高三正余弦定理与解三角形1

1、正弦余弦定理涵义及公式一、同步知识梳理一、正弦定理1、正弦定理：在abc（R 为 ABC 外接圆半径） 。ABC 中，A sin B2RsinsinC2、变形公式：（ 1）化边为角： a2R sin A, b2R sin B,c2R sin C ;（ 2）化角为边：sin Aa ,sin B2R（ 3） a : b : c sin A : sin B : sin C（ 4）abcasin Asin Bsin Csin Ab ,sin Cc ;2R2Rbc2R .sin Bsin C3、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的

2、对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、余弦定理2222222bccosAbca1、余弦定理： abccos A2bc2222222ac cos Bcabbcacos B2 ca1222a2b2c2cab 2ab cos Ccos C2 ab2、余弦定理可以解决的问题：（ 1）已知三边，求三个角； （解唯一）（ 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、解三角形1ah1absinC1acsinB1bcsinAabc21、三角形面积公式： S ABC 222242R sinAsinBsinC

3、R二、 同步题型分析正弦定理例题 1、在ABC中，角 A, B, C所对的边分 a, b,c .若 acos Absin B2，则 sin Acos A cos B ()A-1B 1C -1D 122【分析】：题设已知边角之间的等式，通过正弦定理得到角之间的关系，再化简到结论中的形式【解析 】 a cos A b sin B ， sin A cos Asin 2B ， sin A cos Acos2 Bsin 2 Bcos2 B1 .变式 1、在ABC 中 ,已知BAC60 ,ABC45 ,BC3,则 AC_.【分析】题设一直两角和一个对边，根据正弦定理，求解另外一角所对的边长【解析】由正弦定

4、理得AC3sin 45AC2sin 60变式 2、在ABC 中，若 b 5,B,sin A1 ，则 a.43【答案】 523【解析】：由正弦定理得ab又 b 5,B,sin A1 所以 a5, a5 2sin Asin B431sin3342例题 2、在 ABC中，已知 a = 3 , b =2 ,B=45, 求A、C和 c .【分析】题设一直两边一角，根据正弦定理求解变长，但是由于正弦的值为正数有两个解，需要根据题设讨论两解是否都符合题意，从而求解所有角度和边长【解析】B=45 90且 a sinB b a , ABC有两解.由正弦定理得 sinA= a sin B =3 sin 45= 3

5、 ,b22则 A 为 60或 120.当 A=60时， C=180-(A+B)=75 ,c= b sin C =2 sin 75 =2 sin(4530)=62 .sin Bsin 45sin 452当 A=120时， C=180-(A+B)=15 ,c= b sin C =2 sin 15 =2 sin(4530)=62 .sin Bsin 45sin 452故在 ABC中， A=60,C=75,c=622 或A=120,C=15, c =62 .2【总结】从所得到式子看， 为什么会有两解： sinA =3 ,在(0,) 上显然有两个解。 ysin x 在 (0,) 上的值域为 (0,1，2

6、sin x 1在 (0, ) 只有x2 一解。变式 1、 ABC中， B=30, b =4,c=8, 求 C、A、a.【解析】由正弦定理得 sinC= c sin B8sin 30 =1.b4又 30 C150, C=90.A=180-(B+C)=60 , a = c2b 2=4 3.余弦定理例题 1、设ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ,且 cos A3 ,cos B5 , b 3, 则 c _513【分析】题设已知两角余弦值，和一角对边长，从而先通过正弦定理求解变长，再根据余弦定理求解第三边【解析】由35sin A412cos A,cos B,sin B,5135

7、133abbsin A3413由正弦定理得 a5,sin Asin Bsin B12513由余弦定理 a2c2b2bcAc2c56 0c142 cos259051例题 2、设ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c. 已知 a 1， b2 ， cosCABC 的周长；，求4【分析】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力【解析】（） c 2a 2b 22ab cosC14 4144 c 2 ABC 的周长为 abc 12 25 .例题 3、已知ABC 中， AB3、 BC37、 AC4 ，求ABC 中的最大角。【分析】首先依据大边对大角确定要求的角

