高中数学 112 余弦定理课件 新人教A版必修5

1、1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理 本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断 三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例 作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证 明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正 弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识， 加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出 3个例题和变式， 通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要 性。 教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通 过例2巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例

2、3巩固掌握判断三角 形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关 系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理 的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二 余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角 形的形状等知识。 22 22 2 cos2 cos2 )( cAbcb ABAABACAC ABACABAC BCBCa ? ? ? ? 即 即 Abccbacos2 222 ? 同理可证同理可证 Baccabcos2 222 ? Cabbaccos2 222 ? 如图所示，根据向量的数量积，可以得到如图所示，根据向量的数量积，可

3、以得到 c a b B A C 余弦定理是什么？怎样证明？ 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理: Abccbacos2 222 ? Baccabcos2 222 ? Cabbaccos2 222 ? 回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明 余弦定理的方法？ （1）坐标法 （2）直角三角形的边角关系 （3）正弦定理（三角变换） 证 明 方 法 证明：如图所示，以ABC的顶点A为原点， 射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系， 这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到原 点的距离rc，设点B的坐标为(x，y)，由三 角函数的定义可得：xccos

4、 A，ycsin A， 即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是 (b, 0) 坐标法证明余弦定理 教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出 坐标法证明 由两点间的距离公式，可得： aBC ?bccos A? 2?csin A?2. 两边平方得： a 2(bccos A)2(csin A)2b2c22bccos A. 以ABC的顶点 B或顶点 C 为原点，建立直角坐标系，同 样可证 b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍 思考：你会用直角三角形或正弦定理来证明

5、余弦定 理吗？ 想一想： 余弦定理能够解决什么问题？ a 2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a 2-2cacosB c2=a 2+b2-2abcosC 方程思想：四个量，知三求一 1.已知两边和它们的夹角求另 一边（直接用）； 2.已知三边求角（变形） . 3.判断三角形形状 变形 变 一 变 乐 在 其 中 b2+c2 - a 2 2bc cosA= a 2+c2 - b2 2ac cosB= a 2+b2 - c2 2ab cosC= C B A a b c 例1. 如图，在ABC中，已知a=5，b=4， C=120，求c. 解：由余弦定理，得 222 2cos120cabab?

6、 因此 22 1 542 5 4 ()61 2 c? ? ? ? ? ? 120? ? a b c C B A 例2、在ABC中，已知 a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, 解三角形（角度 精确到1） 解：由余弦定理的推论得 7 .1618 .872 6 .1347 .1618 .87 bc2 acb Acos 222222 ? ? ? ? ?,5543. 0? 0256A? 7 .1616 .1342 8 .877 .1616 .134 ac2 bca Bcos 222222 ? ? ? ? ?,8398. 0? 3532B? 749035320256180BA180C

7、? 已知在ABC中，根据下列条件解三角形。 （法一）由正解：弦定理，得 60120CC ? ?或 60906CAa ? ?当时， 120303CAa ? ?当时， ? b3,c3 3,B30 ; 变式训练一： 222 2cos 63 bacacB aa ? ? （法二） 由余弦定理，得 解得 或 解： 1 6 sin 2 6sin1 3 90 ,60 aB aA b AC ? ? ? ? 当时，由正弦定理，得= 33, 30120 aabABC AC ? ? ? 当时，为等腰三角形 ， ? b3,c3 3,B30 ; 已知在ABC中，根据下列条件解三角形。 已知在 ABCABC中，根据下列条件解三角形。 变式训练二： 解： 变式3:在ABC 中，已知 a=10, b=8, c=6, 判断ABC的形状. 试判断该三角形的形状 . 三角形中的边角关系 余弦定理 定 理 内 容 定 理 证 明 定 理 应 用 (1)(1)已知三边，求三个角