平面向量的应用（DOC X页）

1、向量的应用(20131120)讲义向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。下面就介绍这方面的应用。1. 等式证明证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，应用向量知识较为简单。例1. 已知，且x，y，z，a，b，c为非零实数，求证。例2. 已知，求证。例3. 设任意实数x，y满足， 求证： 3. 解有关三角问题例4.已知：。证明：对于任何正整数都有例5、已知向量，且若 的最小值是

2、，求的值例6、已知abc的顶点坐标为a（1，0），b（5，8），c（7，4），在边ab上有一点p，其横坐标为4，在边ac上求一点q，使线段pq把abc分成面积相等的两部分4. 求解无理函数的最值求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识解答将会使求解变得容易。首先我们来看几个向量的性质：性质1 若，则当且仅当时等式成立性质2 ，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，反向平行时左边等式成立。性质3 ，当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。（1）型（同号）例7. 求函数的最大值。例8. 求函数的最大值。（3）型（）例9. 求函数的最小值。（4）其它类型例10. 设（i1，2

3、，2003）为正实数，且，试求的最小值。例11. 已知，求的最小值。5. 向量问题的坐标解法例12. 四边形abcd中，若，求。例13. 设p为abc所在平面内一点，求取最小值时p点的位置。例14、已知同一平面上的向量、两两所成的角相等，并且|=1，|=2，|=3，求向量的长度.例15如图所示，向量i， j ，e1， e2均为单位向量，且ij，e1e2； 用i， j表示e1， e2； 若=xi+y j ,且xy=1；=x1 e1+y1 e2；当=时，求关于x1 、y1的表达式，并说明方程表达的曲线形状；向量的应用(20131120)作业姓名 成绩 1.求函数的最大值。2. 已知a，b，c，且，

4、求证。3.求函数的值域。4.已知x0,y0，且x+y=1，求的最大值5. 设a，b为不等的正数，求证 6.已知x0,y0，且x+y=1，求证：。7.已知，求锐角。8已知向量a、b、c、d，及实数x、y，且|a|=1，|b|=1，c=a（x23）b，d=yaxb，如果ab，cd，且|c|（1）求x、y的函数关系式y=f（x）及定义域；（2）（供部分考生选做）判断f（x）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值 9. 设向量1，2满足|1|=2，|2|=1，且1，2的夹角为60，若向量2t1+72与1+t2的夹角为锐角，求实数t的取值范围.10. p为abc所在平面内一点。求证：11.求

5、证：12.若，且，其中（1）用表示；（2）求当时，与所成角的大小13.已知为坐标原点，（，为常数），若，（1）求关于的函数解析式；（2）若时，的最大值为2，求的值，并指出函数的单调区间14.已知向量和，且，求的值15.设，与的夹角为，与的夹角为（1）用表示；（2）若，求的值16. 已知为坐标原点，（，为常数），若，（1）求关于的函数解析式；（2）若时，的最大值为2，求的值，并指出函数的单调区间17.求函数的值域。18.已知x0,y0，且x+y=1，求的最大值18.求函数的最大值。19.（2004湖北）已知为非零的平面向量。甲：，乙：，则（ ）a. 甲是乙的充分条件但不是必要条件; b. 甲是乙

6、的必要条件但不是充分条件;c. 甲是乙的充要条件; d. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件;19.（2004浙江）已知平面上三点a、b、c满足，则的值等于_。向量的应用(20131120)讲义答案向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。下面就介绍这方面的应用。1. 等式证明证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，应用向量知识较为简单。例1. 已知，且x，y，z，a，b，c

7、为非零实数，求证。分析：由实数x，y，z与实数a，b，c对应成比例，联想到向量平行，进而联想到向量坐标。解：构造向量m与n的夹角为，则由此得0或所以m/n因此例2. 已知，求证。分析：题设与结论都与1有关，由题设联想到向量。解：设n与m的夹角为，则又所以cos1，0所以m/n因此移项两边平方，经整理可得2. 不等式证明证明不等式主要依据有关向量的不等式例3. 设任意实数x，y满足， 求证： 证明：构造向量， 由向量数量积性质得 所以 即 3. 解有关三角问题例4.已知：。证明：对于任何正整数都有分析：借助向量不等式等号成立的条件，构造向量，可化难为易。证明：构造向量，则，所以，故同向，则即，所

