《金融工程》作业一、二、三

1、精选文档 作业一 1 、一只股票现在价格是 100 元。有连续两个时间步， 每个步长 6 个月，每个单步二叉树预期 上涨 10%，或下跌 10%，无风险利率 8%（连续复利），运用无套利原则求执行价格为 100 元的看涨期权的价值。 2、假设市场上股票价格 S=20 元，执行价格 X=18 元， r=10%,T=1 年。如果市场报价欧式看 涨期权的价格是 3 元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？ 3、股票当前的价格是 100元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是 3 元和 7 元。如果买入看涨期权、卖出看跌期权，再购入到期日价值为 100 的无风险债券， 则我们

2、就复制了该股票的价值特征（可以叫做合成股票） 。试问无风险债券的投资成本是 多少？如果偏离了这个价格，市场会发生怎样的套利行为？ 作业解答： 1、按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08所以 p=( e。0旷0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041o 这里 p 是风险 中性概率。期权的价值是： (0. 70412 21+2 0.7041 区.2959 j0+0.295S2X) e-0.08=9.61。 2、本题中看涨期权的价值应该是 S-Xe-rT=20-18e-.1=3.71。显然题中的期权价格小于此数，会 引发套利活动。套利者可以购买看涨期权并卖空股票，现金流是 20

3、-3=17。 17 以1 0%投资一 年，成为17 e0.1=18.79o到期后如果股票价格高于18,套利者以18元的价格执行期权，并 将股票的空头平仓，则可获利 18.79-18=0.79元。若股票价格低于 18 元（比如 17 元），套利 者可以购买股票并将股票空头平仓，盈利是 18.79-17=1.79 元。 3、无风险证券的投资成本因该是 100-7+3=96元，否则，市场就会出现以下套利活动。 第一，若投资成本低于 96元（比如是 93 元），则合成股票的成本只有 97 元（7-3+93）， 相对于股票投资少了 3 元。套利者以 97 元买入合成股票， 以 100元卖空标的股票， 获

4、得无风 险收益 3 元。 第二，若投资成本高于 96元（比如是 98元），则合成股票的成本是 102 元，高于股票投 资成本 2 元。套利者可以买入股票同时卖出合成股票，可以带来 2 元的无风险利润。 作业二: 1. A公司和B公司如果要在金融市场上借入 5年期本金为2000万美元的贷款，需支付 的年利率分别为: 固定利率 浮动利率 A公司 12.0% LIBOR+0.1% B公司 13.4% LIBOR+0.6% A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换, 其中银行作为中介获得的报酬是 0.1%的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。 2. X公司希望以

5、固定利率借入美元，而丫公司希望以固定利率借入日元，而且本金用 即期汇率计算价值很接近。市场对这两个公司的报价如下: 日元 美元 X公司 5.0% 9.6% 丫公司 6.5% 10.0% 请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求互换对双方具有 同样的吸引力，汇率风险由银行承担。 3. 一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。这笔互换规定以6个月的LIBOR 利率交换12%的年利率（每半年计一次复利）。市场上对交换6个月的LIBOR利率的所有期 限的利率的平均报价为10%（连续复利）。两个月前6个月的LIBOR利率为9.6%。请问上 述互换对支付浮动利率的那一方价值

6、为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少? 作业答案: 1. A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是浮动利率贷款。 而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势， 但A公司想借的是固定利率贷款。这为 互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在固定利率贷款上的年利差是 1.4%，在浮动利率贷 款上的年利差是0.5。如果双方合作，互换交易每年的总收益将是1.4% 0.5%=0.9%。因为 银行要获得0.1%的报酬，所以A公司和B公司每人将获得0.4%的收益。这意味着A公司和 B公司将分别以LIBOR 0.3%和13%的利率借入贷款。合适的协议安排如图所示。 12.3%12.4%

7、A - 12%* 金融中 R LIBOR+0.6% LIBOR LIBOR 2. X公司在日元市场上有比较优势但想借入美元，丫公司在美元市场上有比较优势但想 借入日元。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在日元贷款上的利差为1.5%，在美 元贷款上的利差为0.4%，因此双方在互换合作中的年总收益为 1.5% 0.4%=1.1%。因为银行 要求收取0.5%的中介费，这样X公司和丫公司将分别获得0.3%的合作收益。互换后X公司 实际上以9.6% 0.3%=9.3%的利率借入美元，而丫实际上以6.5% 0.3%=6.2%借入日元。合 适的协议安排如图所示。所有的汇率风险由银行承担。 日元5% 日

8、元 6.2% 日元5% 美元10% 美元 9.3% 美元10% 3.根据题目提供的条件可知，LIBOR的收益率曲线的期限结构是平的， 都是10% （半年 计一次复利）。互换合约中隐含的固定利率债券的价值为 6e 0.3333 0.1 106 e 0.8333 0.1103.33 百万美元 互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为 100 4.8 e 0.3333 0.1101.36 百万美元 因此，互换对支付浮动利率的一方的价值为103.33 101.36 1.97百万美元，对支付固定 利率的一方的价值为1.97百万美元。 加元5% A=；厂 加元6.25% 加元5% 金融中介二匚 美元 LIBO

9、R+1% 美元 LIBOR+0.25% 美元 LIBOR+1% 本金的支付方向在互换开始时与箭头指示相反，在互换终止时与箭头指示相同。 金融中介在此期间承担了外汇风险，但可以用外汇远期合约抵补。 作业三: 1.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%年波动率30% 该股票当天收盘价为50元，求：第二天收盘时的预期价格，第二天收盘时股价的标准差, 在量信度为95%青况下，该股票第二天收盘时的价格范围。 2 .某股票市价为70元，年波动率为32%该股票预计3个月和6个月后将分别支付1 元股息，市场无风险利率为10%现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为 65元，有效 期8个月

10、。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。 3.某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连 续复利无风险年利率为 8%请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少? 习题答案: 1、由于工-(t, S 在本题中，S= 50, =0.16,=0.30, t=1/365=0.00274.因此, S/50(0.16 0.00274,0.30.002740.5) =(0.0004,0.0157) S (0.022,0.785) 因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95%的置信水平上第2天 股价会落在

11、50.022-1.960.785 至 50.022+1.96 0.785,即48.48元至51.56元之间。 2、D1=D2=1,t 1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65 r(T t2) X1 e X1 e r(t2 t1) 65(1 65(1 0.1 e e 0.1 0.1667) 1.07 0.25) 1.60 可见, D2 D1 X1 er(T t2) X1 er(t2 t1) 显然，该美式期权是不应提早执行的。 红利的现值为: 0.25 0.10.50 0.1. ee1.9265 该期权可以用欧式期权定价公式定价: S= 70- 1.9265 = 68.0735，X 65, T=0.6667,r=0.1, c = 0.32 6 di In(68.0735 /65)(0.10.322/2) 0.6667 0.32 70.6667 d2d1 0.32 70.6667 0.3013 N(d 1)=0.7131,N(d 2)=0.6184 因此，看涨期权价格为: 68.0735 0.713165 e 0.1 0.6667 0.618410.94 3、构造一个组合，由一份该看涨期权空头和股股票构成。如果股票价格升到 42元，该组 合价值就是42 -3。如果股票价格跌到38 A元，该组合价值就等于3