高三第一轮复习讲义【13】-指数与对数方程

1、2018 届高三第一轮复习讲义【13】 -指数与对数方程一、知识梳理：1、指数方程和对数方程定义：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。2、指数方程的主要类型：（1） a f ( x)bf(x) logba (a0, a1,b0) ；（2） a f ( x)a g( x) (a0, a1)f (x)g( x) ；（3）f ( x)g( x)lg( ) lg(0,1,0,1)；abf x a g x b aabb（4） Aa 2xBaxC0(a0, a1) ，令 ta x 转化为 At 2Bt C 0 后再求解；（5） Aa2 xB a xb xCb2

2、x0(a0, a1, b0, b1)可转化为：a2 xxABaC0 ，再用换元法求解 ;bb3、对数方程的主要类型：（1） log af xbf (x)ab (a0, a1) ；f (x)g( x)（2） log af (x)log ag( x) (a0,a1)f ( x)0；g( x)0（3） Alog af ( x) 2B log af ( x)C0(a0, a1) ，令 tlogaf (x ) ，转化为：At 2BtC0，再求解。4、值得注意的几个问题：（ 1）注意解指数方程和对数方程过程中换元法和等价转化思想的运用；（ 2）在解方程的过程中变形的每一步都要是同解变形，否则会失根或产生增

3、根，要注意检验；（ 3）要能利用计算器、函数的图像和二分法来探索、求解一些指、对方程的近似解。二、基础检测：1.方程 22 x2x23 的解为 _.2.方程 log 2 (2 x)log 2 (x23) 的解为 _.3.方程 42 x 1(1 )x 的解是 _.224.函数 f ( x)log23 的零点是 _.x5.方程 log 4 (3x)log 0.25 (3 x) log 4 (1x) log 0.25(2 x1)的解集是 _.6.若函数 f ( x)x22xm 在区间 (0,2)上有唯一的零点,则实数 m 的取值范围是 _.三、例题精讲：【例 1】解下列方程：（1） 92 x 13

4、x （2） 5x13x2 1（3） log5 (x1)log0.2 ( x3) 1（4） log (16 3x) ( x2)1（5） xlg x 2100022解：（ 1） 92x13 x34 x 23 x4 x2xx5（ 2）两边取对数得x1 lg 5x21 lg 3，即x1lg 5x1 lg 30，解得 x1 或 log 3 15 ，所以原方程的解为x1或 xlog3 15（ 3）由原方程得：log 5 ( x1)log 5 ( x 3)1log 5 ( x1)( x3)1x22x 8 0x14, x22经检验，只有x14符合，所以原方程的解为x4（ 4）原方程可转化为x2163x( x2

5、) 2163xx14, x23经检验，只有x23 符合，所以原方程的解为x3 （ 5）两边取对数， lg xlg x2lg1000,(lg x) 22lg x30,解方程得 lg x1, lg x3,x10 或x1，经检验都是方程的根1000【例 2】解下列方程：（ 1） 3 16x36x2 81x （ 2） 10lg 2 xxlg x20（ 3） log x9x2log 32 x4（ 4）log 2 (9 x5)log 2 (3 x2)2 42x4x解：（ 1）原方程可化为3 42x4x9x2 92 x ，可化为 320 ，99x2 或x所以441（舍），即 x1， 所以原方程的解为x193

6、922（ 2）因为 10lg 2 x(10lg x )lg xxlg x ，故原方程可化为xlg x10 ，两边取常用对数，得lg 2 x1（即 lg x1），于是有 x110, x21，经检验， 二者都是原方程的根10（ 3）原方程可化为log32 xlog 3 x20 ，解得 log 3 x2 或 log3 x1，所以， x1或 x3 ，经检验， x13都是原方程的解9或 x99x54(3 x2),（ 4）原方程化为3x20,解得 x 19x50.【例 3】解下列方程：（ 1）a2 4 x(2 1) 2 x1 0（ 2） lg( x22ax)lg(6a3) 0a（ 3） 2lg xlgx

7、1lg a 解：（ 1） 当 a0时，2x1, x0; 当 a0时 ,(2a1)24a214a；若0 则 a1(a0 ) 4且关于 t 的一元二次方程a2t 2(2a1)t 10至少有一个正根，而两根之积为10 ，故两根之和为正数，即12a0a1 ，a 2a22故 a1 (a 0 ) 时 ,2 x(12a)14a，2a24故 a1(a0) 时,xlog 21 2a14a为原方程之根42a2x22ax0a1（2） 化原方程为：6a302x22ax6a3(xa)2a 26a3 a1， a26a316130 ，故由 ( xa) 2a26a 3得：2421 )x aa 26a 3 即 x aa 26a