8、以代入题设得：，于是所以例5、已知向量，且若 的最小值是，求的值解：a b2分| ab |4分 cos x0，因此| ab |2 cos x f (x)a b2ab即6分 0cos x1若0，则当且仅当cos x0时，f (x)取得最小值1，这与已知矛盾； 8分若01，则当且仅当cos x时，f (x)取得最小值，由已知得，解得： 10分若1，则当且仅当cos x1时，f (x)取得最小值，由已知得，解得：，这与相矛盾综上所述，为所求 12分例6、已知abc的顶点坐标为a（1，0），b（5，8），c（7，4），在边ab上有一点p，其横坐标为4，在边ac上求一点q，使线段pq把abc分成面积相等

9、的两部分设 4分 又8分，设点q的坐标为（xq，yq），则，得4. 求解无理函数的最值求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识解答将会使求解变得容易。首先我们来看几个向量的性质：性质1 若，则当且仅当时等式成立性质2 ，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，反向平行时左边等式成立。性质3 ，当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。（1）型（同号）例7. 求函数的最大值。解：构造向量由性质1，得当且仅当，即时，（2）型例8. 求函数的最大值。解：原函数可变为取且构造向量由性质1，得从而当且仅当，即时，（3）型（）例9. 求函数的最小值。解：构造向量由性质2，得当且仅当a与

10、b同向平行时等式成立所以（此时）（4）其它类型例10. 设（i1，2，2003）为正实数，且，试求的最小值。解：构造向量由性质3，得即例11. 已知，求的最小值。解：构造向量从而由性质3，得所以5. 向量问题的坐标解法例12. 四边形abcd中，若，求。解：如图2建立坐标系。图2设，则代入已知条件得：即所以例13. 设p为abc所在平面内一点，求取最小值时p点的位置。解：设则（其中m为常数）所以，当即p为abc的重心时，取得最小值。例14、已知同一平面上的向量、两两所成的角相等，并且|=1，|=2，|=3，求向量的长度.错解：易知、皆为非零向量，设、所成的角均为，则3=360，即120，所以，

11、|cos1201，同理3，由|22222223，故|=.辨析：本例误以为、皆为非共线向量，而当向量、，共线且同向时，所成的角也相等均为0，符合题意.由于当向量、共线且同向时，所成的角均为,所以|+|=|+|+|=6；所以，正确的答案向量+的长度为6或例15如图所示，向量i， j ，e1， e2均为单位向量，且ij，e1e2； 用i， j表示e1， e2； 若=xi+y j ,且xy=1；=x1 e1+y1 e2；当=时，求关于x1 、y1的表达式，并说明方程表达的曲线形状；e1 e2ji分析：利用平面向量的基本定理对向量进行分解，中间包含向量的基本运算可得 o方程为：x12-y12=2 曲线为

12、双曲线。注：本题要求学生对平面向量的基本定理有较深刻的理解，基向量的选择，就是坐标系的选择。利用向量的运算，可以研究在不同坐标系下同一曲线的不同方程，体现了坐标变换的思想，使初等数学与高等数学平稳过渡，这是新“课改”的一个方向。向量的应用(20131120)作业姓名 成绩 1.求函数的最大值。分析：本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利用向量数量积的性质解答，将会使求解非常容易。解：原函数可变为，设，因为，所以构造向量由得，从而，当且仅当时，2. 已知a，b，c，且，求证。解：构造向量所以由向量不等式得即3.求函数的值域。分析：分析函数解析式的特征，结构上接

13、近两个向量的差，于是构造向量。解：设，不共线，即4.已知x0,y0，且x+y=1，求的最大值5. 设a，b为不等的正数，求证 证明：构造向量，则 因为a，b为不相等的正数，所以，即， 所以6.已知x0,y0，且x+y=1，求证：。证明：构造向量，则，而，由，得 所以7.已知，求锐角。分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出的值。换一种思路，引入向量，问题迎刃而解。解：由已知得，构造向量，则，由，得，即，则8 （本题满分14分）已知向量a、b、c、d，及实数x、y，且|a|=1，|b|=1，c=a（x23）b，d=yaxb，如果ab，cd，且|c|（1）求x、y的函数关系式y=f（x）及定义

