二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.

1、第八章二次型二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用本章主要介绍二次型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 8.1二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出：2 2 ax bxy cy dx ey f 0(1.1)要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去xy项，通常

2、的坐标变换公式为：x x cosy sin(1.2)y x siny cos从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分 类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只考虑二次齐次多项式.定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式：2f (X1,X2 ,L ,Xn) 印必242X1X2 L2a1nX1Xn2a22X22a23X2X3 L2a2nX2Xn(1.3)1222Lan 1,n 1 xn 12an 1,n xn 1

3、xnann xn称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即2 2 2f(X1,X2丄，Xn) djX1d2X2 LdnXn称为标准形式的二次型，简称为标准形.说明：在这个定义中，非平方项系数用2aj主要是为了以后矩阵表示的方便例8.1.2下列多项式都是二次型：2 2f (x, y) x 3xy 3yf (x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz ，3z2F列多项式都不是二次型f (x, y) x2 3xy 3y2 2x 1f(x,y,z) 2x3 2xy 4yz 3z2 1f(x

4、1,X2,L ,Xn) anxj定义8.1.3设X1,X2,L ,Xn；yi, y2丄,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式C11 y1C|2y2LX2C21 y1022 y2LC2n%(1.4)L LLXnCn2y2LCnn yn称为由 X1,X2,L ,Xn 到 y1, y2,L ,yn的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式q0,那么线性替换(1.4)就称为非退化的在研究二次型时，矩阵是-个有力工具,因此我们先把二次型用矩阵来表示.令aijaji ,则有 2aij xixjaj xxajiXjXi ,于是(1.3)式可以改写为812X2La1nX1Xna：1 X2X1a：2X

5、2la：n 卷XiLan1XnX1an 2Xn X2LannXnX1 (anX1LX2(821X1822X2 LLXnnMan2X2 L(Xi,X2,LaXa2XLa1nXna2Xa22X2La2n 片1Lan1X1an2X2Lannna11a12La1nX1a21a22La2nX2LLLLMan1an2LannXn(为,X2,L ,Xn),Xn)a1n n ) a2nXn) annn )(1.5)a11a12La1nX1a21a22La2nX2记A,xLLLLMan1an2LannXn则二次型可记为fT XAx,其中A是对称矩阵称(1.5)式为二次型的矩阵形式例 8.1.4 二次型 f (x

6、, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz , 3z2 的矩阵形式为21xf(x，y，z) (x，y，z)112y32z说明：任给一个二次型就唯一地确疋一个对称矩阵.反之，任给一个对称矩阵可唯一地确疋一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着对应的关系 .把对称矩阵 A称为二次型f的矩阵，也把f称为对称矩阵 A的二次型.称对称矩阵 A的秩为二次型的秩.例8.1.5给定对称矩阵12 132 231A13 303 1042 22x2x4 3x3 4x4f (X1,X2, X3, X4) x!2则其对应的二次型为：对于二次型f xTAx ,作线性替换xCy，其中c11C|2LGn*cp21C

7、22LOn,yy2LLLLMCn1Cn2LCnnynfxTAx (Cy)TA(Cy)yTcTACyyT(CTAC)yB CTAC,则有 bt (ctac )tctat(ct)tctac2为X36x-|X46x2x34x-|X2则B ,即B是对称矩阵.这令2x22样，对称矩阵B同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型 定义8.1.6设A,B是数域P上的n阶方阵，如果有数域P上的n阶可逆矩阵C，使得CtAC B则称矩阵A与B合同，记作A ; B.合同是矩阵之间的一个关系 易知，合同关系具有：(1) 反身性：即A与A合同，因为A EtAE ； 对称性：即若A与B合同，则B与A合同，因为

