对概率教学中几个易错问题和疑难问题的剖析毕业论文

1、对概率教学中几个易错问题和疑难问题的剖析 摘要：概率是高中数学的重点内容，在实际应用中广泛，为每年高考必考内容。因此解概率题容易混淆的概念与出错的问题很多,本文对高中生在概率及其概念的学习中常见的错误进行剖析。关键词：概率 易错问题 疑难问题 成因主要内容：一、几个易错问题的剖析1 概念理解错误例1 已知甲袋内有大小相同的4个红球和5个黑球，乙袋内有大小相同的6个红球和5个黑球，现从甲，乙两袋内各任取2个球，求取出的4个球均为红球的概率。错解 从甲袋的4个红球中任取2个红球的可能结果是个，从乙袋内的6个红球中任取2个红球的可能结果是个，故从甲，乙两袋中抽到红球的可能结果是 + 个，又从甲，乙两

2、袋中各抽2个球的可能结果为个，故取出4个球均为红球的概率为p=剖析 错解的原因是把分步当成分类，错把分步计数原理当做分类计数原理来处理此问题。分类计数原理与分步计数原理它们都是涉及完成一件事的不同方法的种数问题，它们的区别在于分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可能完成这件事。分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互联系，只有各个步骤都完成了这件事才能够完成。正解 p= 例2 8个篮球队中有2个强队，先是任意将8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分到一个组内的概率是多少？错解 记事件a为“两个强队都分在甲组”, 记事件b为“两个强队都分在乙组”。目

3、前共有8个队，需要分成2组，每组4个队组成（把这4个队看成个4空位），所以第一个强队到甲组的概率为，第二个强队到甲组的概率也为，故“两个强队同时分到甲组的概率”是p（a）=同理可得，“两个强队同时分到乙组的概率”是p（b）=由于a事件与b事件为互斥事件,故两个强队被分在同一组的概率为 p(a+b)=p(a)+p(b)=剖析 设分成的两组分别叫做第1组和第2组,两个强队分别叫做甲队和乙队,记事件a为 “甲队在第i组”,事件b为 “乙队在第i组”(i=1,2),事件c则为 “甲队,乙队在同一组”,这样前面的算式即为:p( c )=p(ab+ab) =p(ab)+p(ab) =p(a)p(b)+p(

4、 a)p(b)=现在我们比较一下条件概率公式和相互独立事件的概率公式及其他的含义与区别，条件概率公式：p（b/a）=，意思是对任何两个事件a和b，在已知事件a发生的情况下事件b发生的概率适用此公式。相互独立事件的概率公式p(ab)=p(ab)=p(a)p(b)即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积。上面解题错误的原因在于误认为p(ab)=p(a)p(b)(i=1,2).事实上, a和b不是相互独立的,事件b是在事件a发生的条件下才发生的.因此事件b发生的概率,应该是事件b在事件a已经发生的情况下的条件概率,由条件概率公式得： p( ab)=p(a) p (b|a).所以,p

5、(c)= p(ab+ab) =p(ab)+p(ab) = p(a) p(b|a)+ p(a) p(b|a) = 2 混淆“排列”和“组合”出错例3 甲、乙二人参加法律知识竞答，共有十道不同的题目，其中选择题六道，判断题四道，甲乙两人依次各抽一道题，（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一个人抽到选择题的概率是多少？错解 设a事件“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，a事件出现的结果有， 又甲、乙依次一题的结果有。所以，p(a)(2) 设b事件“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”，则事件b的对立事件为甲、乙二人都没有抽到选择题，由对立事件概率公式得：p（b）=1-p（）

6、=剖析 （1）（2）错误的原因在于將甲、乙依次各抽一题当成甲、乙同时抽一题，前面与顺序有关是排列问题，后面与顺序无关是组合问题。正解 由题意，甲、乙两人依次各抽一题，故所有可能的抽法是n=90种（1） “甲抽到选择题，乙抽到判断题”的抽法有，m=24种，所以，这一事件的概率为p=（2） “甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的抽法种数 方法一：抽法分两类，只有一人抽到选择题，抽法种数是+=48种，两个都抽到选择题，=30种，故总数m=78种。 方法二：先考虑反面，甲、乙两人都没有抽到选择题;即抽到判断题，则抽法种数是=12种，那么“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的抽法即为-=90-12=78

7、种，所以，m=78，该事件的概率p= 本题基本不上是直接应用概率公式，关键步骤是应用排列，组合的知识求出m 、n,即所有可能结果总数（基本事件总数）和事件所包含的结果总数。3 混淆“互斥”和“独立”出错例4 甲乙二人参加某地射击比赛，甲击中目标的投概率为0.7,乙击中目标的投概率为0.6,每人射击3次,两人恰好都击中目标2次的概率是多少?错解 事件a;“甲恰好击中目标2次”,事件b：“乙恰好击中目标2次”,则两人恰好击中目标2次为a+b,所以p(a+b)=p(a)+p(b)=0.3+0.4=0.873剖析 错误的原因在于把相互独立并且同时发生的事件理解为互斥事件来考虑。互斥指不可能同时发生的两