8、 3 ( a2a0a0（3）先求使方程有意义的未知数x 和参数 a 的取值范围，由x0，得xx101在此条件下，原方程化为x2axa0 当a24a0 ，即0a4时，方程无实根，则原方程无实根； 当a24a0，即 a4 时，方程有两个相等的实数根x2 ，经检验 x2 是原方程的实数根； 当a24a 0 ，即 a4 时，方程有两个不等的实数根x1 ， x2 ，由韦达定理，得 x1 1x2 1x1x22 a 2 0 ，x1 1 x2 1 x1 x2x1x21 a a 1 0 ， x11 ， x21，x1aa24aa a24a4 ）故原方程有两个实数根2， x22（ a【例 4】已知关于x 的方程 3

9、2x 1( m 1)(3x 11)( m3)3x0(mR).（1）当 m=4 时，解此方程；（2）若方程在区间(1, log3 4)上有唯一的实数解，求m的取值范围解：（ 1） m=4 ，则原方程为 32 x 13(3x 11)3x0 即 3 (3x ) 28 3x 3 0令 t3x0 ，则有3t28t30解得 t3 （舍）或 t13则3x1，解得 x13（ 2） m(7,28)5【例 5】当 k 为何值时，方程| 3x1|k 无解？有一解？有两解？解：当 k0时，直线 y=k 与函数y| 3x1| 无交点，所以方程无解；当 k0或 k1时，直线 yk 与函数 y| 3x1| 有一个交点，所以

10、方程有一解；当 0k1时，直线 yk 与函数 y| 3x1|有两个交点，所以方程有两解；【例 6】若关于 x的方程 9 x( a4) 3x40有实数解，求实数 a 的取值范围解： a 49 xx4(3x4x )4, a8.33【例 7】用二分法求方程log 2(x4)3x 在 (0,1)上的近似解 (精确到 0.1).解: 设 f ( x)log 2 (x4)3x ,f (0)0 , f (1)0 ,f (0.5)0 , 所以 f (x)0在 (0.5,1) 上必有一解 ,根据二分法 ,进行计算 , 可得 f (x)0 在 (0.71875,0.7421875) 上必有一解 ,区间 (0.71

11、875,0.7421875)上任意数取四舍五入至0.1 后均为 0.7 , 因此取 0.7 为近似解 .【例 8】若关于x 的方程 lg( x1)lg(3x) lg(1ax) 有两解 , 则实数 a 的取值范围是_.解: 即考虑 (x 1)(3 x)1 ax 在 (1,3) 上解的情况 ,如图所示 , 即考虑曲线 y( x1)(3x) 与直线 y1ax 在 (1,3) 上的交个数点 ,当直线的斜率11a(1,a,1)或者 a0 时 ,y33两者图像有唯一交点, 即方程有唯一解 ;l3 : y1 ,0)a (0,1) 时 ,1当直线的斜率a(332x两者图像有两个交点, 即方程有两解 ;O13l

12、2 : y当 a (,1(0,)a( ,0) 1, )时,l1 : yx1两者图像无交点 ,即方程无解 ;综上所述 , a1(0, ).3【例 9】已知关于 x 的方程 k 9xk 3x 16(k5)0在 x0,2上有解，求实数k 的取值范围。解：方法一： 令 3xt ，由 x0,2，则 t1,9，则原方程化为 kt23kt6(k5)0在t 1,9 上有解。（1）当 k0 时，方程不成立；（ 2）当 k0时，则 t 23t6(15)0 。令 f ( t)t23t6(15 )，此二次函数的对kk称轴方程为 t3，方程 t 23t6(15)0 在 t1,9上有解，则2k0924(15 )01k，解

13、得k8 。f (9) 05)281 276(10k方法二：令3xt ，由 x 0, 2，则 t1, 9 ，则原方程化为kt 23kt6(k5)0在11 x 13t1,9 上有解。（1）当 k0时，方程不成立；（2）当 k0时，则 t 23t 6(15)0 在 t1,9 上有解。30k30即 t 23t6。在同一坐标系中作出f (t)t 23t 6,t 1,9 与 y的图像，可kk知方程解的个数等价于两函数图像交点个数。所以 f (33015301)f (9) ，即4k60 ，所以k 8 。2k2说明：方法二比方法一更直观，此方法还可以得出k 的取值与方程解的个数的关系。当 k 818115时，