8、由B CTAC，即得A (C 1)TBC 1;传递性：即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，由B C1T AC1和C C2 BC2，即得 C C2 BC2 (C1C2) A(GC2).说明：经过非退化的线性替换 ，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.这样，我们就 把二次型的变换通过矩阵表示出来 ，为以后的讨论提供了有力的工具 另外，在二次型变换时我们总是要求所作的线性替换是非退化的 , 因为这样我们可以把所得的二次型还原 . 定理 8.1.7 若 A 与 B 合同,则 rankA rankB .证明：因为A与B合同，所以存在n阶可逆矩阵C ,使得CT AC B由于可逆矩阵乘以矩阵两边不

9、改变矩阵的秩，故rankA rankB .说明：这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证这样，若B是对角矩阵，则非退化的线性替换x Cy就把二次型化为了标准形 .因此，把二次型化为标准形的问题其实质是：对于对称矩阵 A，寻找可逆矩阵C，使得CtAC B为对角矩阵.8.2 化二次型为标准形现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题 .1 配方法定理 8.2.1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形，即只含有平方项 .证明 ： 对变量的个数 n 作数学归纳法 .2对于 n 1，二次型就是 f (x1) a11x12 ， 显然已经是平方项了 . 现假定对 n 1元的二次型

10、 ，定nn 理的结论成立 .再设 f (x1，x2，L ，xn)aij xixj (aij aji )i1 j 1分三种情形来讨论 ：aH(i 1,2，L，n)中至少有一个不为零，例如0，这时nf(x1，x2，L ，xn) a11x12nna1j x1xj j2ai1xix1aijxixji2j22 a11x1n2a1j x1xjj2nnaij xi xj2j2a11 ( x1n12 a11 a1 j xj ) j2a11 (a1j xj )j2aij xixj j2a11 ( x112 a11 a1 j xj ) j2nnbij xixji2j2n12 a11 (a1j xj )j2nnai

11、jxixji2j2nn这里bij xixji2j2是一个关于X2, X3，L ，Xn的二次型.令ny11x1a11 a1j xjj2y2x2LLLynxnn1x1 y1a111a1 j yjj2x2 y2LLLxn yn这是一个非退化线性替换 ,它使nn 2f(x1,x2,L ,xn) a11y1bij yiyji2j2nn由归纳法假定 ,对bij yi y j 有非退化的线性替换i2j2c2nync3nynz2 c22 y2 c23 y3 L z3 c32 y2 c33 y3 L LLLzn cn2 y2 cn3y3 L cnnyn能使它变成平方和于是非退化线性替换d2z22 d3z32 L

12、 dnzn2z1y1z2c22 y2c23 y3Lc2nynLLLzncn2 y2cn3y3Lcnnyn就使 f (x1,x2,L ,xn) 变成f (x1,x2,L ,xn) a11z12 d2z22 d3z32 L dnzn2 即变成平方和了 .根据归纳法原理 ,定理得证 . 所有aii(i 1,2,L , n)都等于零，但是至少有一个 的 0( j2,3丄，n),不失普遍性，设a12 0.令x1 z1 z2 x2 z1 z2 x3 z3 LLL xn zn它是非退化线性变换,且使f (Xi,X2,L ,Xn) 2ai2XiX2 L2ai2(Zi Z2)(Zi Z2) L22 2ai2Zi

13、2ai2Z2L2这时，上式右端是Zi,Z2丄，Zn的二次型，且乙的系数不为零,属于第一种情况，定理成立. an ai2 L am0,由对称性知 a?ia3iLani0nn这时f(Xi,X2,L ,xn)ajXjXj是n 1元的二次型,根据归纳法假定,它能用非退化线i2j2性替换变成平方和 . 证毕 .例 8.2.2 用配方法化二次型f(Xi,X2,X3)2Xi2X22 5X322XiX22XiX36X2X3Xiyiy2y3X2y2X3y3yi Ziy2 Z2 2Z3ZiyiZ2y2 2y3 ,即Z3y3为标准形 ,并写出所用的非退化线性替换解: 由定理的证明过程 ,令yiXiX2X3y2X2,

