初等几何研究模拟卷3答案.

1、华东师大网络学院考卷初等几何研究模拟考卷3答案课程名称：初等几何研究学生姓名：学号： 业：二五八L阅卷人签名一、（10分）叙述非欧几何的Klein模型,并说明在Klein模型中欧氏几何的 平行公理不成立。解：见第一章第三节Kle in模型的介绍。二、（10分如果梯形两底的和等于一腰长，那么这腰同两底所夹的两角的平分 线必过另一腰的中点证明（间接法-归谬法,（,.AF BE P CD P DP BC G AB H AH AD CP AC DAB DAP PAB AD AH AP AP APD APH DP HP P ABGD DG PH PGBP ABC BP BP BGP BHP =Z ?Z

2、=Z =? = / =?现假设结论不成立即的交点不在上如图所示此时设在梯形内部连接延长交于在上取使连接是的角平分线，所以则又是梯形的两角平分线的交点必是的中点所以又是的角平分线所以,.,.AD AB BC AH AD BH BC PBC HBP PGB PCB += ?Z =Z 又因为由题意知 而所以所以而这是不可能的故假设不成立即原命题成立CABABCD BA CD E AD BC F L M N AC BD EF L M N 三、（10 分）如图延长四边形的两组对边相交于相交于且分别为的中点求证三点共线牛顿线,/,/, , /. (1, , , /, EB BC EC P Q R BCE

3、ABC R L Q EC AC BC QR BE QLAB RL EAR L Q QR BE LQ ABQ M P PQ EC ?=证明设的中点分别是在和中因分别是的中点，从而故共线.且同理可得共线则有；(2, , , /, . QM CDMP DEP R N PN BF PN BFNR FC=以及共线则有 (3(1(2(3:1,RL QM PN EA CD BF LQ MP NR AB DE FCEBC ADF EA CD BFAB DE FC ? = 将得 而被直线所截由梅涅劳斯定理有 1.RL QM PNLQ MP NRL M N二=故得三点共线四( 10分)写出线段长度函数的定义，并给

4、出一种测量线段长度的方法。答：定义 先取定一条线段 OO . 对每一条线段 AB 都能对应一个数 ( d AB (称 为该线段的长度 , 它应该满足下列一些条件 :(1 恒正性: 对每一条线段 , 所对应的数必须是一个正数 , 即对任何线段 AB , 有( 0d AB .合同不变性 : 彼此合同的两条线段的长度应该相等 , 即如果(3 可加性: 如果*, ( ( ( A BC d AB d BC d AC += 成立则有 . (4具有单位长度：预先取定的线段00 的长度为1,即有(1d 00 =.测量方法如下所述 :(1, ( 100 d 00 =对线段则令(2, , , ( 22m mr r

5、m r AB 00 d AB = 如存在两个正整数使得则令 .(3, , , , , 2m rm r AB 00 m 丰如对任何正整数均有则由预备定理知道对足够大的 恰有一个正整数 m r , 使得122m m m mr r 00 AB 00 + 且l,im 02mmm r a x =于是我们令(d AB a =.:,1. :1ABC P Q R ABC AB BC CA BP PQ QR RC S = 五、(10 分)已知设分别是的边上的点且求证12342341(,111 , , 22212, 180 =180.S PR APR PBQ PQR RQC S S S S S S S S PQR

6、 PQ R Q PQR PQB RQCB C A Q PR A - 立二/ =-Z -Z -/ -Z =Z Z证:设,的面积分别是则易知下面证明将由于故在以为弦含内接角为的弓形弧的12(, 1Q P Q P S S S =最高点处因为得所以,.,O AB CD EF M N A B X C D Y E F Z O A B X Y Z 六、（10分）在中弦分别穿过另外两弦的中点过两点的切线交于过两点的切线交于过两点的切线交于求证六点共圆.证明：见讲义第二章第三节例14,（.AT ABC M BC ME TA CA E AB D BD CE = 七、（10分）设为的角平分线为中点交或其延长线于，交

7、（或其延长线 于，则F E B/, /, DB DE EF CF CF ME N DB EF DB EF BDEF BF DE BF ME M BC N CFCEM CAT BAT FEM CEF = ZZZZa 证明如图，把沿平移到，连接，设交于。因为，所以四边形为，从而，即，注意到为中点则为的中点。又因为=为等腰三角形， CE FE BD(,(,(,.A B C D E ABCDE O H O k A B C D E H O k ABCDE = 八（15分）如果两个多 边形和各对应边互相平行 , 且对应顶点的连线都过点 , 则存在一个位似变换使得证明：见讲义第四章第三节位似变换的定理11。九、（ 15分）试用构造实数模型的方法来验证 Hilbert 公理体系中的连续性公 理 :若线段 AB 两端及其内部的所有的点能被分为两类，具有下列性质：（1）每点恰属一类；A属于I类，B属于U类；（2） I类中