47知识梳理基本不等式(基础)(20210112130257)

1、基本不等式【考纲要求】a b1. 了解基本不等式 Tab 的证明过程，理解基本不等式的几何意义， 并掌握定理中的不等号2取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；a b2. 会用基本不等式 Jab 解决最大（小）值冋题.23. 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1重要不等式：如果a,b R，那么a2 b2 2ab （当且仅当a b时取等号“=”）.2. 基本不等式:a b如果a,b是正数，那么 Tab （当且仅当a b时取等号“=”）.2要点诠释：a2 b2 2ab和Tab两者的异同：2(1)成立的条件是不同的：前者只要

2、求a,b都是实数，而后者要求 a,b都是正数;取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b时取等号”。22a2 b2 a b a b 23.如图， 连接AD、BD.a b2ab可以变形为：ab 丁，宁 厲可以变形为：ab （宁）.AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC a, BC b，过点C作DC AB交圆于点D,易证 Rt ACD Rt DCB，那么 CD2 CA CB，即 CD 届.这个圆的半径为，它大于或等于CD，即JOB，其中当且仅当点C与圆心重合，即a b2 2时，等号成立.a b-要点诠释：1.在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称 Jab为a,b的几何平均数.因此

3、基本2不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数a,b的等差中项， job看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可以2叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式 JOB _b的证明21.几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为a b。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为a2 b2。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以: a2 2b 2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b

4、22ab。得到结论：如果a,b R，那么a2 b2 2ab （当且仅当a b时取等号“=”）特别的，如果a0,我们用ja、品分别代替a、b，可得:如果a 0, b0,则ab 2jab，（当且仅当a b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a 0，b O,jab，（当且仅当a b时取等号“=”）22.代数法- a2 b2 2ab (a b)20，当 a b 时，（a b）20 ；当a b时，(ab)2所以(a2 b2)2ab ,(当且仅当a b时取等号“=”).特别的，如果a0,我们用ja、伍分别代替a、b，可得:如果a 0，b0,则ab 2jab ,(当且仅当a b时取等号“=”).通常我

5、们把上式写作:如果 a 0 , b 0, jab要点三、用基本不等式jaba b,(当且仅当a2a b求最大(小)值2b时取等号“=”).一正二定三取等 。在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件： 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值;一正：函数的解析式中，各项均为正数;三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点四、几个常见的不等式1)a2b22aba, bR，当且仅当a=b时取“=”号。2)3)4)5)【典型例题】Jaba, bR ，当且仅当a=b时取“=”号。;特别地:b22Vab2aba,b Ra,ba2例1. a 0 , b 0，给出下列推

6、导，其中正确的有类型一:基本不等式(填序号).(1)1b的最小值为22 ；Jab【解析】(a1 1b)(-)的最小值为 a b1的最小值为 2.a 41)；( 2)(1)T aJab-X 242 (当且仅当a b 时取等号).Jab21(2)V a 0, b0,. (ab)2 jab -=4 （当且仅当a b时取等号）JabX(3)v a 0, 2J(a 4) & 4（当且仅当a4 1,3时取等号）/ a 0，与a3矛盾，上式不能取等号，即a丄2 a 4【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可举一反三：【变式1】给出下面四个推导过程：/ a,b

7、R/ X, Igx Ig y2 Jig X Ig y ； a X,xy 0 ,(;)其中正确的推导为（A.B.【解析】 a,b) baC.D.，符合基本不等式的条件,故推导正确虽然X, y R，但当X(0,1)或 y (0,1)时,lgx,lgy是负数，的推导是错误的4由aR,不符合基本不等式的条件，一 aa2由xy 0,得y,-均为负数，但在推导过程中,X y将整体X提出负号后，（一）y(-)均变X为正数，符合基本不等式的条件，故正确【变式2】下列命题正确的是（.选D.)A.函数y1的最小值为X2.B.函数X=L的最小值为2 2C.函数y3x4（X 0）最大值为2 4恵 D.函数X3x -（

