高考数学试题分类汇编：数列含详解

1、2010 年高考数学试题分类汇编数列 含详解 （2010 上海文数）21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 n a的前n项和为 n s，且585 nn sna， * nn (1)证明：1 n a 是等比数列； (2)求数列 n s的通项公式，并求出使得 1nn ss 成立的最小正整数n. 解析：(1) 当n1 时，a114；当n2 时，ansnsn15an5an11，所以 1 5 1(1) 6 nn aa ， 又a11150，所以数列an1是等比数列； (2) 由(1)知： 1 5 115 6 n n a ，得 1 5

2、1 15 6 n n a ，从而 1 5 7590 6 n n sn (nn*)； 由sn1sn，得 1 52 65 n ， 5 6 2 log114.9 25 n ，最小正整数n15 （2010 湖南文数）20.（本小题满分 13 分） 给出下面的数表序列： 其中表 n（n=1,2,3 ）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，2n-1，从第 2 行起，每行 中的每个数都等于它肩上的两数之和。 （i）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推 广到表 n（n3） （不要求证明） ； （ii）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,

3、12，记此数列为 n b 求和： 324 1 22 31 n nn bbb bbb bb b （2010 全国卷 2 理数） （18） （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和 2 () 3n n snn （）求lim n n n a s ； （）证明： 12 222 3 12 n n aaa n 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 1 1 (1) (2) n nn s n a ssn 的运用，数列极限和数 列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】2010 年高考数学全国 i、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不 等式放缩法问题作

4、为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基 本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用 心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求 和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. （2010 陕西文数）16.（本小题满分 12 分） 已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列. （）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和sn. 解 （）由题设知公差d0， 由a11，a1，a3，a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d ， 解得d1，d0（

5、舍去） ， 故an的通项an1+（n1）1n. ()由（）知2 m a =2n，由等比数列前 n 项和公式得 sm=2+22+23+2n= 2(1 2 ) 1 2 n =2n+1-2. （2010 全国卷 2 文数） （18） （本小题满分 12 分） 已知 n a是各项均为正数的等比数列，且 12 12 11 2()aa aa ， 345 345 111 64()aaa aaa （）求 n a的通项公式； （）设 2 1 () nn n ba a ，求数列 n b的前n项和 n t。 【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于 1 a 与d

6、的方程求得 1 a 与d，可求得数列的通项公式。 （2）由（1）中求得数列通项公式，可求出 bn 的通项公式，由其通项公式化可知其和可 分成两个等比数列分别求和即可求得。 （2010 江西理数）22. （本小题满分 14 分） 证明以下命题： （1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得 222 abc，成等差数列。 （2）存在无穷多个互不相似的三角形n，其边长 nnn abc，为正整数且 222 nnn abc，成等差数列。 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证 222 2acb， ；类似勾股数进行拼凑。 证明：考虑到结构特征，取特值

7、222 1 ,5 ,7满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正 整数 a 均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三 角形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当 222 nnn abc，成等差数列，则 2222 nnnn bacb， 分解得：()()()() nnnnnnnn babacbcb 选取关于 n 的一个多项式， 2 4 (1)n n 做两种途径的分解 222 4 (1)(22)(22 )(22 )(22)n nnnnnnn 2 4 (1)n n 对比目标式，构造 2 2 2 21 1(4) 21 n n n ann bnn cnn

8、 ，由第一问结论得，等差数列成立， 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m，n，若m， n 相似：则三边对应成比例 222 222 21121 21121 mmmmm nnnnn ， 由比例的性质得： 11 11 mm mn nn ，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 （2010 安徽文数） （21） （本小题满分 13 分) 设 12 , n c cc是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线 3 3 yx相切，对每一个正整数n,圆 n c都与圆 1n c 相 互外切，以 n r表示 n c的半径，已知 n r为递增数列. ()证明： n

9、r为等比数列； （）设 1 1r ，求数列 n n r 的前n项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概 括能力以及推理论证能力. 【解题指导】 （1）求直线倾斜角的正弦，设 n c的圆心为(,0) n ，得2 nn r，同理得 11 2 nn r ，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 n r中 1n r 与 n r的关系，证明 n r为等比数列；（2）利用（1）的结论求 n r的通项公式，代入 数列 n n r ，然后用错位相减法求和. n nnnn n n+1n+1n+1nnn+1n+1nn n+1n n n 11 n

