初三数学第七章导学案

1、邳州市邹庄中学2009-2010学年度第一学期初三数学电子备课第七章导学案课题：7.1正切 学习目标1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。2、了解计算一个锐角的正切值的方法。学习重点与难点 计算一个锐角的正切值的方法学习过程一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1） 图（2）点拨可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图 的台阶更陡，理由 二、探索活动1、思考与探索一：除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？ 可通过测量bc与ac的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜

2、程度。（思考：bc与ac长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答：_.讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答：_.2、思考与探索二：（1）如图，一般地，如果锐角a的大小已确定，我们可以作出无数个相似的rtab1c1，rtab2c2，rtab3c3，那么有：rtab1c1_根据相似三角形的性质，得：_a对边bc对边ab斜边c（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_。ac1c2ac3b1b2b33、正切的定义如图，在rtabc中，c90，a、b分别是a的对边和邻边。我们将a的对边a与邻边b的比叫做a_，记作_。即：tana_（你能写

3、出b的正切表达式吗？）试试看.4、牛刀小试bca1根据下列图中所给条件分别求出下列图中a、b的正切值。bac35a2c1b（通过上述计算，你有什么发现？_.）5、思考与探索三：怎样计算任意一个锐角的正切值呢？（1）例如，根据书本p39图75，我们可以这样来确定tan65的近似值：当一个点从点o出发沿着65线移动到点p时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。于是可知，tan65的近似值为2.14。（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。tan1020304555652.14（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。（4）思考：当锐角

4、越来越大时，的正切值有什么变化？_.三、随堂练习1、在rtabc中，c90，ac1，ab3，则tana_，tanb_。abacbadcbaecba2、如图，在正方形abcd中，点e为ad的中点,连结eb，设eba，则tan_。四、请你说说本节课有哪些收获？五、作业p40 习题7 .1 1、2六、拓宽与提高1、如图是一个梯形大坝的横断面，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡的倾斜程度更大一些？1.2m2.5m1m(单位：米)2、在直角坐标系中，abc的三个顶点的坐标分别为a（4,1），b（1，3），c（4,3），试求tanb的值。课题：7.2正弦、余弦（一）学习目标1、 理解并掌握正弦、余

5、弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。2、 能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。学习重点与难点在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。学习过程一、情景创设20m13m1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？二、探索活动1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值_；它的邻边与斜边的比值_。（根据是_。）2、正弦的定义如图，在rtabc中，c90，我们把锐角a的对边

6、a与斜边c的比叫做a的_，记作_，即：sina_=_.3、余弦的定义如图，在rtabc中，c90,我们把锐角a的邻边b与斜边c的比叫做a的_，记作=_，即：cosa=_=_。（你能写出b的正弦、余弦的表达式吗？）试试看._.4、牛刀小试根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。5、思考与探索怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？（1） 如书p42图78，当小明沿着15的斜坡行走了1个单位长度到p点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin150.26，cos150.97（2）你能根据图形求出

7、sin30、cos30吗？sin75、cos75呢？sin30_，cos30_.sin75_，cos75_.（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。（4）观察与思考：从sin15，sin30，sin75的值，你们得到什么结论？_。从cos15，cos30，cos75的值，你们得到什么结论？_。当锐角越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？_。6、锐角a的正弦、余弦和正切都是a的_。三、随堂练习1、如图，在rtabc中，c90，ac12，bc5，则sina_，cosa_，sinb_，cosb_。2、在rtabc中，c90，ac1，bc，则sina_，

8、cosb=_,cosa=_,sinb=_.3、如图，在rtabc中，c90，bc9a，ac12a，ab15a，tanb=_,cosb=_,sinb=_四、请你谈谈本节课有哪些收获？五、作业 书本p43 1、2六、拓宽和提高已知在abc中，a、b、c分别为a、b、c的对边，且a：b：c5：12：13，试求最小角的三角函数值。课题：7.2正弦、余弦（二）学习目标1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。学习重点与难点 用函数的观点理解正切，正弦、余弦学习过程一、知识回顾1、在rtabc中，c90，分别写出a的三角函数关系式：sina_