14、方程有一解；当15或 k时，方程无解；当 k或kk 8 时方程有两2222解。方法三： 原方程化为 k(9x3x 16)30 ，因为 9x3x16 (3x ) 23 3x60 恒成立，则 k9x30，令 3xt ，当 x0,2时 t1,9。则 k30， t1,9 。因3x166 15 ,60 ，所以1t23t6t 1,9时， t 23tk8 。42【例 10】设 a, xR ，解关于 x 的方程 lg( x1)lg(3x)lg( ax) 。x10解：原方程等价于3x0，因为 1x3 时， ( x1)(3x)0 恒成立，ax0( x 1)(3 x)ax所以 ax0 恒成立，即原方程等价于1x 3

15、。ax25x3作函数yx25x31 x3 上的图像，由图像可以看出：在（1）当 1a3时，方程有一解，且此解y13小于 5 ，所以 x5134a。；4322（2）当 3a131。ya时，方程有两解45134a；O12.53xx2（3）当 a135。时，方程有一解 x24综上知：1a3 或13x5134a3a13时，方程解为a时，方程解为2；当445134a。x2四、难题突破：例 1：已知 f ( x)log 1x ，当点 M ( x, y) 在 yf ( x) 的图像上运动时，点N ( x 2, ny) 在2函数 yg n (x) 的图像上运动（nN*）（ 1）求 ygn ( x) 的表达式；

16、（ 2）若方程g1()g 2(x2) 有实根，求实数a 的取值范围；xa（ 3 ） 设 H n ( x)2 gn ( x)， 函 数 F (x) H 1 ( x)g1 ( x) （ 0 a xb ） 的 值 域 为5242，求实数a ， b 的值 l o 2gb2 , l o g2 a 2五、课堂练习：1方程 9 x4 3 x30 的解集是 _2解方程： 9x4 x5 6x 23解方程：9x9 x4(3x3 x ) 50 4关于 x 的方程 5 xa3的根为正数，则 a 取值范围是 _5a5关于 x 的方程 2a 2 x 27a x13 0有一个根为2，求实数 a 的取值及方程的其余的根6关于

17、 x 的方程 kxk3x 16(k5) 0 在区间 0,2 上有解，求实数k 的取值范围；9若方程在区间 0,2 上只有一个解呢？7方程log x1 (3x27x2)2的解集是 _8方程 log 1 ( x 4)( 1 ) x 实数解的个数是 _ 229若 a, b是方程 lg 2 x2 lg x30的两根，则 log a blog b a _10解方程： log 32 xlog 1 x 230311作为对数运算法则：lg( ab)lg alg b （ a0, b 0 ）是不正确的但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg 2lg 2 那么，对于所有使lg( a b)lg alg b（ a

18、0, b0 ）成立的 a , b应满足函数 af (b) 表达式为_12关于x 的方程x2 x2,xlog 2x2 的解分别为,，根据指数函数和对数函数的图象，_13当实数 a 取何值时，方程lg( x1)lg(3x)lg(1ax) 有一个实数解，两个实数解或没有实数解？14已知关于x 的方程 lg( ax )2 lg( x1)（ 1）当 a 2时，解该方程；（ 2）讨论 a 取何值时该方程有解，并求出它的解？六、回顾总结：（1）指、对数方程的基本要求：1.理解指数方程和对数方程的概念，会求指数方程和对数方程近似解的常用方法，如图像法、逼近法 ，或使用计算器等。2. 会解简单的指数方程和对数方

19、程。 在利用函数的性质求解指数方程、 对数方程以及求方程近似解的过程中，体会函数与方程之间的内在联系。（2）对数方程的常见类型与解法：f (x)g( x) 同底法： loga f ( x)log a g( x)(a0, a 1)f (x)0；g (x)0 换元法：f(log)0(a0,a1)，设 tlog a x ，转化为解f (t ) 0 ；a x 互化法： loga f ( x)bf ( x)ab 。注：对数方程须检验，含字母的对数方程化为与之等价的混合组。七、课后练习：1.方程 lg( x21)lg5 的解集用列举法可表示为 _.2.函数 f ( x)4x2x1 的零点为 _.3.方程 lg( x1)lg( x2)lg( x2)的解为 _.4.若方程 lg2x (lg5lg7)lgxlg5lg7 0 的两个解为, , 则_.5.关于 x 的方程 4xk 2xk30 有实数解 ,则实数 k 的取值范围是