8、，然后用余弦定理求解.【解析】三边中 BC37 最大， BC 其所对角 A 最大，根据余弦定理： cos AAB 2AC2BC 23242(37) 21 ，2AB AC23420 A180， A120故ABC 中的最大角是A 120.【总结】1. ABC 中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2. 用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.变式 1、已知ABC 中 a3 ,b5 ,c7 ,求角 C.a2b2c22272【答案】根据余弦定理： cosC2ab531 ，2352 0 C180 ， C120o变式 2、在ABC中，角A, B,C所对的三边长分别为a, b,c

9、，若a : b : c6 : 2:（ 3，求ABC的各角的大小1）【答案】 设 a6k， b2k， c31 k ， k02根据余弦定理得：cos B63142 ，231620 B 180，B45 ；4同理可得 A60 ； C180 AB75三、 课堂达标检测1、在 ABC 中,内角 A , B ,C所对的边分别是a,b,c ,已知 8b=5c , C=2B ,则 cosC（）A 7B7C7D 2425252525【答案】 A【解析】8b5c, 由正弦定理得 8sin B5sin C ，又C2B ，8sin B5sin 2B ，所以 8sin B10sin B cos B ，易知 sin B0,

10、cos B4 ,cos Ccos 2B2cos 2B 17.5252、已知ABC 中，A,B,C 的对边分别为 a,b, c 若 ac62Ao，则 b且75()A 2B4 2 3C42 3D 62【答案】 A【解析】 sin Asin 750sin(30 0450)sin 300 cos450sin 450 cos300264由 ac62可知 ,C750,所以B 300, sin B12由正弦定理得basin B2612,故选 A262sin A43、在 ABC 中， c6， a2，A 45，求 b 和 B, C 【答案】 ac， sin CcsinA6sin 453 ，sin Asin Ca

11、22 0C180 ， C60 或C120当 C60时， B75， bcsin B6 sin 7531 ；sin Csin 60当 C120 时， Bc sin B6 sin1531；15 ， bsin Csin 605所以， b31,B75 ,C60 或 b3 1,B 15 ,C 120 4、在 ABC 中 a20 ,b 102 , A45 ,求 B 和 c ；【答案】 a102 ，sinB1sin 45osin B2 0 B180 ， B30 或B150当 B30时，C105， c10(31) ；当 B150 时， AB195180 （舍去）。5、在 ABC 中， B60 ， a 14 ,

12、b 76 , 求A .【答案】 由正弦定理，得a sin B14sin 60 02sin A7 6.b2 ab , AB ，即0A60A456、在 ABC 中，若 a2b2c2bc ，求角 A .222b2c2a21【答案】 bcabc ， cos A2bc20 A 180， A120解三角形和正余弦定理应用一、 专题精讲正、余弦定理解三角形6例题 1、在 ABC中， a 、 b 、 c 分别是角 A，B，C 的对边，且 cosB =-b.cosC2ac（1）求角 B 的大小；（2）若 b =13， a + c =4，求 ABC 的面积.【分析】通过条件，把角转化成边之间的关系，整理后，根据余

13、弦定理找到cosB 的取值，从而求出角B ，第二问根据余弦定理和题目条件构成方程组，求解ac 的值，再根据面积公式求解三角形面积【解析】（1）由余弦定理知： cosB=a2c2b2，2aca222bc.cosC=2ab将上式代入cosBb得:cosC=-2aca 2c2b 22abb2ac a2b2c2 =- 2ac整理得: a 2+ c 2- b 2=- a c222=- 1cosB= acb= ac2ac2ac2B为三角形的内角， B= 2.3（2）将 b =13, a + c =4,B= 2代入3b2= a 2+ c 2-2 a c cosB, 得 b 2=( a +c ) 2-2 a

14、c -2 a c cosB21 b=16-2a c 12, a c =3.S ABC=1a c sinB=33.24变式 1、设ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为a,b,c, 且 a cosC1 c b .2（1）求角 A 的大小；（2）若 a1 ，求ABC 的周长 l 的取值范围.【解析】（1）由 aC1 cb得AC1CBcossinsinsin2cos2又 sin Bsin ACsin A cosC cos Asin C1 sin Ccos Asin C ，sinC0，cos A1，22又0AA37（2）由正弦定理得：basinB2sin B , c2 sin Csin A33