10、nn n n 12 331 ,sin, 332 r1 2r 2 2rrr2r2r r3r rq3 n r1q3r3n*3 r 12 . rr x c 解：（1）将直线y=的倾斜角记为, 则有t an = 设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理 ，从而，将代入， 解得 故为公比的等比数列。 （）由于，故，从而， 记s 121 n 121 n 121 n 1 1 , r 12*33*3. *3 1*32*3.(1)*3*3 3 1 33.3*3 3 1 333 *3()*3 , 2 22 3 9139(23)*3 ()*3 4224 n n nn nn n nn n n n n n nn n

11、nn n sn 则有 s s , 得 2s 【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出 关于数列相邻项 n a与 1n a 之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出 通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构 成的数列时，通常是利用前 n 项和 n s乘以公比，然后错位相减解决. （2010 重庆文数） （16） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ） 已知 n a是首项为 19，公差为-2 的等差数列， n s为 n a的前n项和. （）求通项 n a及 n s； （）设

12、nn ba是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 n b的通项公式及其前 n项和 n t. （2010 浙江文数） （19） （本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等 差数列an的前 n 项和为 sn，满足 56 s s+15=0。 （）若 5 s=5，求 6 s及 a1； （）求 d 的取值范围。 （2010 重庆理数） （21） （本小题满分 12 分， （i）小问 5 分， （ii）小问 7 分） 在数列 n a中， 1 a=1， 1 1 21* n nn acacnnn ，其中实数0c 。 （i）求 n a的通项公式； （ii）若对一切*kn有

13、21kzk aa ，求 c 的取值范围。 （2010 山东文数） （18） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a满足： 3 7a ， 57 26aa. n a的前 n 项和为 n s. （）求 n a 及 n s； （）令 2 1 1 n n b a （nn ）,求数列 n b的前 n 项和 n t. （2010 北京文数） （16） （本小题共 13 分） 已知| n a为等差数列，且 3 6a ， 6 0a 。 （）求| n a的通项公式； （）若等差数列| n b满足 1 8b ， 2123 baaa，求| n b的前 n 项和公式 解：（）设等差数列 n a的公差d。 因为

14、36 6,0aa 所以 1 1 26 50 ad ad 解得 1 10,2ad 所以10(1) 2212 n ann （）设等比数列 n b的公比为q 因为 2123 24,8baaab 所以824q 即q=3 所以 n b的前n项和公式为 1(1 ) 4(1 3 ) 1 n n n bq s q （2010 北京理数） （20） （本小题共 13 分） 已知集合 121 |( ,),0,1,1,2, (2) nn sx xx xxxin n ，对于 12 (,) n aa aa， 12 ( ,) nn bb bbs，定义 a 与 b 的差为 1122 (|,|,|); nn abababab

15、 a 与 b 之间的距离为 11 1 ( , )| i d a bab （）证明：, , nn a b csabs有，且(,)( , )d ac bcd a b; （）证明：, , ( , ), ( ,), ( ,) n a b csd a b d a c d b c三个数中至少有一个是偶数 () 设 p n s，p 中有 m(m2)个元素，记 p 中所有两元素间距离的平均值为 d (p). 证明： d （p） 2(1) mn m . （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 证明：（i）设 12 (,.,) n aa aa， 12 ( ,.,) n bb bb， 12 ( ,.,)

16、n cc cc n s 因为 i a， 0,1 i b ，所以 0,1 ii ab,(1,2,., )in 从而 1122 (|,|,.,|) nnn ababababs 又 1 (,)| | n iiii i d ac bcacbc 由题意知 i a， i b， i c 0,1(1,2,., )in. 当0 i c 时，| | iiiiii a cbcab ; 当1 i c 时，| |(1)(1)| | iiiiiiii a cbcabab 所以 1 (,)|( , ) n ii i d ac bcabd a b (ii)设 12 (,.,) n aa aa， 12 ( ,.,) n bb

17、bb， 12 ( ,.,) n cc cc n s ( , )d a bk，( ,)d a cl，( ,)d b ch. 记(0,0,.,0) n os，由（i）可知 ( , )(,)( ,)d a bd aa bad o bak ( ,)(,)( ,)d a cd aa cad o cal ( ,)(,)d b cd ba cah 所以|(1,2,., ) ii bain中 1 的个数为k，|(1,2,., ) ii cain的 1 的 个数为l。 设t是使| | 1 iiii baca成立的i的个数，则2hlkt 由此可知，, ,k l h三个数不可能都是奇数， 即( , )d a b,(