8、X 0）的最小值为2X【答案】C【解析】A选项中，10，当X 0,时由基本不等式X -1X2. 选项A错误.B选项中， yX2 3非弓E化的最小值为2（当且仅当 jx221 时,成立）但是JX222，这是不可能的.选项B错误.C选项中， X40 , y 2 3x 2 (3xX-)X24j3，故选项C正确。类型二：利用基本不等式【高清课堂：基本不等式394847基础练习二】0,则a2aba(a1-一的最小值是1 b）A . 1【解析】C. 3aba(ab)a(a b)1abab当且仅当【答案】举一反三:【变式1】若【解析】因为aba(a b)a(aa(aabf(X)b)b)1ab(ab1a(ab

9、)即aQb旦时取等号20,求 f (x)0,所以X(4x9)X（当且仅当 4x3故当X -时,294x -的最大值.X0 ,由基本不等式得：(4x)(9)X24X) ( )2736 12,f(X) 4x3时，29 取得最大值 12.X取等号）【变式2】已知X 0，求f（X）20 4x 的最大值.X16 x0, x 0 , ( x)42J( x)42 24 （当且仅当 x4即x2时，等号成立）xxx f (x)204( x)420 444 （当且仅当x4即x 2时，等号成立）xx故当x2时,f （x）的最大值为4.【解析】4-的最小值是bb 0, a+ b = 2，贝U y= 1a例3.已知a

10、0,7A.2【解析】C.90, bx69x答案选C举一反三:【变式1】o，y1，求xy的最小值.【解析】0,- 12jl2（当且仅当-xx 4, y 16时，等号成立） xy 64 (当且仅当x4 , y 16时，等号成立）故当x 4, y 16时，xy的最小值为64.【变式2】已知x0, y0,且 19x yx+y的最小值。y (xy)1【解析】 1x/ x 0, y 0,.-x9x 2 yy Vx y（当且仅当上x即y=3x时，取等号）当x=4，y=12时，x+y取最小值16。类型三：基本不等式应用例4.设x, y1,求证:(x -)(y -)手x y 4【证明】254x yxy -2 2

11、X y12xy2 233-x yTxy 2xy81xy 42Q xyxy281xyxy -00014xy 1 4257xy25成立举一反三:【变式1】已知43，求证：【解析】a 3(a3)冷匕(a 3) 324 37【例5】(1)若 a(2)求证:【解析】(当且仅当(2015 春5,等号成立).东城区期末)已知0,b0,c 0，(1)由题意可得1的值为1带入计算可得 13a111;1（2）由题意和基本不等式可得/ac 0， b c /b 0举一反三:【变式】（2015石家庄一模）已知函数fx 3 m的定义域为R.（1）求实数m的取值范围.若m的最大值为n当正数a、b满足23an时，求b a 2

12、b7a+4b的最小值.【解析】（1）因为函数的定义域为 R,0恒成立设函数g3则m不大于gx的最小值x的最小值为4， m23a1 7a 4b - 6a4由（1）知n=42b152 3a 2ba 2b12b2b2b3a b23a 2b151a 2b2 2/3a 2b a 2bV a 2b 3a b2a时取等号.b时，即b7a 4b的最小值为94类型四：基本不等式在实际问题中的应用例6.某农场有废弃的猪圈， 留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形,当且仅当a 2b 3a面积为112m2，预计（1）修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%，（ 2）拆去1m旧墙用以改造

13、建成1m新墙的费用是建1m新墙的50%，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为 xm ,则拆改成新墙的旧墙为 （12 x）m，于是还需要建造新墙的长为2 112 （x 1） （12 x） 2x13.xx设建造1m新墙需用a兀，建造围墙的总造价为 y兀，224则 y x a 25%(12 x)a 50%(2x 13)axa(47x(当且仅当47x 2空 7)a(2872 7)x224即x 8近时，等号成立)故拆除改造旧墙约为128j2米时，总造价最小.x举一反三