9、，cosa=_，tana_。b的三角函数关系式_。2、比较上述中，sina与cosb，cosa与sinb，tana与tanb的表达式，你有什么发现_。3、练习：如图，在rtabc中，c=90,bc=6,ac=8,则sina=_,cosa=_,tana=_。如图，在rtabc中，c=90,bc=2,ac=4,则sinb=_,cosb=_,tanb=_。在rtabc中，b=90，ac=2bc,则sinc=_。如图，在rtabc中，c=90，ab=10,sina=，则bc=_。在rtabc中，c=90,ab=10,sinb=,则ac=_。如图，在rtabc中，b=90，ac=15,sinc=，则ab

10、=_。在rtabc中，c=90，cosa=，ac=12，则ab=_,bc=_。二、例题例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）（参考数据：sin350.5736，cos350.8192,tan350.7002）例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。（1）你能求出木板与地面的夹角吗？（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。（精确到0.1m）（参考数据：sin20.50.3500，cos20.50.939

11、7，tan20.50.3739）三、随堂练习1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40，求滑梯的高度。（精确到0.1m）（参考数据：sin400.6428,cos400.7660，tan400.8391）2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）（参考数据：sin680.9272，cos680.3746，tan682.475）四、本课小结谈谈本课的收获和体会五、课外练习1、已知：如图，在rtabc中，acb90，cdab，垂足为d，cd8cm，ac10cm，求ab，bd的长。2、等腰三角形周长为16，一边

12、长为6，求底角的余弦值。3、在abc中，c90，cosb=,ac10，求abc的周长和斜边ab边上的高。4、在rtabc中，c90，已知cosa，请你求出sina、cosb、tana、tanb的值。5、在abc中，c90，d是bc的中点，且adc50，ad2，求tanb的值。（精确到0.01m）（参考数据：sin500.7660，cos500.6428，tan501.1918）课题：7.3特殊角的三角函数【学习目标】1. 能通过推理得30、45、60角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义.2. 会计算含有30、45、60角的三角函数的值.3. 能根据30、45、60角的三角函数值，说出相应锐

13、角的大小.4. 经历探索30、45、60角的三角函数值的过程，发展同学们的推理能力和计算能力.【学习过程】一、 情景创设同学们已经学习了锐角的三角函数，你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗？二、 探索活动1 活动一.观察与思考你能分别说出30、45、60角的三角函数值吗？2.活动二.根据以上探索完成下列表格三角函数值三角函数304560sincostan三、 典例分析例1：求下列各式的值。（1）2sin30-cos45 （2）sin60cos60（3）sin230+cos230练习：计算.（1）cos45sin30 （2）sin260cos260(3)tan45sin30cos60 (4) 例

14、2.求满足下列条件的锐角:(1) cos= (2)2sin=1 (3)2sin=0 (4)tan1=0练习：1 若sin=,则锐角=_.若2cos=1,则锐角=_.2 若sin=,则锐角=_.若sin=,则锐角=_.3 若a是锐角，且tana=,则cosa=_.4 求满足下列条件的锐角:(1)cos-=0 (2)-tan+=0(3)cos-2=0 (4)tan（+10）=5.已知为锐角,当无意义时,求tan(+15)-tan(-15)的值.五.拓展与延伸1.等腰三角形的一腰长为6,底边长为6,请你判断这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形?2.书本p48 习题7。3 3 课题：7.4

15、由三角函数值求锐角学习目标：会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。学习过程：一、复习回顾1、利用计算器求下列各角的正弦、余弦值（精确到0.01）（1）15 （2）72 （3）5512 （4）22.52、在rtabc中，c90，ac=bc，求：（1）cosa（2）当ab=4时，求bc的长。二、新课学习：1、问题：如图，小明沿斜坡ab行走了13cm。他的相对位置升高了5cm，你能知道这个斜坡的倾斜角a的大小吗？根据已知条件，有：sina= 利用计算器，可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。依次按键为： 结果显示为 ，得a （精确到0.01）2、例题学习：求满足下列条件的锐角a（精

