高考数学必备—高考数学压轴题命题区间—增分点 7　平面向量在解析几何中的应用

1、增分点平面向量在解析几何中的应用与平行或角度有关的问题利用平面向量解决解析几何问题主要体现在以下两个方面：(1)用向量的数量积解决有关角的问题；(2)用向量的坐标表示解决共线问题典例椭圆1的两个焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)，过点E(3c,0)的直线与椭圆交于A，B两点，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|，求直线AB的斜率方法演示解：法一：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为F1AF2B，|F1A|2|F2B|，所以2，即又由于是解得从而得到A(0，c)，因此kAB，故直线AB的斜率是.法二：由椭圆的对称性，延长AF1交椭圆于C，则，设lAC：xtyc，A(x1，

2、y1)，C(x2，y2)，联立整理得(32t2)y24tcy4c20，则y1y2，y1y2.因为F1AF2B，|F1A|2|F2B|，所以2，即2，则有故即，解得t.若t，联立后的方程为2y2cy2c20，得A(0, c)，故kAB；若t，同理可得A(0，c)，此时kAB，故直线AB的斜率是.解题师说(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a(x1，y1)，b(x2，y2)，再用向量数量积的坐标公式cos 求角(2)当a，b不共线时，有a，b为：直角ab0；钝角ab0(且a，b不同向)(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键应用体验1.如图所示，已知A，B是椭圆

3、1(ab0)的左、右顶点，P，Q是该椭圆上不同于顶点的两点，且直线AP与QB，PB与AQ分别交于点M，N.(1)求证：MNAB；(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程解：(1)证明：设P(acos ，bsin )，Q(acos ，bsin )，由A(a,0)，B(a,0)得，lAP：a(1cos )ybsin (xa)，lQB：a(cos 1)ybsin (xa)，联立消去y得sin (cos 1)(xa)sin (1cos )(xa)sin (cos 1)sin (1cos )xasin (1cos )sin (1cos )sin()sin sin xasin sin sin()

4、cosxacosxM(因P，Q不同于顶点)同理，xN，故xMxN，所以MNAB.(2) (acos c，bsin )，(acos c，bsin )由P，F2，Q三点共线与共线sin (acos c)sin (acos c)asin()c(sin sin )asincosccossinacosccosxMxN，所以直线MN的方程为x.与平面向量有关的综合问题典例已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，如图所示，设左顶点为A，上顶点为B，且.(1)求椭圆C的方程；(2)若过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定的取值范围思路演示解：(1)由已知，A(a,0)，B(0，b)，F(1,0)，则由

5、，得b2a10.b2a21，a2a20，解得a2.a24，b23，椭圆C的方程为1.(2)若直线l斜率不存在，则l：x1，此时M，N，.若直线l斜率存在，设l：yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由 消去y，得(4k23)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2.(x11，y1)(x21，y2)(1k2)x1x2(x1x2)1.k20，01，344，3b0)的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线xa上的任意一点，且()2.(1)求椭圆C的方程；(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的

6、两侧，若始终保持MABNAB，求证：直线MN的斜率为定值解：(1)设P，F(c,0)，E(a,0)，则，(ca,0)，所以(2c3a)(ca)4.又e，所以a2，c1，b，从而椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)知A，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设MN的方程为ykxm，代入椭圆方程1，得(4k23)x28kmx4m2120，则又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持MABNAB，则kAMkAN0，即0，(x21)kx2m(x11)0，即(2k1)(2m2k3)0，得k.故直线MN的斜率为定值.1(2018成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的两个顶点A，B的坐标

7、分别为(1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于2，记顶点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设直线ykx2(0k2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且，求实数的取值范围解：(1)设C(x，y)由题意，可得2(x1)，曲线E的方程为x21(x1)(2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)联立消去y，得(2k2)x24kx20，8k2160，k22.又0k2，k2.则x1x2，x1x2.，点R在点P和点Q之间，x2x1(1)联立，可得.k2，4，解得13，实数的取值范围为(1,3)2(2018石家庄质检)已知椭圆C：1(ab0)

8、的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求的取值范围解：(1)设T(x，y)，由题意知A(4,0)，B(4,0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1，k2.由k1k2，得，整理得1，故椭圆C的方程为1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykx2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立消去y，得(4k23)x216kx320.所以x1x2，x1x2.从而x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)

9、x1x22k(x1x2)420.因为k20，所以0，所以20b0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围解：(1)由题意得c1，所以a2b21，又点P在椭圆C上，所以1，由可解得a24，b23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因为16(12k23)0，所以k2，则x1x2，x1x2.因为AOB为锐角，所以0，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)

10、(kx22)0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，即(1k2)2k40，解得k2，所以k2，解得k或kb0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线xy10与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足t (其中O为坐标原点)，求实数t的取值范围解：(1)由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2，圆心到直线xy10的距离da.(*)椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc，ac，代入(*)式得bc1，ab，故所求椭圆方程为y21.(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，设P(x0，y0)，将直线l的方程代入椭圆方程得(12k2)x28k2x8k220，64k44(12k2)(8k22)0，解得k2.设