8、个事件。将两人都恰击中目标2 次理解为“甲恰好击中目标2次”与“乙恰好击中目标2次”的和。正解 事件a;“甲恰好击中目标2次”,事件b：“乙恰好击中目标2次”,则两人恰好都投中2次为ab，所以 p（ab）=p（a）p（b）=0.30.4=0.1914 混淆 =中”k次”的有条件与无条件限制出错某人射击一次命中目标的概率为,求此人射击6次3次命中且恰好有2次连续命中的概率. 错解 = 剖析 在n次独立重复实验中某事件恰好发生k次的概率公式是=,而这里的 “k次”是无条件限制,本题虽是n次独立重复实验中某事件恰有k次的概率问题，但这个问题就有限制条件6次射击中命中3次且恰好有两次连续，解决本题的关

9、键是该问题可以转化为多个互斥事件的和，这两次连续命中与一次命中是间隔排列问题，共有种可能的情况，从而该问题可以转化为个互斥事件的和，所以“6次射击3次命中恰有2次连续命中”的概率为正解 =5 混淆有放回与不放回出错例5一袋中有4只黑球，1只白球，现从袋中每次摸出一球，然后再放回袋中，求第三次摸球首次摸到白球的概率.错解 (1)错解 （2）剖析 两种解法错误的原因都在于把“放回摸球”问题当成“不放回摸球”问题来考虑。但又有区别：“不放回摸球”每一次摸球不是相互独立的且袋内的总数比前一次少一，错解（1）的错误原因在于忽视了“放回摸球”问题的每一次摸球时袋内球的总数是不变的；而错解（2）的错误的原因

10、在于忽视了“放回摸球” 问题的每一次摸球是独立的。 正解 二、几个疑难问题的剖析1 事件类型得判定例1 有4个人，每人都以相同的概率被分配到5个房间中的一间，试求至少有2人分配到同一房间的概率？方法 如果概率中出现至多至少的问题，一般利用几个互斥事件至少有一个发生的概率公式或利用对立事件的概率公式。其次，本题中也用到分步计数原理中与的区别，这类问题常用“住店法”解决，就是分清谁是“店”，谁去“住”，一般是“店”不动，让“客人”去选，用到的原理是分步计数原理。因为每个人都以相同的概率被分配到4个房间中期中的一间，故共出现种结果。设事件a：“至少有两个人分配到同一个房间”，事件b:4人分配到不同的

11、房间，事件b包含种结果，由等可能事件概率公式p（b）=，又事件a与事件b互为对立事件，所以p（a）=1-p(b)=1-=2 “有序”与“无序”得判定例2 袋内有大小相同的6个白球和4个红球，从中随机地抽取2次，第一次取出一个球不放回，第二次从剩余的球中再取出一个球，求取到的两个球中至少有一个白球的概率是多少？方法 记事件a为“取到的两个球中至少有一个白球”，又因取到一个白球，一个红球的这种取法中，包括第一次取到白球第二次取到红球和第一次取到红球第二次取到白球两种不同的情况。待添加的隐藏文字内容1故，取到的两个球中至少有一个白球的结果数是m=+=78，又基本事件总数n=90所以 p（a）=3 抽

12、样方法中的每一个个体被抽到的概率相等问题例3 为了了解某地区参加教师资格考试的1010名考生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除10个个体，在整个抽样过程中，求（1） 每个个体被剔除的概率；（2） 每个个体不被剔除的概率；（3） 每个个体被抽取的概率分别是多少？ 解析 设事件a：考生甲被剔除；事件b：考生甲不被剔除；事件c：考生甲被抽取。从1010中随机抽取10个共有 种可能结果，每一种结果出现的可能性相等。（1） 事件a包含 种结果，由等可能事件的概率公式得：（2） 由对立事件的概率公式得： （3） 从不被剔除的1000个考生中抽取50个个体，由等可能事件的概率公得每个个体被抽取的概率： ，考生甲被抽到是在不被剔除的条件下从不被剔除的1000个考生中被抽到，由条件概率公式得 p(c)=, 故 = ，所以从1010名考生中抽取一个容量为50的样本，每一个考生被抽到的概率相等，都是。参考文献1 潘佩.概率中易混淆概念的对比与思考j . 中学数学教学，2006（5）2 雷晓莉.概率试题中的数学思想与方法m. 中学数学杂志，2006（3）3 张兆喜 张宪华.对中学数学概率中几个疑难问题剖析j.数学教学研究，2004（5）4 王传胜.几个易错的概率问题m.中学数学杂志，2002（5）5 张长雁. 一道