清华大学2017年暑期学校测试真题10页

1、清华大学2017年暑期学校测试真题1. 已知，其中a，b，c为已知参数，且a0，c0。则以下判断中正确的有_。f(x)关于点(0，b)成中心对称；f(x)可能在(0，+)上单调递增；f(x)有界；g(x)=0的解可能为1，2【解答】 函数f(x)的定义域为R，且，于是函数f(x)关于(0，b)中心对称，命题正确。 当x 0时，有，于是函数f(x)在两侧的单调性必然不同，命题错误。由于，于是f(x) 的值域为，进而f(x)为有界函数，命题正确。方程即，它的解集关于原点对称，于是b=0，若g(x)=0的解为x=1，2，则关于x的方程的解集为1，2或-1，-2，从而满足要求，命题正确。772和f(x

2、)=x+2满足要求，命题正确，如图2. 已知无穷数列满足，则的取值范围是_。【解答】情形一=0，则=0(nN*)，符合题意。情形二 0，则0(nN*)，根据题意，于是，因此，于是，。综上所述，的取值范围是3. 已知，若存在，使得，则a的取值范围是_。【解答】根据题意，关于x的方程的两根之差的绝对值不小于2，也即，解得a的取值范围是-1，1【解答】-1，14. 黑板上写有1，2，2017这2017个数，每次操作任意擦去其中的某三数a，b，c，写上a+b+c除以11的余数，则黑板上最后剩下一个数的所有可能为_。【解答】由于1+2+2017模11的余数为10，于是黑板上最后剩下的一个数模11的余数必

3、然为10，必然在集合中，容易构造最后一个数为10，21，32，2012中的任意一个数的例子5. 已知双曲线，为其右焦点，O为坐标原点，若左支上存在一点P使得中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是_。【解答】设为双曲线的左焦点，则根据中位线定理，于是解得因此双曲线的离心率的取值范围是，6. 曲线C：，以下判断中正确的有_。曲线C过点(0，0)；曲线C上的点的纵坐标的取值范围是-2，2曲线C关于x轴对称；P为曲线C上的动点，A，B的坐标为(0，1)和(0，-1)，则PAB的面积的最大值为【解答】记。由于f(0，0)=13，于是点(0，0)不在曲线C上，命题错误；根据题意，于是，等号当x = 0

4、时取得，结合连续性可知曲线C上的点的纵坐标的取值范围是-2，2，命题正确；由于，于是C关于x轴对称，命题正确；根据，点P位于(0，2)时，PAB的边AB上的高取得最大值为2，此时PAB面积取得最大值为2，命题错误。7. 已知空间一球，SC为其直径且|SC|=4，A，B为球上两点，满足|AB|=，且ASC=BSC=30，则四面体S-ABC的体积为_。【解答】由于SC为球的直径，于是SAC=SBC=90于是SAC与SBC全等，进而SA=SB， CA=CB设AB的中点为M，则SMAB，CMAB推出AB平面SMC，所以ABSC。在SAC中作AHSC于点H，连结BH，则SC平面ABH。因此8. 已知一个

5、四棱锥的三视图如下，该四棱锥的四个侧面中，则直角三角形的个数为_。【解答】 3如图，直角三角形有PAD，PDC，PAB9. 已知整数a，b，c为三角形的三边长，其中abc，且b=10，则符合条件的(a，b，c)的个数为_。【解答】55根据题意a 10 c a+10，于是符合条件的(a，b，c)的个数为。10. 在一个的表格中填入8个1，使得任意每行以及每列都有2个1，则不同的填法数为_。【解答】把每行的填法记为第一类：A：1100，：0011第二类：B：1010，：0101第三类：C：1001，：0110情形一：4行的填法均为间一类，则必然为，有种填法。情形二：4行的填法为两类，则必然为，有种

6、填法；情形三：4行的填法为三类，则必然有某列中有3(或以上)个1或者1(或以下)个1，不可能因此不同的填法总数为9011. 已知ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且，求3b-a的最大值_。【解答】根据余弦定理于是，根据正弦定理， 等号当时取得，因此求最大值为2.12. 投掷一枚均匀的硬币，若出现两次正面朝上的情况即停止投掷，问总投掷次数的数学期望_。【解答】设所求数学期望为x，考虑前两次投出的结果可得解得。13. 已知曲线，试证明：对上的任意直径AB，均存在上的动点P，使得PA,PB均与相切_。【解答】欲证命题即过为曲线上任意一点作的两条切线，这两条切线互相垂直。设过点的椭圆的切线为其

7、中，则根据直线与椭圆位置关系的等效判别式，有，即，于是根据韦达定理以及可得两条切线互相垂直，命题得证。14. 已知O为坐标原点，其中。(1) 求的最大值；(2) 求的最小值。【解答】(1) 根据题意，于是等号当时取得，因此所求最大值为9。(2)注意到而于是又取以及，则有于是的最小值为115. 已知罗尔中值定理：若函数f(x)满足：f(x)在a，b上连续；f(x)在(a，b)上可导；f(a)=f(b)，则存在：(a，b)，使得。(1) 试证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足： f(x)在a，b上连续；f(x)在(a，b)上可导，则存在(a，b)，使得f(a)-f(b)=(a-b)；(2) 设

8、f(x)的定义域与值域均为0，1，f(0)=0，f(1)=1且f(x)在其定义域上连续且可导。求证：对任意正整数，存在互不相同，使得。对该函数应用罗尔中值定理即得。(3) 把区间0，1划分为n个区间，对f(x)在每个区间应用拉格朗日中值定理，可得存在，使得，其中，把这n个等式相加即得。16. 记 |A| 表示集合A中的元素个数，A+B=a+b | aA，bB，若，则称集合A有性质T。(1) 设A=，为等比数列且各项为正有理数，证明A有性质T。(2) 已知A，B均有性质T，且|A|=|B|=n，求 |A+B| 的最小值。【解答】(1) 设等比数列的公比为q，且，其中s，tN*，(s，t)=1只需要证明若，则，也即也即也即由于左边是t的倍数而右边不是t的倍数，因此命题得证。(3