考点十七三角函数的图象和性质

1、玩转数学优秀之路安老师课堂三角函数的图象和性质知识梳理1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y sin xy cos xy tan x图象定义域值域单调性最值奇偶性对称中心对称轴方程周期R1，1 2k， 222k (k Z )上递增；3 2k，222k (k Z )上递减x2 2k(k Z )时，ymax 1；x 2 2k(k Z )时， ymin 1奇函数(k， 0)(k Z)x k2(k Z)2R 1， 1 2k， 2k (k Z )上递增；2k， 2k(k Z )上递减x 2k(k Z )时，ymax 1；x 2k(k Z )时，ymin 1偶函数( 2k， 0)(k Z )x

2、 k(k Z )2 x|x R 且 x 2k， kZ R( 2 k， 2 k)(k Z)上递增奇函数k( 2 ，0)( k Z )2 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x 0， 2的图象中，五个关键点是：玩转数学优秀之路安老师课堂， ( ， 0)，3， 0)(0， 0)， ( ， 1)( ， 1)， (222余弦函数 ycos x， x 0， 2的图象中，五个关键点是：， ( ， 1)3， 1)(0， 1)， ( ， 0)，( ， 0)， (2223. 三角函数的周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期均为2k， k Z ，最小正周期均为 2；正切函数也是周期函数，周期

3、为k， k Z ，最小正周期为典例剖析题型一三角函数的定义域和值域例 1函数 ycos x 3的定义域为 ()2A. B.(k Z)C.2k(k Z )D R ，6k ，k6， 2k6666答案C33解析 cos x 2 0，得 cos x2 ，2k6 x2k6，k Z.变式训练函数 y sin x cos x的定义域为 _.5答案x|2k 4 x2k 4 ， k Z解析要使函数有意义，必须有sin xcos x 0，即 sin x cos x，同一坐标系中作出y sin x， y cos x， x 0， 2 的图象如图所示5结合图象及正、余弦函数的周期是2 知，函数的定义域为x|2k4x2k

4、4 ， k Z .例 2(1)2函数 y 2sinx x 的值域是 _ 63(2) 函数 f(x) sin 2x 在区间0，上的最小值为 ()4222A 1B 2C. 2D 0答案(1)1，2(2) B解析(1)根据正弦函数图象，可知x 时，函数取到最小值1； x 时，函数取到最大值622.玩转数学优秀之路安老师课堂(2) x 3 30， 2x ，令 y 2x ，则 sin 2x4 sin y 在 y ，上2444444 2的最小值为 sin 4 2 .变式训练求函数 y cos2x sin x|x| 的最大值与最小值42，2解析 令 t sin x， |x| ， t422 .y t2 t 1

5、 t 1 2 5，24当 t 1时， ymax 5，当 t2时， ymin 1 2.2422函数 y cos2x的最大值为 5，最小值为 1 2x sin x | | 442.解题要点1 三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2 三角函数值域的不同求法(1) 利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；(2) 把所给的三角函数式变换成y Asin( x )的形式求值域；(3) 把 sin x 或 cos x 看作一个整体，通过换元，令t sin x( 或 t cos x)，转换成二次函数求值域；(4) 利用 sin xc

6、os x 和 sin xcos x 的关系通过换元，令t=sin x+cos x,转换成二次函数求值域题型二三角函数的单调性例 3(1) 函数 y cos4 2x 的单调减区间为 _(2) 函数 f(x) tan 2x 的单调递增区间是 ()3k k 5k k 5A.2，(k Z )B.，12 (k Z )12212212225C.k6，k 3 (k Z )D.k12， k12 (k Z )答案(1)5，k8(k Z )(2) Bk 8解析(1)由 y cos 42x cos 2x4，得 2k2x 4 2k(k Z)，5故 k x k8(k Z )85所以函数的单调减区间为k 8， k8 (k

7、 Z )玩转数学优秀之路安老师课堂k k 5的(2) 由 k 2 x k (k Z ) ，得x0)的单调区间时，要视 “x ”为一个整体，通过解不等式求解但如果0) 的两个相邻零点之间的距离为12A. 3B. 6C. 12D. 24答案C2解析T6， T 12，选 C 项3. 函数 ycosx1的定义域为 ()2玩转数学优秀之路安老师课堂A. B.C. ，3k ， k， kZ2k ， 2k， k ZD R33333答案C11解析 cosx20，得 cosx2， 2k3 x 2k3， k Z .4 y sin(x4)的图象的一个对称中心是()33A ( ， 0)B( 4， 0)C. (2，0)D

