全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角 之间的相等1. 等腰三角形“三线合一”法： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线 合一”的性质解题2. 倍长中线： 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法： 有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可 以从角

2、一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计 算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等 三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法： 遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形 , 常计算边的长度与角的度数， 这样可以得到在数值上相等的二 条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二 个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性

3、质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”法 构造全等三角形 2) 遇到三角形的中线， 倍长中线， 使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”法 构造全等三角形 3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， (1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相 交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置 上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4）过图形上

4、某一点作特定的平分线， 构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5 AC=3则中线AD

5、的取值范围是 例2、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上, DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.例3、如图， ABC中，BD=DC=A, E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.应用：1、（ 09崇文二模）以 ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰Rt ACE , BAD 二 CAE =90,连接 de , M、N 分别是 BC、DE 的中点.探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系.（1） 如图 当 ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ,线段AM与DE的数量关系是 ;（2）将图中的等腰RL ABD绕点A沿逆时针方向旋转 二（0八

6、90）后，如图所示，（1） 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.C、截长补短1 如图， MBC 中，AB=2AC AD平分 N BAC，且 AD=BD 求证：CDL AC2、如图,CAD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,求证;AB = AD+BC03、如图，已知在 L ABC 内，.BAC =60 , - C =40 , P, Q分别在 BC, CA上,并且 AP,4、Q求证：ZA LC =1805、如图在 ABC中，AB AC / 1 = / 2, P 为 AD上任意一点，求证；AB-AC PB-PC EBC周长记为PB.求证FB PA.NBDC应用

7、: 如亂在B边形ABCD中tADBCt点E是朋上一个动点若H -砂,AB = BCt R 0腦斗60暮判断AD h 4 J j BC的关系并证圈你的结论解;、平移变换例1 AD为厶ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MN上一点， ABC周长记为PA ,例2如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1如图，已知在厶 ABC中，/ B=60,A ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：0E=0D2、如图， ABC中，AD平分/ BACDGL BC且平分 BC, DEI AB于 E,DF丄 AC于 F.(1)说明BE=CF的

8、理由；(2)如果AB=a , AC=b，求AE、BE的长.BDF应用：1如图，0P是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1) 如图，在厶ABC中，/ ACB是直角，/ B=60 , AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2) 如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你N五、旋转例1正方形ABCD中, E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF 求/ EAF 的度数.例2 D为等腰Rt A

9、BC斜边AB的中点,DML DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。BAECFA(1)当乙MDN绕点D转动时，求证 DE=DF (2) 若AB=2求四边形DECF勺面积。例3如图，.SBC是边长为3的等边三角形, BDC是等腰三角形，且.BDC =120,以D为顶点做一个60角,使其两边分别交AB于点M交AC于点N,连接MN则AAMN的周长为应用:1、已知四边形ABCD中，AB_ AD, BC _ CD ,AB = BC , Z ABC =120：,Z MBN 60 , Z MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD, DC （或它们的延长线）于 E, F .当Z MBN绕B点旋转到当Z M

10、BN绕B点旋转到 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 你的猜想，不需证明.AE =CF时（如图AE =CF时，在图AE,AE CF = EF .1）,易证3这两种情况下，上述结论是否成EF又有怎样的数量关系？请写出2和图CF ,（图1）（图2）-lC（图3）2、(西城09年一模)已知:PA= 2 ,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在 直线AB的两侧.(1) 如图,当/ APB=45时,求AB及PD的长；(2) 当/ APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/ APB的大小.3、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N , D为L ABC外

11、一点，且.MDN =60 BDC =120 ,BD=DC.探究：当 M、N分别在直线 AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图1图2图3(I) 如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN 时，BM、NC、MN之间的数量关系是;此时Q =；(II) 如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM = DN时，猜想(I)问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III ) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN= x，贝U Q= (用X、L表示).、倍长中线（线段）造全等参考答案与提示例1、（“希望杯”试题）已知，如图