16、确到0.01）；（1） （2）解：（1）依次按键 ，结果显示为 ，得a （2）三、课堂练习：1、求满足下列条件的锐角a（精确到0.01）（1） （2） （3）（2）拓展训练：1、如图，已知秋千吊绳的长度3.5m，求秋千升高1m时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度（精确到0.01）2、已知，如图，ad是abc的高，cd=16，bd=12，c35（精确到0.01）7.5解直角三角形学习目标：使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。学习过程一、问题情景： 如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根2

17、4米处。问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为 ， 1036所以，大树在折断之前的高为36米。二、新课（请阅读）1解直角三角形的定义。任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。2解直角三角形的所需的工具。如图712，在rtabc中，acb90，其余5个元素之间有以下关系：(1)两锐角互余ab (2)三边满足勾股定理a

18、2b2 (3)边与角关系sina ，cosasinb，tana ，cota 。3例题讲解。例1：在rtabc中，c90，c30，a=5，解直角三角形。例2：rtabc中，c90，a=104，b=20.49，求（1）c 的大小（精确到0.01）(2) a、b 的大小。例3：如图713，圆o半径为10，求圆o的内接正五边形abcde的边长（精确到0.1）三、课堂练习：1、已知：在rtabc中，c90，b=2，c = 4，求（1）a ；（2）求b、a2、求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）.四、拓展练习：书本p53 习题7.5 1、2解直角三角形作业（一）1、由下列条件解题：在rta

19、bc中，c=90： （1）已知a=4，b=8，求c （2）已知b=10，b=60，求a，c（3）已知c=20，a=60，求a，b2、已知等腰abc中，ab=ac=13，bc=10，求顶角a的四种三角函数值3、在abc中，c90，求a、b、c边.7.6锐角三角函数的简单应用（1）学习目标：通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。学习过程：一、复习巩固：1、在abc中，c=90，a=45，则bc：ac：ab = 。2、在abc中，c=90。（1）已知a=30，bc=8cm，求ab与ac的长；（2）已知a=60，ac=cm，求ab与bc的长。二、例题学习：例1

20、：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min。小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光，2min后小明离地面的高度是多少（精确到0.1m）？分析：如图，小明开始在车厢点b，经过2min后到了点c，点c离地面的高度就是小明离地面的高度，其实就是da的长度da= ae - 解：拓展延伸：1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三、课堂练习；书本 p55 1 、2四、思考练习如图，东西两炮台a、b相距2000米，同时发现入侵敌舰c，炮台a测得敌舰c在它的南偏东

21、40的方向，炮台b测得敌舰c在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。分析：本题中，已知条件是什么?(ab2000米，cab90 cad50)，那么求ac的长是用“弦”还是用“切”呢?求bc的长呢?显然，ac是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，而求bc的长可以用正切函数，也可以用余切函数。7.6锐角三角函数的简单应用（2）学习目标：进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。学习过程一、给出仰角、俯角的定义 如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右

22、图中的1就是仰角， 2就是俯角。二、例题讲解分析：1、由题目可知道，气球的高度就是cd的长加上小明的眼睛离地面1.6m2、假设cd为h m，bd为x m，在rtadc和rtbdc利用正弦列出两个方程求出例2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为27，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40。若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）解：2、课堂练习：书本p 56 1、23、思考与探索：大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。一艘海轮在该岛的南偏西55方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25方向

23、的另一处。如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？四、拓展训练：1、如图，为了测量电线杆的高度ab，在离电线杆22.7米的c处，用1.20米的测角仪cd测得电线杆顶端b的仰角a22，求电线杆ab的高度。分析：因为abaebe，aecd1.20米，所以只要求出be的长度，问题就得到解决,在bde中,已知deca22.7米，bde22，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢?显然正切或余切都能解决这个问题。2如图，a、b是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，b楼不能到达，由于建筑物密集，在a楼的周围没有开阔地带，为测量b楼的高度，只能充分利用a楼的空间，a楼的各层都可到达且能看见b楼，现仅有测量工具