14、域；（2）（供部分考生选做）判断f（x）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值 提示：（1） 由 |c| ，及ab = 0得 x 又由cd 得 y =x33x（2）单调增区间为，1、1，单调减区间为1，1最大值为f（）=3,最小值为f（）=3 .9. 设向量1，2满足|1|=2，|2|=1，且1，2的夹角为60，若向量2t1+72与1+t2的夹角为锐角，求实数t的取值范围.错解：|1|=2，|2|=1，=4，=1，12=|1|2|cos60=21=1，(2t1+72)(1+t2)= 2t+(2t2 +7) 12+7t=2t2 +15t+7.向量2t1+72与1+t2的夹角为锐角，(

15、2t1+72)(1+t2)0，即2t2 +15t+70，解得 t.故所求实数t的取值范围为t.辨析：上面的解法似乎合情合理，毫无破碇.事实上，上面的解法忽略了向量夹角的范围，以致出错.因为两向量1与2的夹角的取值范围是0，当(2t172)(1t2)0时，2t172与1t2的夹角范围0，)，由题设条件知，向量2t1+72与1+t2的夹角为锐角，0，因此，在上面所求出的x的取值范围须去掉0时的范围.设2t1+72(1+t2)(0)，解得 t，当t时，2t1+72与1+t2的夹角为0.所求x的取值范围应是：(，7)(，)(，+).10. p为abc所在平面内一点。求证：证明：如图3建立坐标系。图3设

16、，则从而说明：原解答利用垂心的性质证之，要求较高，证法较烦，显然坐标解法相对简练。11.求证：证明：设（1）当至少有一个为零时，所证不等式成立；（2）当都不是零向量时，设其夹角是，则有，因为，即点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！12.若，且，其中（1）用表示；（2）求当时，与所成角的大小解：（1）；法一：，由，得，整理，得又，即；法二：，由，得，整理，得，；（2）当时，又，点评：本题以向量的模、数量积作为平台，主要考查了三角恒等变换解答中用到了解答向量模的两种典型的方法：一是通过运用向量的坐标运算先求得向量的坐标，再求向量的模；二是利用公式将求模转

17、化为求向量的数量积要熟练掌握这两种方法的解题要领13.已知为坐标原点，（，为常数），若，（1）求关于的函数解析式；（2）若时，的最大值为2，求的值，并指出函数的单调区间解：（1）；（2），当时，故，解得可求得函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，点评：本题通过向量的数量积巧妙地把向量与三角函数、三角恒等变换融为一体，利用三角函数的单调性求得函数的最值及单调区间14.已知向量和，且，求的值解法一：，由已知，得又，解法二：由已知，得，点评：本题由向量和与模的运算得到关于?兹的三角函数关系，再通过三角恒等变换进行求解这类题是近年高考的热点，其解题通法是通过向量的运算得到纯三角函数的式子，然后由三角

18、函数的知识进行求解15.设，与的夹角为，与的夹角为（1）用表示；（2）若，求的值解：（1），又，；（2）由（1），同理可得，即，点评：本题以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数的求值及三角恒等变换的有关知识解题的关键在于由向量的数量积公式求出与，与之间的关系，再由得出与之间的关系16. 已知为坐标原点，（，为常数），若，（1）求关于的函数解析式；（2）若时，的最大值为2，求的值，并指出函数的单调区间解：（1）；（2），当时，故，解得可求得函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，点评：本题通过向量的数量积巧妙地把向量与三角函数、三角恒等变换融为一体，利用三角函数的单调性求得函数的最值及单调区间17.求函数的值域。分析：分析函数解析式的特征，结构上接近两个向量的差，于是构造向量。解：设，不共线，即18.已知x0,y0，且x+y=1，求的最大值18.求函数的最大值。分析：本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利用向量数量积的性质解答，将会使