14、 即y3X3得: f(Xi,X2,X3) yi2 y22 4y2y3 4y32 上式右端除第一项外已不再含yi , 继续配方 ,令y3Z3得: f(Xi,X2,X3)Zi2Z22所有的非退化线性替换为例8.2.3用配方法化二次型f (Xi,X2,X3,X4)XZ22 Z3X3Z32x1x2 x1x3x1x4 x2x3 x2x4 2x3x4为标准形，并写出所用的非退化性替换解：由定理的证明过程，令Xiyiy2X2yiy2X3y3X4y4代入原二次型得：2f (Xi，X2，X3, X4)2yi2y222y32y42丫3丫42这时yi项不为零，于是f(Xi,X2,X3,X4) (2yi2 2yy 2

15、y4)2暇 2y342(yii2y3i 2卯i 24y3i 2屛丫4 2y22 2 y342(yiiiy3i 2尹4)2y22i 2i 2iy42(yii2y3i 、2y4)2y22如3y4)2令Ziyi1 iy3y42 2Z2y2Z3y3y4Z4y4于是，f (Xi，X2，X3, X4)2zi22Z2Z32其中Z4的系数为零，故没有写出为求非退化线性替换，我们可将第二个替换代入第一个替换中，得1XiZiZ22Z31ZX2ZiZ2Z3Z42X3Z3Z4X4Z4说明：在用配方法化二次型为标准形时，必须保证线性替换是非退化的有时,我们在配方过 程中会遇到看似简单的方法，但得到的结果未必正确如2 2

16、 2f (捲公2必)(Xi X2)22x12x2 2x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3X3)2Xi X3)2若令yiXiy2XiX3y3X2X3则 f(Xi,X2,X3)2 yi2y22y3 .然而，所以，此处所作的线性替换是退化的,于是最后的结果并不是所求的2初等变换法由于二次型与对称矩阵对应,所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用矩阵的方法做到，由 8.1我们知道，矩阵合同可以将矩阵化为对角阵.于是，定理8.2.1可以 用矩阵的语言描述出来定理8.2.4数域P上任意一个对称矩阵A都合同于一对角矩阵D.即存在可逆矩阵C ,使dictac dd2(2.i)dn现在我们就根据定理8.

17、2.4,讨论用矩阵的初等变换来求定理8.2.4中的可逆矩阵C及对角矩阵D.由前面的知识，我们知道，可逆矩阵C可以表示为有限个初等矩阵P1, P2,L ,Pm的乘积，即CRP2L PmERP2L Pm(2.2)将 (2.2) 式代入 (2.1)式, 得PmT L P2TP1TAP1P2L Pm D(2.3)(2.3)式表明，对对称矩阵 A施行m次初等行变换及相同的m次初等列变换,A就变为了对角矩阵D .而(2.2)式表明对单位矩阵E施行上述的初等列变换,E就变为可逆矩阵C .这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C及对角矩阵 D,使得A与D合同的方法称为 初等变换法 . 具体做法 : 对以 n 阶对称

18、矩阵A和n阶单位矩阵E做成的2nn 矩阵进行初等变换A对A施行初等行变换D对2n n矩阵施行相同的初等列变换则 C T AC D .例 8.2.5 已知对称矩阵111A 1 2 3135111101100123012012A 解:135r2 ( 1)r1125r3 ( 1)r1024E100c2 ( 1)c1110c3 ( 1)c1111010010010001001001100010r3 ( 2)r2000c3 ( 2)c2111012001所求可逆矩阵C 及对角矩阵D 为:111100C012,D010001000用初等变换法求可逆矩阵C及对角矩阵D ,使得A与D合同.且 C T AC D

19、 .例 8.2.6 已知二次型f (x1,x2,x3)2x1x22x1x36x2x3用初等变换法将其化为标准形，并求非退化的线性替换解：二次型对应的矩阵为：于是有，01121031A130r1 r22E100C1 C10101001020001223 *0223(4)r2C3 C11121C3(4)C21121001011A1031301220203012230r2（丄兀222000C2(2112010112001001200012000611231121001故非退化线性替换为123yi1 41y20 01y3XiXX3这样，二次型化为2 1 2 22y1y26y3 8.3惯性定理我们知道，