24、为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。(1)你设计一个测量b楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形。(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算b楼高度的表达式。 分析：如右图，由于楼的各层都能到达，所以a楼的高度可以测量，我们不妨站在a楼的顶层测b楼的顶端的仰角，再测b楼的底端的俯角，这样在rtabd中就可以求出bd的长度，因为aebd，而后rtace中求得ce的长度，这样cd的长度就可以求出7.6锐角三角函数的简单应用（3）学习目标：使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识

25、，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。教学过程一、阅读新知识：如右图所示，斜坡ab和斜坡a1b1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡a1bl的倾斜程度比较大，说明aa。从图形可以看出，即tanaltana。在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。1坡度的概念，坡度与坡角的关系。如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是itanb，显然，坡度越大，坡角越大，坡

26、面就越陡。二、例题讲解。例3如图，水坝的横截面是梯形abcd，迎水坡bc的坡角为30背水坡ad的坡度i（即tan）为1：1.2,坝顶宽dc=2.5m，坝高4.5m 。求（1）背水坡ad的坡角（精确到0. 1）； （2）坝底宽ab的长（精确到0.1m）分析：如图，作出梯形abcd的高ce、df。根据题意，在在rtadf和rtcbe中，可以分别求出af、be的长，从而可求得坝底ab的长。解：拓展与延伸：如果在例题3中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固坝堤，要求坝顶cd加宽0.5m，水坡ad的坡度i（即tan）为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到0

27、.1）三、课堂训练：书本p58 1、2、3四、补充练习：1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32和28，求路基下底的宽。(精确到 0.1米) 分析：四边形abcd是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底abaeefbf，efcd12.51米ae在直角三角形aed中求得，而bf可以在直角三角形bfc中求得，问题得到解决。解：2如图，一段河坝的断面为梯形abcd，试根据图中数据，求出坡角。和坝底宽ad。(ice:ed，单位米，结果保留根号) 四、小结会知道坡度、坡角的概念

28、能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。回顾与思考(1)教学目标通过复习，使学生系统地掌握本章知识。由于本章的概念比较多，需要记忆的知识也比较多，因此，课前应该让学生先看看书本，以求得较高的复习效率。在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题。教学过程一、知识回顾（填空）1应用相似测量物体的高度(1)如图(一)，利用光线的平行和物体在地面的投影和物体构成的两个直角三角形相似，从而求得物体的高度。(2)如图(二)，我们可以利用测角仪测出ecb的度数，用皮尺量出ce的长度，而后按一定的比例尺

29、(例如1:500)画出图形，进而求出物体的高度。2锐角三角函数。(如图三)(1)定义：sina ，cosa ， ，cota（余切） 。(2)若a是锐角，则0sinal，0cosa1，tinacota1，sin2acos2a1，你知道这是为什么吗?(3)特殊角的三角函数值。asinacosatanacota304560同学们在记忆这些三角函数值时，一方面能由角度求出它的各个三角函数值，另一方面，要能由三角函数值求出相应的角度。(4)熟练应用计算器求出锐角三角函数值。(5)正弦、正切值是随着角度的增大而 ，余弦是随着角度的增大而 (6)一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角

30、的正弦值。正切、余切也一样。二、例题讲解例1rtabc中，c90，b60，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积。例2如图，acbc，cosadc，b30ad10，求 bd的长。 三、练习1rtabc中，c90，a30，a、b、c所对的边为a、b、c，则a：b：c( )a1:2:3 b1: : c1: :2 d1:2: 2在abc中，c90，ac2.1cm，bc2.8cm。求:(1)abc的面积； (2)斜边的长；(3)高cd. 3rtabc中，c90，ac8，a的平分线ad，求b的度数以及边bc、ab的长。四、小结本节课我们系统地复习了三角函数的定义、勾股定理等内容，同学们在理解、记忆知识的基础上，应做到灵活地运用这些知识解决问题，这就要求同学们在课后要做一定量的练习才能达到。五、作业 书本p 61 6 、7、8 （做在作业本