15、labc12sin Bsin C12sin Bsin AB33123 sin B1 cos B12 sinB622A,B0, 2,B6, 5sinB1 ,1336662故ABC 的周长l 的取值范围为2,3 .（2）另解：周长 labc1bc由（ 1）及余弦定理a2b2c22bc cos Ab2c2bc1(bc) 213bc13( bc) 22bc2又 bca 1labc2即ABC 的周长 l 的取值范围为2,3 .变式 2、在ABC 中, 角 A,B , C 对应的边分别是 a , b ,c . 已知 cos2 A3cosBC 1.(I) 求角 A 的大小;(II)若ABC 的面积 S53

16、, b 5 , 求 sin B sin C 的值.【答案】解 :(I)由已知条件得: cos2 A3cos A 12cos2A 3cos A20, 解得 cos A1, 角 A602(II)S1 bcAc 4 , 由余弦定理得:2,2a2sin53a 212Rsin2 A282sinBsinCbc54R27正、余弦定理和角的转化解三角形例题 2、 在ABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为a ， b ， c已知 cosA-2cos C = 2c-a cos Bb（ I ）求 sin C 的值；sin A81（ II ）若 cosB=，ABC的周长为5，求 b 的长。【分析】通过正弦定理将

17、边化成正弦，在通过和角公式进行化简。【解析】（ I）由正弦定理，设abcsin Asin Bk,sin C则 2c a2k sin Ck sin A2sin Csin A ,bk sinBsin B所以 cos A2cos C2sin Csin A .cos Bsin B即 (cos A2cos C )sinB (2sin C sin A) cos B ，化简可得 sin( AB)2sin( BC ).又 ABC，所以 sin C2sin A因此 sinC2.sin AC（ II ）由 sin2 得sin Ac 2a.由余弦定得及 cos B1 得4b2a2c2accosB2a24a24a21

18、4a2 .4所以 b2a.又 abc5,从而 a1,因此 b=2。变式、 ABC 中， A, B, C 所对的边分别为a,b,c ， tan Csin Asin B , sin( B A) cosC .cos Acos B（1）求 A, C ；（2）若 S ABC33 , 求 a, c .【解析】 (1)因为 tan Csin Asin B ，即 sin Csin Acos Acos BcosCcos A所以 sin C cos Asin C cos B cosC sin AcosC sin B ，sin B ，cos B9即 sin C cos AcosC sin AcosC sin B得

19、sin(CA)sin( BC ) .所以 C即 2CAB ,得 C3，所以. BA又因为 sin( BA) cosC1，则BA52得 A, B124sin C cos B ，A B C,或CA(B C) (不成立).23，或B A5（舍去）66(2) S ABC1 ac sin B62 ac33 ，28又ac, 即ac ，得 a 2 2, c 2 3.sin Asin C2322边角转化和角边转化的问题例题 2、在ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、b 、 c ，已知 a2c22b ，且 sin AcosC3cos Asin C, 求b【分析】对已知条件(1)a2c22b 左

20、侧 是 二 次 的 右 侧 是 一 次 的 , 可 以 考 虑 余 弦 定理 ； 而 对 已 知 条 件 (2)sin A cosC 3cos Asin C, 化角化边都可以。【解析】：解 法 一： 在ABC中sin AcosC3cos Asin C , 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理a2b2c2b2c2a2222222有 : aab32bcc, 化 简 并 整 理 得 ：2(ac )b.又 由 已 知 ac 2b4b b . 解 得2b 4或 b.0(舍）解法二 : 由余弦定理得:222222b ,b0.acb 2bc cos A . 又 ac所以 b2c cos A2又 sin

21、 A cosC3cos Asin C ，sin AcosCcos Asin C4cos Asin Csin( A C )4cos Asin C ，即 sin B4cos Asin C由正弦定理得 sin Bb sin C ，故 b4c cos Ac由，解得 b4 .【总结】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。10变式、 在 ABC 中， a、 b、 c 分别是角A、B、 C 的对边，且8 sin2 BC 2 cos 2A72（ 1）求角 A 的大小；（ 2）若 a 3 ， b c 3，求 b 和 c 的值解:（ 1） A B C 180， BC 90