18、 ,)d a c,( ,)d b c三个数中至少有一个是偶数。 （iii） 2 , 1 ( )( , ) a b p m d pd a b c ,其中 , ( , ) a b p d a b 表示p中所有两个元素间距离的总和， 设p种所有元素的第i个位置的数字中共有 i t个 1， i mt个 0 则 , ( , ) a b p d a b = 1 () n ii i t mt 由于 i t () i mt 2 (1,2,., ) 4 m in 所以 , ( , ) a b p d a b 2 4 nm 从而 2 22 , 1 ( )( , ) 42(1) a b p mm nmmn d pd

19、 a b ccm （2010 四川理数） （21） （本小题满分 12 分） 已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nn*都有 a2m1a2n12amn12(mn)2 （）求a3，a5； （）设bna2n1a2n1(nn*)，证明：bn是等差数列； （）设cn(an+1an)qn1(q0，nn*)，求数列cn的前n项和sn. 本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解 决问题的能力. 解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202 分 (2)当nn *时，由已知(以n2 代替m)可得 a2n3a2n1

20、2a2n18 于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8 即 bn1bn8 所以bn是公差为 8 的等差数列5 分 (3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为 8 的等差数列 则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2 另由已知(令m1)可得 an 211 2 n aa -(n1)2. 那么an1an 2121 2 nn aa 2n1 82 2 n 2n1 2n 于是cn2nqn1. 当q1 时，sn2462nn(n1) 当q1 时，sn2q04q16q22nqn1. 两边同乘以q，可得 qsn2q14q26q32nqn. 上述两式相减得 (1q)sn2(1qq

21、2qn1)2nqn 2 1 1 n q q 2nqn 2 1 1 (1) 1 nn nqnq q 所以sn2 1 2 (1)1 (1) nn nqnq q 综上所述，sn 1 2 (1)(1) (1)1 2(1) (1) nn n nq nqnq q q 12 分 （2010 天津文数） （22） （本小题满分 14 分） 在数列 n a中， 1 a=0，且对任意 k * n， 2k 12k2k+1 a,a,a 成等差数列，其公差为 2k. （）证明 456 a ,a ,a成等比数列； （）求数列 n a的通项公式； （）记 222 23 23 n n n t aaa ，证明 n 3 2nt2

22、 n 2 （2）. 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等 基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想 方法，满分 14 分。 （i）证明：由题设可知， 21 22aa， 32 24aa， 43 48aa， 54 412aa， 65 618aa。 从而 65 54 3 2 aa aa ，所以 4 a， 5 a， 6 a成等比数列。 （ii）解：由题设可得 2121 4 ,* kk aak kn 所以 2112121212331 . kkkkk aaaaaaaa 441.4 1kk 21 ,*k kkn. 由 1 0

23、a ，得 21 21 k ak k ，从而 2 221 22 kk aakk . 所以数列 n a的通项公式为 2 2 1, 2 , 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 或写为 2 11 24 n n n a ， *nn。 （iii）证明：由（ii）可知 21 21 k ak k ， 2 2 2 k ak， 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2m*mn 若1m ，则 2 2 22 n k k k n a ， 若2m ，则 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 1

24、1 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk 1131 22112 22 mmn mn . 所以 2 2 31 2 2 n k k k n an ，从而 2 2 3 22,4,6,8,. 2 n k k k nn a （2）当 n 为奇数时，设21*nmmn。 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an ，从而 2 2 3 22,3,5,7,. 2 n k k k nn a 综合（1）和（2）可知，对

25、任意2,*,nnn有 3 22. 2 n nt （2010 天津理数） （22） （本小题满分 14 分） 在数列 n a中， 1 0a ，且对任意 * kn. 21k a ， 2k a， 21k a 成等差数列，其公差为 k d。 （）若 k d=2k，证明 2k a， 21k a ， 22k a 成等比数列（ * kn） （）若对任意 * kn， 2k a， 21k a ， 22k a 成等比数列，其公比为 k q。 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、 数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类 讨论的思想

26、方法。满分 14 分。 （）证明：由题设，可得 * 4 , 2121 aak kn kk 。 所以 131 ()().() 2121212123 aaaaaaaa kkkkk =44(1).4 1kk =2k(k+1) 由 1 a=0，得 22 2 (1),22,2(1) . 2122122 ak kaakkak kkkk 从而 于是 11 21222221 , 221212 aaaa kk kkkk akakaa kkkk 所以。 所以 * 2, 22122 k dkknaaa kkk 时，对任意成等比数列。 （）证法一：（i）证明：由 2 , 2121 k aaa kk 成等差数列，及 ,

