第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形

1、为3，则c_.第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形一、填空题1(2017哈尔滨模拟在abc中，ab3，ac1，30，abc的面积213解析法一abc2abacsina2，即31sina，sina1，由a(0，180)，a90，法二由正弦定理，得sinbsinc1sincacab23sinc3，又c(0，180)，c60或c120.3(舍去)而当c60时，a90，符合条件，故c60.1322c60.，即，2当c120时，a30，3abc423abc2答案60，a2，b，在abc中，角a，b，c对应的边分别为a，b，c，若a22333解析a2，a2，b，由正弦定理aba222a2，b.则b_.233

2、3sinasinb可得，233b31sinbsina.36答案63(2017海门中学月考)如图所示，已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于akm，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与b的距离为_km.得ab2ac2bc22acbccosacba2a22aa3a2，解22c22c2cc2acc2bc2b2解析由题图可知，acb120，由余弦定理，12得ab3a(km)答案3abac4(2017盐城诊断在abc中，cos2(a，b，c分别为角a，b，c的对边，则abc的形状为_bac解析因为cos2，baca所以2cos211，所以cosb，a2c2b2a所

3、以，所以c2a2b2.所以abc为直角三角形答案直角三角形5(2016山东卷改编在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sina)，则a_.b2c2a22b2a2解析在abc中，由bc，得cosa，又a22b2(1sina)，所以cosasina，即tana1，又知a(0，)，所以a.cosc，3sina2sinb，则c_.故cab2abcosc4922316，所以c4.可得(3c)2b2c22bc，c答案则a2c，由余弦定理可得cosa.答案248(2016北京卷)在abc中，a2b，a3c，则_.将a2，a3c代入，cc446(2017南京、盐城模拟在abc

4、中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a2c2b，sinb2sinc，则cosa_.解析由sinb2sinc结合正弦定理可得b2c，又a2c2b，b2c2a22c2c22c222bc22c2447(2015重庆卷)设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a2，14解析由3sina2sinb及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，1222答案43c解析在abc中，a2b2c22bccosa，312整理得2c2b2bc.c0，等式两边同时除以c2，bb得22，b可解得1.答案19(2016江苏卷)在abc中，ac6，cosb，c.(2)cosa的值解(1)由cosb，b(0，)

5、，则sinb1cos2b，二、解答题454(1)求ab的长；645354sinb又c，ac6，由正弦定理，得4acabsin，(2)由(1)得：sinb，cosb，sinccosc，6ab即ab52.3252342552则sinasin(bc)sinbcosccosbsinc7210，cosacos(bc)(cosbcoscsinbsinc)，则cosacosacossinasin.21067266620abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知abcosccsinb.(1)求b；(2)若b，求abc面积的最大值解(1)由已知及正弦定理得sinasinbcoscsincsinb，又a(

6、bc)，故sinasin(bc)sinbcosccosbsinc由和c(0，)得sinbcosb.又b(0，)，b4.(2)abc的面积sacsinbac.41224由已知及余弦定理得4a2c22accos.4又a2c22ac，故ac22，当且仅当ac时，等号成立b6，2cosc，则c_.解析acosbbcosa2cosc，由正弦定理，c，由于0c，sinc0，cosc，c，因此abc面积的最大值为21.在abc中，三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若23，aabcacosbbcosacc得sinacosbcosasinb2sinccosc，sin(ab)sinc2sinccos12

7、3sabc23absinc24b413a2，ab，ab8，又ab6，或b2，a4，c2a2b22abcosc416812，c23.答案2312(2016江苏卷)在锐角三角形abc中，若sina2sinbsinc，则tanatanbtanc的最小值是_解析在abc中，abc，sinasin(bc)sin(bc)，由已知，sina2sinbsinc，sin(bc)2sinbsinc.sinbcosccosbsinc2sinbsinc，a，b，c全为锐角，两边同时除以cosbcosc得：又tanatan(bc)tanbtanc.tanbtanc2tanbtanc.1tanbtanctanbtanc1

8、tana(tanbtanc1)tanbtanc.则tanatanbtanctanatanbtanc，tanatanbtanctanatanbtanctana2tanbtanc22tanatanbtanc，tanatanbtanc22，tanatanbtanc8.答案813(2017呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是_km2.解析如图，连接ac，由余弦定理可知acab2bc22abbccosb3，故acb90，cab30，dacdca15，adc150，sinadcsindca，即adacsindcaadsinadc12ac3624326，213(km2)四边形abcdabcadc22224故s11326163答案634整理得sinbsinc.所以sin2a.14(2017苏北四市调研在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知cos(bc)1cosa，且b，a，c成等比数列(1)求sinbsinc的值；(2)求a；(3)求tanbtanc的值解(1)因为abc，所以a(bc)由cos(bc)1cosa，得cos(bc)1cos(bc)，12(2)因为b，a，c成等比数列，所以a2bc，由正弦定理得sin2asinbsinc，12因为a