20、二次型与对称矩阵一一对应，并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵又因为合同不改变矩阵的秩，这样一来，任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的个数是不变的，就是矩阵的秩因此，在一个二次型的标准形中，系数不为零的项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关至于标准形中的系数，就不是唯一确定的比如在例8.2.6中，我们还可以进一步，令则二次型化为2 2 2Z1Z2Z3 .这说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关F面只就实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题设对称矩阵A的秩为r,则由定理824知,存在可逆矩阵C，使得矩阵A合同于对角矩阵D,即d

21、1ctac ddr,di 0,i1,2,L ,r即此时原二次型化为2f (X1,X2 ,L , Xn) d1X1在这些不为零的dj中,假设d10, d2(1)在实数域内，我们令2 2d2X2d3X3drXr2(3.1)0,L ,dp 0;dp 10,dp 20,L ,dr0 ,这样:d2 X2 ,Ly1小必小yp 1 d p 1 Xp 1，yp 2,ypd p 2 Xp 2,L,yr、.、drXr则(3.1)式变为：f(X|,X2,L ,Xn) yj 鸟22 2yp yp 12yp 22Lyr这就是说对称矩阵A合同于下列对角矩阵：,其中有p个1, rp 个 1, n r个0.(2)在复数域内，

22、我们令y1则(3.1)式变为:f (知 x2,L ,xn)4必，y22y1y2.d2X2 ,L ,yr . drXrL yr2这就是说对称矩阵 A合同于下列对角矩阵O10, 其中有 r 个 1.O0定义 8.3.1在实数域内 , 称 f(x1,x2,L ,xn) y12y22 L22 2 2yp2 y2p 1 y2p 2 L yr2 为实二次型的规范形 ; 在复数域内 , 称 f (x1,x2,L2,xn ) y122y2 L yr 为复二次型的规范形 .定理 8.3.2 (惯性定理 ) 设f (x1,x2,L,xn)是一个n 元实二次型 ,且 f 可化为两个规范形222222y12y22 L

23、yp2y2p 1y2p 2Lyr2 ,222222z1z22 Lzq2zq 1zq 2Lzr则必有 pq.证明 : 用反证法 . 设 p q,由前面知识知 ,222222y1y2 Lyp2yp 1yp 2 Lyr222222 (3.2)z1z22 Lzqzq 1zq 2 Lzr又设 x By,x Czx1y1z1其中xx2,yMxny2M ,zynz2M zn于是，z C By .令c11c12Lc1n1c21c22Lc2nC1B 21LLLLcn1cn2Lcnnz1c11y1c12 y2Lc1n yn则z2c21y1c22 y2Lc2nynLLLzncn1y1cn2 y2Lcnn yn因为

24、p q ,齐次线性方程组c11y1c12 y2Lc1n yn0c21y1c22 y2Lc2nyn0LLLcq1y1cq2y2Lcqn yn0yp 1 0LLLyn 00,L , yn必有非零解(n个未知数,n ( p q)个方程式).令其中一个非零解为y1 a1,y2 a2,L ,yp ap,yp 1把这组解代入 (3.2)式中的上式 , 得到:2 2 2 2y12y22 L yp2y2p 1 Lz2Lzq0,故(3.2)式中的下式为2 2 2 2 2z1z2Lzqzq 1 Lzr但这时 z12yr22a122a222 ap2zq 12zr这样就得出了矛盾 .同理可证 p q 也不可能 .是

25、p q.证毕.说明 : 这个定理表明了实二次型的规范形是唯一的定义 8.3.3 在实二次型的规范形 f (x1, x2,L ,xn)2y12 y22yp22yp 1中 , 则称 r 是该 二次型的秩 , p 是它的 正惯性指数,q rp 是 负惯性指数 ,22yp 2L yrs p q 称为f 的 符号 推论 8.3.4 两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数 .定理835设f(XsX2丄,xn)是一个n元复二次型，则f经过适当的非退化线性替换可以 化为规范形 ,且规范形是唯一的 .推论 8.3.6 两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩 .8.4 正定二次型在实二次型中 ，正定二

