2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

1、.2016 年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量 120 分钟，满分 100 分。一、选择题： 本大题共10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 图 1 是某圆柱的直观图，则其正视图是A 三角形B梯形C矩形D 圆2. 函数 ycos x, x R 的最小正周期是A 2BCD243. 函数 f ( x) 2x 1 的零点为A 2B 1C1D 2224. 执行如图 2所示的程序框图，若输入a, b分别为 4, 3 ，则输出的 SA 7B 8C10D 125. 已知集合 M x |1x3, N x

2、 | 2x5，则 M I NA x |1x2B x |3x5.C x | 2x3Dxy4,6. 已知不等式组的是x0,表示的平面区域为，则下列坐标对应的点落在区域内y0A (1,1)B (3, 1)C (0,5)D (5,1)rrrr7.已知向量 a(1,m) ， b (3,1) ，若 ab ，则 mA 3B 1C1D 38.已知函数 yx(xa) 的图象如图3 所示，则不等式x(x a) 0的解集为A x | 0x2B x | 0x2C x | x0 或 x2D x | x0或 x29.已知两直线 x2 y0 和 xy 30的交点为 M ，则以点 M 为圆心，半径长为1 的圆的方程是A (

3、x 1)2( y 2) 21BC ( x 2)2( y 1) 21D (x1)2( y2) 21( x2) 2( y1)2110.某社区有300 户居民， 为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年每月的用水量(单位： t) 进行分析， 得到这些住户月均用水量的频率分布直方图（如图 4 ），由此可以估计该社区居民月均用.水量在 4, 6) 的住户数为A 50B 80C120D 150二、填空题：本大题共5 小题，每小题 4 分，满分2 ， 0 分 .11.若 sin5cos，则 tan_.12.已知直线 l1 :3 xy20， l2 :mx y 1 0 . 若 l1 / /l2 ，

4、则 m _.13.已知幂函数 yx（为常数）的图象经过点A(4, 2)，则_.14.在 ABC 中，角A, B,C的对边分别为 a, b, c .若 a2 ， b1，则3 ， cosC4c _.15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并对 数 据 进 行 分 析 ， 得 到 加 工 时 间 y (min)与 零 件 数 x （ 个 ） 的 回 归 方 程 为$0.67x 51 .由此可以预测，当零件数为100 个时，加工时间为 _.y三、解答题：本大题共5 小题，满分 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. ( 本小题满分 6 分)从一

5、个装有3 个红球 A1 , A2 , A3和 2 个白球 B1, B2的盒子中，随机取出2 个球 .（ 1）用球的标号列出所有可能的取出结果；（ 2）求取出的 2 个球都是红球的概率 .17. ( 本小题满分 8 分)已知函数f ( x)(sin xcos x) 2 , xR .（ 1 ）求 f ( )4（ 2 ）求 f ( x)的值；的最小值，并写出f (x) 取最小值时自变量x 的集合 .18. ( 本小题满分 8 分)已知等差数列 an 的公差 d2 ，且 a1a26 .（ 1 ）求 a1 及 an；（ 2 ）若等比数列bn满足 b1a1 ， b2a2 ， 求数列 anbn 的前 n 项

6、的和 Sn .19. ( 本小题满分 8 分)如图 5 ，四棱锥 PABCD 的底面是边长为2 的菱形， PD底面 ABCD .（ 1 ）求证：AC平面 PBD；（ 2 ）若 PD2 ，直线 PB与平面 ABCD 所成的角为 45o ，求四棱锥PABCD 的体积 .20. ( 本小题满分 10 分 )已知函数 f ( x) log a x(a0 ，且 a 1 ) ，且 f (3) 1 .(1)求 a 的值，并写出函数f ( x)的定义域；(2)设 g( x)f (1x)f (1x)，判断 g(x) 的奇偶性，并说明理由；(3)若不等式f (t4x )f (2 xt)对任意 x 1, 2 恒成立

7、，求实数的取值范围 .2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题 (每小题 4分，满分 40分 )1.C2. A3.B4. D5. C6. A7. A8.B9. D10. C二 、填空题 (每小题 4分，满分 20分 )11.512.313.1415.11814.2三 、解答题 (满分 40 分 )16. 【解析】 (1) 所有可能的取出结果共有 10 个： A1A2 ， A1 A3 ， A1 B1 ，A1B2 ，A2 A3 ，A2 B1 ， A2 B2 ， A3 B1 ， A3 B2 ， B1B2 . 3 分（ 2 ）取出的2 个球都是红球的基本事件共有3 个：

8、 A1A2 ， A1 A3 ， A2 A3 .所以，取出的 2个球都是红球的概率为3. 6 分1017. 【解析】 f (x)12sin x cos x1 sin 2x .(1)f ()1 sin2. 4 分42(2)当sin 2x1时，f ( x)的最小值为0 ，此时2x2，即k2x4k( kZ ) .所以 f (x) 取最小值时 x的集合为 x | xk, kZ . 8 分418. 【解析】 (1)由 a1a26 ，得 2a1d6 . 又 d2 ，所以 a1 2 ， 2分故 an22(n1)2n. 4 分(2) 依题意，得 b12,b22q4 ，即 q2，所以 bn2n .于是 anbn2

9、n2n.故 Sn(24L2n)(222L2n ) n2n2n12. 8 分19. 【解析】 (1)因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD.又因为 PD底面 ABCD ， AC平面 ABCD ，所以 PDAC .故AC平面 PBD . 4 分(2) 因为 PD底面 ABCD ，所以PBD 是直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 .于是PBD45o ，因此 BDPD2，又 ABAD2，所以菱形 ABCD 的面积为 SABADsin 60o23.故四棱锥 P ABCD 的体积 V1 S PD4 3 . 8 分3320. 【解析】 (1)由 f (3) 1，得 log a3 1，所以 a3. 2 分函数 f ( x)log 3 x 的定义域为 (0,) . 4 分(2)g ( x)log 3 (1x)log 3 (1x) ，定义域为 ( 1,1).因为 g (x)log 3(1x)log 3(1x)g(x) ，所以 g (x) 是奇函数 . 7 分(3) 因为函数 f ( x)log 3 x 在 (0,) 上是增函数， 所以 . 不等式 f (t4x )f (2 xt )对任意 x1, 2恒成立，等价于不等式组t4x0,(i )2xt0,(ii )对任意 x1,2恒成立 .t4x2xt.(iii ).由(i )得 t 0 ；由(ii