12、 ABC中，AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是 解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是 1AD4例2、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上, DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小.解：（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法 ）延长FD至G使FG= 2EF,连BQ EE显然BG= FC,在厶EFG中，注意到DEI DF,由等腰三角形的三线合一知FEG= EF在厶BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故：EF AC, Z 1 = Z 2, P 为 AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PC解：

13、（补短法）延长 AC至F,使AF= AB连PD ABP AFP （ SAS故 BP= PF由三角形性质知PA PC= PF PC PA.,宀 解：（镜面反射法）延长 BA至F,使AF= AC,连FEABC的角平分线，MN丄AD知/ FAE=Z CAE故有 FAEA CAE( SAS故 EF= CE在厶 BEF 中有：BE+EFBF=BA+AF=BA+AC从而 Pb二BE+CE+BCBF+BC二BA+ACPBC二例2如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE求证：AB+AOAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.ABE BD=CE, DM=EM, D

14、MN EMA(SAS), DN=AE,同理BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,贝U BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE 。四、借助角平分线造全等AC1 如图，已知在厶 ABC中，/ B=60A ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：0E=0DDC+AE =AC证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）/ B=60 则/ BAC+ / BCA=120 度；AD,CE均为角平分线，贝U/ 0AC+ / OCA=60 度=Z A0E= / COD;/ AOC=120 度.B在AC上截

15、取线段AF=AE,连接OF.又 AO=AO; / OAE= / OAF .则/ OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/ AOF= / AOE=60 度.贝U/ COF= / AOC- / AOF=60 度=/ COD; 又 CO=CO; / OCD= / OCF.故/ OCD 也 A OCF(SAS), OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC,DEI AB于 E,DF丄 AC于 F.F（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b，求AE、BE的长.解：（垂直平分线联结线段两端

16、）连接BD, DCDG垂直平分BC,故BD= DC由于AD平分/ BAC DE丄AB于E, DF丄AC于F,故有ED= DF故 RT DBE RT DFC （ HL）故有BE= CFoAB+AC= 2AEAE=( a+b) /2BE=(a-b)/2应用：1如图，0P是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1) 如图，在厶ABC中，/ ACB是直角，/ B=60 , AD、CE分别是/ BAC、/ BCA 的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2) 如图，在 ABC中，如果

17、/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你(第23题图)五、旋转BE+DF=EF 求/ EAF 的度数.例1正方形ABCD中, E为BC上的一点，F为CD上的一点,证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG贝U GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+ / DAF又/ EAF+ / BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 (1)当.MDN

18、绕点D转动时，求证 DE=DF(2)若AB=2,求四边形DECF勺面积。M /f解：（计算数值法）（1）连接DCND为等腰Rt.lABC斜边AB的中点，故有 CD AB, CD- DACD平分/ BCA = 90,/ ECD = Z DCA = 45由于 DML DN 有/ EDN= 90 由于 CD丄AB,有/ CDA = 90从而/ CDE=/ FDA =故有 CDEA ADF （ASA故有DE=DF（2） Saabc=2, S 四 dec= S aaceFI例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且.BDC =120,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交 AB于点

19、M,交AC于点N,连接MN则也AMN的周长为;F解：（图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交 于点F，在线段 CF上取点E,使CE = BM/ ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且/BDC=120,/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30 =90 ,/ DCE=180 - / ACD=180 - / ABD=90 ,又 BM=CE , BD=CD , CDE BDM ,/ CDE= / BDM , DE=DM ,/ NDE= / NDC+ / CDE= / NDC+ / BDM= / BDC- / MDN=12 -60 =60 , 在 DMN和厶DEN中，DM=DE/ MDN= / EDN=60DN=DN DMN DEN , MN=NE在 DMA和厶DEF中,DM=DE/ MDA=60 - / MDB=60 - / CDE=/ EDF（/ CDE= / BDM）/ DAM= / DFE=30 DMN DEN （AAS）, MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用:AD， DC （或它们的延长