26、次型占有特殊的地位 . 所以本节主要介绍实二次型 ，并讨论它们的 正定性 .定义8.4.1设f (Xi,X2,L ,Xn) xtAx是一个n元实二次型,如果对任意n维列向量x 0 都有 :(1) f 0,则称 f 为正定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为正定矩阵 ;(2) f 0,则称 f 为负定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为负定矩阵 ;(3) f 0,则称f为半正定二次型，并称实对称矩阵 A为半正定矩阵；(4) f 0,则称 f 为半负定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为半负定矩阵 ;(5) f 既不满足 (3) ,又不满足 (4) ,则称 f 为不定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为不定矩阵

27、.例 8.4.2 已知 A 和 B 都是 n 阶正定矩阵 , 证明 A B 也是正定矩阵 .证明：因为A和B都是n阶正定矩阵，所以A A, Bt B ,于是(A B)T AT BT A B即 A B 也是对称矩阵 .又任意 x 0，有 xTAx 0，xTBx 0，从而xT(A B)x xTAx xTBx 0即xT(A B)x是正定二次型，故A B是正定矩阵.定理843 n元实二次型f(Xi,X2丄，Xn) xtAx正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n.证明：设n元实二次型f (Xi,X2,L ,Xn) xtAx经过非退化线性替换 x Cy化为标准形nfdi yi2i1充分性.已知dj 0

28、(i 1,2,L , n),对于任意X 0有y C 1x 0,故nfdi yi 2 0i1必要性.用反证法.假设有某个dt 0,当取y t (0,L ,1,L ,0)t时，有x C t 0 ,此时 f xTAxtTCTAC t dt 0这与已知f为正定二次型矛盾故dj 0(i 1,2丄，n).证毕.推论8.4.4实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正数.推论8.4.5实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A合同于单位矩阵 E .推论 8.4.6 实对称矩阵 A 为正定矩阵的必要条件是 detA 0.证明：因为A为正定矩阵，由推论8.4.5, A合同于单位矩阵 E,所以有可逆矩阵

29、 C使A C T EC C TC两边取行列式 ,有TT2detA det(CTC) detCTdetC (detC)20说明 ： 从定义可以看出 ,如果我们根据定义来判断二次型的正定性是比较麻烦的.所以我们下面给出一个方便判断的结论 .定义 8.4.7 子式311312La21322LLLL3i1ai2Laiia2iLaii称为矩阵A (3j)nn的顺序主子式定理848 n元实二次型f(x4,x2丄,xn)xT Ax正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零n n证明：f (x1, x2,L ,xn) xTAxaqXjXji 1 j 1必要性已知二次型f是正定的令fk(X1,X2,L ,Xk

30、)k kaijXXj(k 1,2,L ,n)i 1 j 1则对任意的列向量(VX2丄,xk)T 0,有fk(Xi,X2,L ,xjf(Xi,X2, L ,Xk,O,L ,0)0 (k 1,2,L , n)从而fk(x1,x2,L ,xk)是k元正定二次型由上面的推论846知,a11312La1k321322L32k0,(k 1,2,L ,n)LLLL3k13k2L3kk2 充分性已知k 0(k 1,2,L ,n).对阶数n作数学归纳法当n 1时,f 內凶,由1 a11 0知f是正定的假设论断对n 1元二次型成立以下来证n元二次型的情形注意到13110,将f关于X1配方，得1 (311X1812

