9知识讲解_《解三角形》全章复习与巩固_基础

1、解三角形全章知识复习与巩固 【学习目标】 1.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2.应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等, 即: sin A sin B sin C 要点诠释: (1)正弦定理适合于任何三角形，且一a sin A b sin B c sin C 2R( R为 ABC的外接圆半径)； (2)应用正弦定理解决的题型：已知两角和一边，求其它已知两边和一边的对角，求其它. 一解或两解，应结合“三角形中 (3)

2、在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、 大边对大角”定理及几何作图来帮助理解 要点二：余弦定理 在 ABC中, a2 b 2 c2 2 2bccosA , b a2 2 c 2accosB , c2 a2 2 b 2abcosC 变形为: cos A b2 2 2 c ac ,cosB 2bc 2 .2 c bc ,cosC 2ac b2 2ab 要点诠释: (1)应用余弦定理解决的题型：已知三边，求各角已知两边和一边的对角，求其它已知两边 和夹角，求其它; (2 )正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只 是方便程度有别; (3 )正

3、、余弦定理可以结合使用 要点三: 三角形的面积公式 1 11 -aha- chc , 2 22 11 -absinC -bcsin A 22 其中ha,hb,hc为a,b,c边上的高 -acs inB 2 (3)S Jp(p a)(p b)(p c)，其中 p 要点四：三角形形状的判定方法 设ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为 A、B、C， 解斜三角形的主要依据是: (1)角与角关系：由于A+B+C = n,所以 n, sin(A+B)=sinC ； cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= tanC; .A B CAB. C Sin cos , cos Sin ; 2 2 2

4、 2 (2)边与边关系：a + b c, b + c a, c + a b, a b c, b c b; (3 )边与角关系：正弦定理、余弦定理 常用两种途径: (1 )由正余弦定理将边转化为角; (2)由正余弦定理将角转化为边 要点诠释：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等 综合结合起来.在 ABC中，熟记并会证明：/ A, / B，/ C成等差数列的充分必要条件是/B=60 ABC是正三角形的充分必要条件是/A , / B, / C成等差数列且a, b, c成等比数列. 要点五：解三角形应用的分类 距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达;

5、高度问题(最后都转化为解直角三角形) 角度问题; 面积问题. 【典型例题】 类型一：正、余弦定理的基本应用 nd 例 1.如图，在 ABC 中，/ B = _, AB = 8，点 D 在边 BC 上，且 CD = 2, cos/ ADC =- 3 7 (1)求 sin / BAD ; 求BD, AC的长. 【答案】(1)迹 14 【思路点拨】(1) 余弦定理分别求得 在三角形ADC中，由已知条件和外角定理可求得sin/BAD ; (2)利用正弦定理和 BD, AC的长。 【解析】(1)在 ABC 中， cos/ ADC = 1 7 473 sin/ ADC = 7 贝y sin / BAD =

6、 sin( / ADC - / B) = sin / ADC ?cosB cos/ ADC ?sinB 214 在 ABD 中, 8 3(3 亠十A宀蚀作AB sin BAD14 由正弦定理得 BD = sin ADB4J3 7 =3 , 在 ABC中, 1 由余弦定理得 AC2= AB2 + CB2 2AB?BCcosB = 82+ 52 2X 8X 5 X - = 49, 2 即 AC = 7. 【总结升华】解答此类问题应注意以下几点: (1)画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确 (3)注意对三角形的内角 定已知和所求；(2)明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解; 和

7、定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象 举一反三: 1 【变式1】在 ABC中，内角A , B , C所对的边分别是 a, b, c,已知 b c= a， 2sinB = 3sinC， 4 则cosA的值为 【答案】在 ABC中， 1 V b c= _ a ，2sinB = 3sinC， 4 2b = 3c ， 3c 由可得 a= 2c， b= . 2 b 2 再由余弦定理可得cos A c2 2bc a2 9c2 4 2 .2 c 4c 3c-c 故答案为：1 4 【变式2】在 ABC中，已知/ BAC = 60，/ ABC = 45， BC ，贝y AC = AC 【答案】由

8、正弦定理得 sin ABC BC sin BAC 即旦玉 sin 45 sin 60 得AC如亘近. sin 60 类型二：正、余弦定理的综合应用 例2.在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a，b，c，已知cos2C (1 )求sinC的值; (2)当 a= 2, 2sinA = sinC 时，求 b 及 c 的长. （2 ）首先利用正弦定理将角 【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得 sinC的值; cosC的值. 化为边，易求得边 C，要求边b，考虑用余弦定理，即先求出 【解析】（1）因为COS2C 1 2sin2C 所以Sine乎 (2)当 a= 2，2sinA

9、 = sinC 时, 由正弦定理 a sin A ，得 c= 4. si nC 由 cos2C 2cos2 C 1 cosC 由余弦定理得c2a 2 b2 2abcosC，得 b2 46b 12 0. 解得b J6或2晶 26 4. 【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的 性质把相关条件化归到同一个三角形中; （3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化 举一反三: 若 a2 b2Vsbc，sinC 3 sinB， 【变式1】在 ABC中，内角A , B, C的对边分别是a, b，c， 则A的度数为 【答案】sinC 2j3sinB a2

10、 b2 Tsbc 2 b2 b2 c2 Tsbc， 【变式 A B C， A 4:3:2 cos A b2 2 c 2bc x/sbc 2bc c2罷 c 2bc 2 2b 在 ABC 中 A = 30 2】设 ABC的内角A， 3b=20acosA，则 sinA : B，C所对的边分别为 sinB : sinC 为( ) B. 5 : 6: 7 C. 5:4:3 D. 6:5:4 a，b， c，若三边的长为连续的三个正整数，且 ABC，可设三边长分别为a、a-1、a-2. 【答案】由于a，b，c三边的长为连续的三个正整数，且 由余弦定理可得 cos A - 2 c2 a2 (a 1)2 (a

