38知识梳理等差数列(20210112130705)

1、等差数列【考纲要求】1 .理解等差数列概念.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.3了解等差数列与一次函数的关系 .4灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在 联系.5掌握常见的求等差数列通项的一般方法；6用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题【知识网络】【考点梳理】【高清课堂:等差数列382420知识要点】考点一、等差数列的定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差 .要点诠释： an为等差数列 an 1 an

2、d (n N) an an 1=d (n 2, n n ) ( d为常数) 等差中项：若三个数 a, X, b成等差，则x称为数a, b的等差中项。a b任意实数a, b的等差中项存在且唯一，为证数列an是等差数列的方法:anan 1 d (n 2)( d 为常数);an为an 1和an 1的等差中项。考点二、通项公式ana1 (n 1)d (归纳法和迭加法)要点诠释: an为等差数列an为n的一次函数或an为常数an=kn+b (n式中an、ai、n、d只要有三个就可以利用方程 （组）求出第四个。公式特征：等差数列an中an=k n+b是关于n的一次函数（或常数函数），一次项系数k为公差d。

3、几何意义：点(n， an)共线；an =kn+b 中,当k=d0时, an为递增数列;当k=d 0,贝U 2a1+d 0, a2+a3=2a1+3d2d, d0时，结论成立，即 A不正确; 若 a1+a3 0，贝U a1+a2=2a1+2d 0, a2+a3=2a1+3dv 2d, dv 0 时，结论成立，即 B 不正确； an是等差数列，0 a1剤彳，二玄2呂円，即卩 若 a1 0,则（a2- a1） （a2- a3） = - d 0, a3= 3,【答案】2n-9【解析】法一：C正确;3234=5，贝U an =令数列an的首项为31，公差为d，则a3 a1a2 ?a42d(d d)(q(

4、d0)即3d)3 a1 2d5 (a1 d)(a1 3d)(d 0)例 2（2015【思路点拨】利用中位数性质建立关系式【答案】5【解析】设该等差数列的首项为由题意和等差数列的性质可得解得：a=5【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。 举一反三：【变式】（2015北京高考）设an是等差数列，下列结论中正确的是（A .若 a1+a2 0,贝U a2+a30B .若 a1+a3v 0，贝U a1+a2v 0C.若 0V aK a2,则 a2越話; D .若 aK 0,则（a2 - a1） （a2- a3） 0解之有:ana1法-二:a2a3(n d1)

5、d3 d , a472(n 1)2 n 9.a3 d 3 d由已知得a2a4( 3 d)( 3 d)又 d0,得 d=2所以an【总结升华】举一反三：【变式】若数列a3 (n 3)d3 2(n依条件恰当的选择入手公式,3) 2n 9.性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。an为等差数列，a10 a50100 , a45 a15900 ,且公差 d 0 求 a60 ；1001an为等差数列a10a 50a15a45又T a45a15900-a45、a15是方程x2100x9000 的根a1510, a 1590或15(舍去)a4590a4510ai，公差为d,则【解析】令数列an的首项为a45a

6、1a15a144d14d即9010aiai44d14d解之有:a18238359d130 .类型二：等差数列的判断与证明二 a60a1【高清课堂：等差数列382420典型例题三】例4.设Sn为数列an的前n项和，且Sn n(a an).求证：数列an为等差数列.【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中 已知条件是关于数列前 n项和的，所以应该从前 n项和的思路着手考虑。n(a1 an)如 C(n 1)(ai an 1)斤钿，所以证明:由Snan 1Sn 1Sn2得S-(n 1)(a1an 1)2n(a1 an)2整理得(n 1)annana1，又

7、得(n 2)an (n 1总 1 a/n 1)相减并整理得：an 1an 1 2an(n 2)所以数列an是个等差数列【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有(1)(2)(3)(4)疋乂法:a n+1-an=d(常数)(n N)an是等差数列；中项公式法:2a n+1=an+an+2(n N) an是等差数列； 通项公式法:a n=kn+b(k、b是常数)(n N)a n是等差数列；前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n N)a n是等差数列.a n是等差举一反三：【变式】已知数列an , an N ,【答案】an+1 = S n+1 Sn1 /8(an 1Sn =1(an2)2 1(an2)2，求证：an是等差数列;2)2,二 8an+i = (an 12)2(an2)2,- (an 12)2 (an2)2(an 1 an)(an 1an4)0 ,-an N，an 1an-an 1 an 40,即an 1 an2数列an是等差数列.例5.设an是等差数列，证明以bn=a1a2a(n N)为通项公式的数列bn是等差数列.n【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首 要考虑。证法一：设等差数列a n的公差是d(常数),当n 2时，bn bn1= 至-nana1a2an 1n 1n(aian