22、 A sin B2C cos A 222由 8sin2 B C 2cos2A 7，2得 8cos2 A 2cos2A 72 4( 1 cos A) 2( 2 cos2A 1) 7，即(2cos A 1) 2 0 cos A 1 0 A 180，A602（2）a3 ， A 60，由余弦定理知a2 b2c22bc cos A， 3 b2 c2bc(b c) 23bc 9 3bc bc 2又 b c 3，b 1，c 2 或 b 2， c1二、专题过关1、在 ABC 中，若 2cosBsinA sinC，则 ABC 的形状一定是（）A . 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形

23、【解析】2 sinAcosB sin（ A B） sin（ A B ）又2sinAcosB sinC ， sin （A B） 0， A B2、在 ABC 中， a 、 b 、c 分别表示三个内角A 、B 、 C 的对边，如果（a 2 +b2） sin（ A- B ）=（ a 2- b2） sin（A +B），判断三角形的形状.【解析】 方法一已知等式可化为a 2 sin（ A - B ）-sin（ A +B ）=b2-sin（ A +B）-sin( A - B) 2a 2 cosAsinB =2 b 2 cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：1122sin AcosAsinB =sin B

24、cosBsinA sinAsinB ( sinAcosA - sinBcosB)=0 sin2A =sin2B, 由 02A ,2 B2得 2A=2B 或 2A = -2 B,即A=B或A=- B, ABC为等腰或直角三角形.2方法二同方法一可得222a cosAsinB =2b sinAcosB由正、余弦定理 , 可得a 2b b 2c 2a2= b2 a a 2c 2b22bc2ac a 2( b2+c2- a 2 )= b2( a 2+c2 - b2)即( 2-b2)(a2+b2- c2)=0a222 a = b 或 a+ b =c ABC 为等腰或直角三角形.3、 ABC 中 ,角 A

25、,B,C 的对边分别为a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（ 1）求 cosA;（ 2）若 a=3, ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.3(cosBcosCsinBsinC) 16cosBCcos3cos B cosC3sin B sin C1【解析】（1）3cos( BC )1cos(A)13cos A1 .3（ 2）由（ 1）得 sin A22 ,由面积可得 bc=6 ,则根据余弦定理3cos Ab2c2a2b2c291 则 b2c213 ,2bc123b3a3两式联立可得或.a2b24、在 ABC 中， a， b， c 分别为内角A ， B， C 所对的边

26、长， a=3 ， b=高.则2 ， 12cos( BC)0 ，求边 BC 上的【解析】： A B C 180，所以 B CA ，12又 12cos( BC) 0 ， 1 2cos(180A) 0，即 12cos A0 ， cos A1 ，2又 0A180，所以 A 60.在 ABC 中，由正弦定理abb sin A2 sin 602sin Asin B得 sin B3，a2又 b a ，所以 B A ， B 45， C 75，BC 边上的高 AD ACsinC2 sin 752 sin(4530 )2(sin45 cos30cos45 sin 30 )2(2321)3 1 .222225、在A

27、BC 中,角 A、 B、 C 的对边分别为a,b,c.角 A,B,C 成等差数列 .（ I）求 cosB 的值 ;（）边 a,b,c 成等比数列 ,求 sin Asin C 的值 .【解析】（ I）由已知 2BA C,AB C,B,cos B1233 ，（）解法一： b2ac ，由正弦定理得sin Asin Csin 2 B4解法二： b2ac, 1cos Ba2c2b2a2c2ac ，由此得 a2b2acac ，得 a c22ac2 ac所以A BC,sin A sin C343三、学法提炼1、专题特点：针对题目条件中的边、角，结合正弦余弦定理和面积公式来灵活运用2、解题方法：、正弦余弦定理的规范使用，正面求解三角形、边、角之间的化简方向，通过观察找到合适的方法3、注意事项：题目给定的条件要合理利用，正弦、余弦定理的使用过程，计算要精确，边角之间的转化要找准方向13正余弦定理与不等式结合一、能力培养1、在ABC中 角ABC所对的边分别是且a 2c 2b21 a