11、 2)2 a2 2(a 1)(a 2) 2bc a 5 2(a 2) 3(a 1) a 5 20 a2(a 2) 3b 又 3b=20acosA，可得 cos A 20a 解得a 6，故三边是6,5,4. 由正弦定理可得 si nA : si nB : si nC=6:5:4 C的对边分别为a , b , c,已知 【变式3】(2016 新课标I理) ABC的内角A , B , 2cosC(acosB+b cosA) c. (I)求 C； (II )若c J7, ABC的面积为，求 ABC的周长. 2 【答案】 (I)由已知及正余弦定理得，2cos C(sinAcosB sin BcosA)

12、si nC 2cosCs in 故 2sinCcosC sinC . 1 可得cose 2，所以C 1 (II)由已知，一absinC 2 又C -，所以ab 6. 由已知及余弦定理得, 2 b 2abcosC 7 故a2 b2 13,从而(a b)225 所以 ABC的周长为5 J7。 类型三：利用正、余弦定理解决实际问题 例 3. ( 2016 春 泗阳县期中)A，B两地间隔着一个水塘(如图) ，现选择另 点C,测得CA 1077km , CB=10 km , / CBA=60 。 B两地之间的距离; (1 )求 A , (2)若点C在移动过程中，始终保持/ ACB=60。不变，问当/ C

13、AB何值时, ABC的面积最大？并求出面积的最大值。 【答案】(1) 30 km ( 2) 60225巧 A弋 贝U AB=AD+BD; AC BC的最大值,根据最大值成立的条件得出/ CAB的度数, 【思路点拨】(1 )过C作CD丄AB于D,使用勾股定理依次解出 BD , CD , AD, (2)利用余弦定理和基本不等式求出 代入三角形面积公式得出面积的最大值。 【解析】(1)过C作CD丄AB于D , / CBA=6O , BD -BC 5km 2 ,CD JbC2 BD2 575km。 在 Rt ACD 中，ad Jac2 cd2 25km。 AB=AD + BD=30 km。 (2)在

14、ABC中，由余弦定理得 COS AC2 BC2 AB21 ACB 2AC BC2 AC2+BC2=AC BC+AB2=AC BC+900, / AC2+BC2 2AC BC, AC BC+900 2AC - BC, AC BCW 900,当且仅当 AC=BC=3O时取得等号。 当AC=BC=3O时， ABC是等边三角形，故/ CAB=6O 。 SsBc 的最大值为 302 2 253。 4 【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问 题，首先要明确题意，根据条件和图形特征寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解。 举一反三: 【变式1】如图

15、，A、B两点都在河的对岸 (不可到达)，测量者在河岸边选定两点 C、D,测得CD 40m , 并且在C、D两点分别测得 ACB 6OO , ADB 60, BCD 30, ADC 45，求河的对岸的 两点A、B间的距离。 ADC 中, BCD 300, ACB 600,ADC 45O - ACDACB BCD 60 在 Rt adc 中，ad CD cos ADC 在 bdc 中，adb 60 , BCD bdc adb ADC 60 由正弦定理得：bd CD sin BCD sin DBC 【答案】在 300 900 , 40 sin 45 4o72( m 30 ,ADC 45, 45O 1

16、05,DBC 45O 40S 20( sin 45 在 ABD中，由余弦定理得： AB JaDBD2 2AD BDCOS6002076 (m) 故A、B间的距离为20j6m. 【变式2】甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船 20海里的B处，乙船以每 小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时 8海里的速度由A处向南 偏西60。方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近? 则AC 8x,AD AB BD 2010 x CD2 AC2 AD2 2 AC AD cos60 (8x)2 (20 10 x)2 2 8x (2010 x) 244 X2 560 x400 244( 70 2/

17、 x)- 61 当CD 2取得最小值时 ,CD取得最小值. 61 当 1 2 【答案】设经过X小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点 B B X 70时,CD取得最小值， 61 此时，甲、乙两船相距最近 类型四：解三角形与其他知识的交汇 例4.设锐角三角形 ABC的内角A，B，C的对边分别为a, b, c，a 2bsi nA. (1)求B的大小；(2)求cosA sinC的取值范围. B的正弦值，进而求 B; (2)利用三角形中的 【思路点拨】(1)利用正弦定理将边进行角的转换，求得 内角和定理，利用三角函数的知识进行求解 【解析】(1)由a 2bsin A, 根据正弦定理得si nA 2sin

18、 Bsin A，所以 sin B 由 ABC为锐角三角形得 (2) cos A sinC cos A sin i sin 2 cosA sin A cosA cosA 6 由 ABC为锐角三角形知， 一 2 所以1sin A 3号 由此有週 2 JSsin A - 3 所以cos A sinC的取值范围为 【变式2】已知函数f(X) Tssincos 2 2 (1 )求 f (x)的单调增区间; (2 )若 f(B C) 1, a 73,b1，求角 C的大小. 【答案】 (I)因为 f(x) -3sin 2 x cos- 2 亦i sin x 2 cosx 1 2 2 x cos - 2 証i sin x 2 1 一 cosx 2 【总结升华】 本题考查解三角形，三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种 题型:一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长,面积等；二、三角函数的图像与性 质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调 区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查 举一反三: 【变式1】已知a, b, c为 ABC的三个内角A, B, C的对边，向量m=(1 ), n=(cosA,sinA). 若 m丄n,且