27、 22122 aaa kkk 成等比数列，得 21211 2,2 22121 221 k aa kk aaaq kkk aaq kkk 当 1 q1 时，可知 k q1，k * n 从而 11111 1,1(2) 11 1 1111 21 1 k qqqq kkkk qk 即 所以 1 1qk 是等差数列，公差为 1。 （）证明： 1 0a ， 2 2a ，可得 3 4a ，从而 1 4 2, 2 q 1 1 1 q =1.由（）有 *11 11, 1 k k kkqkn qk k 得 所以 2 * 2 22211221 , 2122 aaa kkkkk kn aakak kkk （） 从而

28、因此， 222 2* 2 222 (1)2 22214 .22.2 (1), 2212 (1)(2)1 22242 k aaa kk kkk aak aak kkn kk aaakkk kk 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2m( * mn) 若 m=1,则 2 2 22 n k k k n a . 若 m2，则 2222 1 2 2111 221 (2 )(21)4 2 nmmm kkkk kkk kkkk aaak + 22 111 111 4414411 11 222 2 (1)2 (1)2 (1)21 1131 22(1)(1)2 22. mmm kkk kk

29、kk mm k kk kk kkk mmn mn 所以 22 22 313 2,22,4,6,8. 22 nn kk kk kk nnn ana 从而 (2)当 n 为奇数时，设 n=2m+1（ * mn） 2 222 2 22 21 (21)31(21) 4 222 (1) nm kk kkm kkmm m aaamm m 1131 42 22(1)21 mn mn 所以 2 2 31 2, 21 n k k k n an 从而 2 2 3 22,3,5,7 2 n k k k nn a 综合（1） （2）可知，对任意2n ,nn ,有 2 2 3 22 2 n k k k n a 证法二：

30、（i）证明：由题设，可得 212222 (1), kkkkkkkk daaq aaaq 2 12221222 (1), kkkkkkkkkk daaq aq aa q q 所以 1kkk dq d 232211 1 2 222222 1 111 kkkkkk k kkkkkkk aadddq q aaq aq aq 由 1 1q 可知1,* k qkn。可得 1 111 1 1111 k kkkk q qqqq ， 所以 1 1 k q 是等差数列，公差为 1。 （ii）证明：因为 12 0,2,aa所以 121 2daa。 所以 321 4aad，从而 3 1 2 2 a q a ， 1 1

31、 1 1q 。于是，由（i）可知所以 1 1 k q 是 公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得 1 1 k q = 11kk，故 1 k k q k 。 从而 1 1 k k k dk q dk 。 所以 12 1121 12 . 121 kkk kk ddddkk k ddddkk ，由 1 2d ，可得 2 k dk。 于是，由（i）可知 2 212 21 ,2,* kk ak kakkn 以下同证法一。 （2010 全国卷 1 理数） （22）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效） 已知数列 n a中， 11 1 1, n n aac a . （）设 51 ,

32、22 n n cb a ，求数列 n b的通项公式； （）求使不等式 1 3 nn aa 成立的c的取值范围 . （2010 四川文数） （20） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。 （）求数列 n a的通项公式； （）设 1* (4)(0,) n nn ba qqnn ，求数列 n b的前 n 项和 n s （2010 山东理数） （18） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a满足： 3 7a ， 57 26aa， n a的前n项和为 n s （）求 n a及 n s； （）令bn= 2 1 1 n a (nn*)，求数列 n

33、b的前n项和 n t 【解析】 （）设等差数列 n a的公差为 d，因为 3 7a ， 57 26aa，所以有 1 1 27 21026 ad ad ，解得 1 3,2ad， 所以321)=2n+1 n an（； n s= n(n-1) 3n+2 2 = 2 n +2n。 （）由（）知2n+1 n a ，所以bn= 2 1 1 n a = 2 1 = 2n+1)1（ 11 4 n(n+1) = 111 (-) 4n n+1 ， 所以 n t= 111111 (1-+-) 4223n n+1 = 11 (1-)= 4n+1 n 4(n+1) ， 即数列 n b的前n项和 n t= n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和， 熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 （2010 湖南理数）21 （本小题满分 13 分） 数列 * () n ann中，是函数 3222 11 ( )(3)3 32 nnn fxxanxn a x的 极小值点