部分：(1) 微积分的研究对象；(2) 历史上对微积分产生和发展的评价；(3) 微积分产生的悠久历史渊源；(4) 微积分产生的具体的时代背景；(5) 牛顿和莱布尼茨的工作；(6) 微积分的历史意义7. 注意事项（ 1 ）函数图像看增减，导数图像看正负。（ 2 ）极大值不一定比极小值大。（ 3 ）极值是局部的性质，最值是整体的性质编辑本段高阶导数高阶导数的求法1. 直接法：由 高阶导数 的定义逐步求高阶导数.一般用来寻找解题方法。2. 高阶导数的运算法则:高阶导数运算法则注意：必须在各自的导数存在时应用（和差点导数）3.

18、 间接法 : 利用已知的高阶导数公式，通过四则运算 ,变量代换等方法，注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式求出阶导数.常见高阶导数的公式：常见高阶导数公式第十讲导数【考点透视】1 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2 熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3 理解可导函数的单调性与其导数的关系； 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【例题解析】

19、考点 1导数的概念对概念的要求： 了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念 .例 1f ( x) 是 f (x)1 x32x1 的导函数，则f( 1) 的值是3 考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 解答过程 Q f (x)x22,f(1)223.1故填 3.例2. 设函数 f ( x)xa ,集合 M= x | f ( x)0 ,P= x | f( x) 0 ,若 MP, 则实数 a 的取值围是x1()A.(- ,1)B.(0,1)C.(1,+ )D. 1,+ ) 考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 解答过

20、程 由 xa0,当a1时,1xa;当a1时, ax1.x1/1xaQ yx a , y/x axa 1 20.x2x1x11x1a1.综上可得 MP 时 ,a1.考点 2曲线的切线（1 ）关于曲线在某一点的切线求曲线 y=f(x) 在某一点 P（ x,y ）的切线， 即求出函数y=f(x) 在 P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率 .（2 ）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例 3.已知函数 f ( x)1 x31 ax2bx 在区间 11)， ， (1，3 各有一个极值点32（I ）求 a24b 的最大值；（II ）当 a24b8时，设函数 y

21、f ( x) 在点 A(1， f (1) 处的切线为 l ，若 l 在点 A 处穿过函数 yf (x) 的图象（即动点在点A 附近沿曲线 yf ( x) 运动，经过点 A 时，从 l的一侧进入另一侧），求函数f ( x) 的表达式思路启迪 ：用求导来求得切线斜率 .解答过程：（ I）因为函数 f (x)1 x31 ax2bx 在区间 11)， ， (13， 分别有一个极值点，32所以 f ( x)x2ax b0 在 11)， ， (1，3 分别有一个实根，设两实根为x1， x2 （ x1x2 ），则 x2x1a24b ，且 0x2 x1 4于是0a24b 4 ， 0a24b 16 ，且当 x1

22、1，x23 ，即 a 2， b3 时等号成立故 a24b 的最大值是 16（II ）解法一：由f(1)1ab 知 f ( x) 在点 (1， f (1) 处的切线 l 的方程是yf (1)f(1)(x1) ，即 y(1 ab)x21 a ，32因为切线 l在点 A(1， f ( x) 处空过 yf ( x) 的图象，所以 g(x)f ( x)(1ab) x21 a 在 x1 两边附近的函数值异号，则32x 1 不是 g( x) 的极值点而 g( x)1 x31 ax2bx(1ab)x21 a ，且3232g ( x)x2axb (1ab)x2axa1 (x 1)(x 1 a) 若 11 a，则

23、 x1和 x1 a 都是 g (x) 的极值点所以 11a ，即 a2，又由 a24b8 ，得 b1，故 f (x)1 x3x2x 3解法二：同解法一得g( x)f ( x) (1 ab) x21 a1 ( x3a) x3 a) 321) x2(1(2322因为切线 l 在点 A(1， f (1) 处穿过 yf (x) 的图象，所以g( x) 在 x1 两边附近的函数值异号，于是存在m1， m2 （ m11 m2 ）当 m1x 1时， g( x)0，当 1 xm2 时， g( x)0 ；或当 m1x 1时， g ( x)0，当1x m2 时， g(x) 0设 h( x)x213ax23a，则2