31、X2 LamXn)2a11n nbjXiXji 2 j 2其中bjaj31i C j311(i, j 2,3,L ,n)k k由3jaji 知 bijbji如果能证明n 1元实二次型1bjXjXj是正定的，则由定义知f也i 2 j 2是正定的.根据行列式性质，得从而OnO12LO1ka21a22La2kLLLLak1ak2LakkkOi1 ri Aani 2,3,L ,nan0鸟2LPkLa11b22Mb2nM0(k2,3,L ,n)b2nM(k 2,3 丄，n)bk2bkk由归纳假设知n1元实二次型ibj xXj是正定的例849判断下列二次型的正定性5X122X25X324x1x28X1X3

32、 4X2X3解：二次型f的矩阵为因为 15 0, 20,所以f是正定的.例8.4.10试求t的取值范围，使下列二次型为正定二次型2X14x224 x32 3x422txx2 2x-|X3 4x2x3 ;解：二次型对应的矩阵为1 t 1 0t 420A12400003矩阵A的顺序主子式为1 t110, 2 t 11 t 1t 424(t 1)(t 2),1 241 t 1 012(t 1)(t 2)t 42012400003为了使A正定,必须有:即有i 0(i123,4)4 t20,(t 1)(t 2)0解得 2 t 1.最后，我们注意到正、负定二次型的关系，于是有下面的结论.定理8.4.11

33、n元实二次型f(x1,X2, L ,Xn) xtAx负定的充分必要条件是下列条件之一成(1) f的负惯性指数为n ；(2) A的特征值全为负数；A合同于 E;A的各阶顺序主子式负正相间，即奇数阶顺序主子式为负数，偶数阶顺序主子式为正数 定理8.4.12 n元实二次型f(x1,X2,L ,Xn) xtAx半正定的充分必要条件是下列条件之一成(1) f的正惯性指数与秩相等；(2) A的特征值全为非负数；Er 0A合同于 r，其中r为矩阵A的秩；0 0存在实矩阵C使得a ctc；(5) A的各阶主子式都非负，其中主子式就是指行指标与列指标相同的子式 说明：仅有顺序主子式非负是不能保证半正定性的如20

34、0 x1f(X1，X2)X2(为，X2)01x2就是一个反例.习题八(A)1. 证明：秩等于r的对称矩阵等于r个秩为1的对称矩阵之和2. 设i1，i2丄，in是1，2，L，n的一个排列，则下面两个对角阵1)4x1x2 2x1x32x2x3；2)2 x12x1x2222x2 4x2x3 4x3；3)2 x12 x22x1x24x1x32x2x32x2x42x3x4；4)x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4. 用初等变换法把下列二次型化为标准形，并求可逆矩阵C1)3(x122x22 x3x42)2x1x22x1x42x2x3 2x2x42)2 x12 x23x324x1x42x1x32

35、x2x3；(3)2 x13x322x1x22x1x38x2x3;(4)x1x2x2x3x1x44x2x46x3x44. 用配方法把下列二次型化成标准形52x3x4；6.设A是一个n阶矩阵，证明i2合同。in3. 若可逆矩阵 A 和 B 合同，求证：A 1和 B1 也合同 .X ，有 X T AX 0 ；（1） A是反对称矩阵当且仅当对于任一个n维向量2）如果 A 是对称矩阵，且对任一个 n 维向量 X 有 X T AX 0，那么 A 0.7. 如果把实n阶矩阵按照合同分类，即两个实n阶矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？8. 证明： 一个秩大于 1 的实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式之积的充分必要条 件是它的秩等于 2 且符号差等于零 .9. 设n阶实对称矩阵 A是正定的，P是n阶实可逆矩阵，证明：PtAP也是正定矩阵.10. 设A是n阶实对称矩阵，证明：A是正定的当且仅当存在 n阶实可逆矩阵 P，使得A PTP .11. 设A是一个正定矩阵，证明：（1 ）对于任意正实数 k，kA是正定矩阵；（2 ）对于任意正整数 k，Ak是正定矩阵； 1*（3）A 是正定矩阵；（4）A的伴随矩阵 A也是正定矩阵.12. 判别下列二次型是否正定：（ 1 ） 5x12 8x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 ；2 2 2（ 2）