24、2当 m1x1时， h(x)0 ，当 1 xm2 时， h( x)0 ；或当 m1x 1时， h( x) 0 ，当 1 xm2 时， h(x) 0 由 h(1)0 知 x 1 是 h(x) 的一个极值点，则 h(1) 21 13a0 ，2所以 a2 ，又由 a24b 8 ，得 b1，故 f ( x)1 x3x2x 例 4.若曲线 y3x4 的一条切线 l 与直线 x4 y 8 0 垂直，则 l 的方程为（）A 4x y 3 0B x 4 y 5 0C 4x y 3 0D x 4 y 3 0 考查目的 本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程 与直线 x4y8 0 垂直的

25、直线 l 为 4x y m0 ，即 yx 4 在某一点的导数为4 ，而 y4x3 ，所以 yx4 在(1 ，1) 处导数为4，此点的切线为 4xy30.故选 A.例 5过坐标原点且与 x2 +y2 -4x+2 y+ 5 =0 相切的直线的方程为()2A.y=-3 x 或 y= 1 xB. y=-3 x 或 y=- 1 xC. y=-3 x 或 y=- 1 xD. y=3 x 或 y= 1 x3333 考查目的 本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程 解法 1 ：设切线的方程为ykx, kx y 0.又 x2 2y1 25 ,圆心为 2,1 .22k15 ,3

26、k28k3 0. k1 , k3.k2 123y1 x, 或 y3x.3故选 A.解法 2:由解法1 知切点坐标为 (1 ,3 ),3,1 ,由2222( x 2) 2y 1 2/x/5,2 x2( x2)2y 1 y x/0,yx /x2 .y1k1yx/1,33,k2yx/3,1)(22)(22y3x, y1x.31.3故选 A.例 6.已知两抛物线 C: yx 22x,C2: yx2a , a 取何值时C1，C2有且只有一条公切线，1求出此时公切线的方程.思路启迪 ：先对C1:yx22,2:yx2a求导数 .x C解答过程： 函数 yx 22 x 的导数为 y 2 x2 ，曲线 C1 在

27、点 P( x1 , x122x1 )处的切线方程为y(x22x1)2(x2)( x x ) ，即y2(x11)xx12111曲线 C1 在点 Q (x2 ,x22a) 的切线方程是y( x2a)2x2 (x x2 ) 即y2a2 x2 x x2若直线 l 是过点 P 点和 Q 点的公切线，则式和式都是l 的方程，故得x11x,x2x21，消去 x2 得方程， 2x 22x 1a 021211若 =442(1a)0 ，即 a1 时，解得 x11 ，此时点 P、Q 重合 .22当时 a1 ， C1 和 C 2 有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y x1 .24考点 3导数的应用中学阶段所涉及的

28、初等函数在其定义域都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3. 解决单调性问题; 4. 求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例 7函数 f (x) 的定义域为开区间(a, b) ，导函数f (x) 在 (a, b) 的图象如图所示，则函数f ( x)在开区间 (a,b)有极小值点（）A1 个B2 个

29、C3 个D 4个 考查目的 本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力 . 解答过程 由图象可见 , 在区间 (a,0) 的图象上有一个极小值点.故选 A.例 8 . 设函数 f ( x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值（）求a、b 的值；（）若对于任意的x0，3，都有f (x)c2 成立，求 c 的取值围思路启迪 ：利用函数 f ( x) 2x33ax23bx8c 在 x1 及 x 2时取得极值构造方程组求a、b 的值解答过程：（） f( x)6x26ax3b ，因为函数 f ( x) 在 x1及 x2取得极值，则有f(1) 0 ， f (2) 0 66

30、a3b，0即2412a3b0解得 a3 ， b4（）由（）可知，f ( x) 2x39x212x8c ，f (x)6x218x126( x1)(x2) 当 x(01)， 时， f( x)0 ；当 x(12)， 时， f( x)0 ；当 x(2，3) 时， f( x)0 所以，当x1 时， f ( x) 取得极大值f (1)58c ，又 f (0)8c ， f (3) 9 8c 则当 x0，3时， f (x) 的最大值为f (3)98c 因为对于任意的 x0，3 ，有 f ( x)c2 恒成立，所以98cc2 ，解得c1或 c9 ，因此 c 的取值围为 (， 1)U (9，) 例 9.函数 y2

31、x 4x 3 的值域是 _.思路启迪 ：求函数的值域， 是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解， 也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程： 由 2x40得， x2，即函数的定义域为 2, ) .x30y112 x32x4 ，2x 4 2 x 3 2 2x 4 x 3又 2x 32 x42x8，x32x24当 x2 时， y 0，函数 y2 x4x3 在 (2, ) 上是增函数，而f ( 2)1， y2x4x 3的值域是 1,) .例 10 已知函数 fx4x 33x 2 cos3 cos，其中 xR, 为参数，且 0216（1）当时