8、. (2， 0)答案B解析3令 x k， k Z 得 x k， k Z ，于是 (，0)是 y sin(x)的图象的一个4444对称中心故选B.35函数 f(x)cos(2x 2 )(x R )，下面结论不正确的是()A. 函数 f(x)的最小正周期为B. 函数 f(x) 的对称中心是 ( ， 0)2D. 函数 f( x)是偶函数C. 函数 f(x)的图象关于直线对称x 4答案D解析 f(x) cos(2x322 ) sin2x(xR )，最小正周期T ，选项 A 正确；2kk由 2x k得 x2 ， k Z ，函数f(x)的对称中心为 ( 2， 0)，取 k 1 得选项 B 正确；k由 2x

9、 k 得 x， k Z ，取 k 0 得函数 f(x)的对称轴为x ，选项 C 正确；2244 f(x) sin2x(xR )， f( x) f(x)， f( x)为奇函数，选项 D 不正确课后作业一、 选择题x 1若函数 f(x) sin 3 ( 0,2 )是偶函数，则 ()B. 2C.3D. 5A. 2323答案C解析 f(x)为偶函数，关于y 轴对称， x0为其对称轴x 33 3 2 k，令 x 0， 3k 2，当 k 0 时， 2，选 C 项2如果函数 y 3cos(2x )的图象关于点4， 0 中心对称，那么 |的最小值为 ()3玩转数学优秀之路安老师课堂A.6B.4C.3D. 2答

10、案A42解析由题意得3cos2 3 3cos3 23cos20，23 3 k ， k Z ，2 k6， k Z ，取 k 0，得|的最小值为6.3下列函数中，周期为且在0，上是减函数的是 ()2A y sinxB y cos xC y sin 2xD y cos 2x44答案D2解析因为 y cos 2x 的周期 T2 ，而 2x 0，所以 y cos 2x 在 0，2上为减函数，故选 D.4函数 f(x)tan 2x的单调递增区间是 ()3k k 5k k 5A.212， 2 12 (k Z )B.2 12，2 12 ( k Z)25C.k6，k3 (k Z )D.k12， k12 ( k

11、Z)答案B解析kk5由 k 2x k(k Z )得， x12(k Z )，所以函数 f(x)2322122的单调递增区间为kk5tan 2x3，12(k Z) ，故选 B.21225和 x是函数 f(x) sin(x )图象的两条相邻的对称轴，5已知 0,0 ，直线 x 44则 ()3A.4B.3C. 2D.4答案A解析由题意得周期T 2 51 2，44225） sin5，即 1， f(x) sin(x )， f（）sin 1，f（ 1.4444 0 ， 5， ， .4444246函数 f(x)sin 2x 在区间0， 上的最小值为 ()42玩转数学优秀之路安老师课堂22A 1B 2C. 2D

12、 0答案B 32解析由已知 x0，2 ，得 2x 4 ，2，1 ，44 ，所以 sin 2x4 2故函数 f(x) sin 2x4在区间 0， 2上的最小值为2 .7 (2015 四川文 )下列函数中，最小正周期为的奇函数是 ()A y sin 2xB y cos 2xC y sin 2x cos 2xD y sin x cos x22答案B解析A 项， y sin 2x cos 2x，最小正周期为，且为偶函数，不符合题意；2B 项， ycos sin 2x，最小正周期为 ，且为奇函数，符合题意；2x 2，最小正周期为 ，为非奇非偶函数，不符合题意；C 项， ysin 2 xcos 2x 2s

13、in2x4，最小正周期为2，为非奇非偶函数，不符合题意D 项， y sin xcos x 2sin x48函数 f(x)3sin2x在区间0，上的值域为 ()62A.3， 3B. 3，3C.3 3，3 3D. 3 3，3222222答案B 51解析当 x0， 2时， 2x66，6， sin 2x6 2，1，故 3sin 2x 3， 3 ，623即此时函数f(x)的值域是 ， 3 .二、填空题9函数 y3sin(2 x 4) 的最小正周期为_答案解析T2 .2 10函数 f(x) cos(2x) 3在 ，上的单调递减区间为 _422答案3 ， ，2882玩转数学优秀之路安老师课堂解析由5 得 f

14、(x)2k 2x 2k 得 k x k，kZ .x ， ，取 k048822 在 ，上的单调递减区间为， ；取 k 1 得 f(x)在 ，上的单调递减区间为 ，22822223 3 8 f(x)在 ，2上的单调递减区间为 ，8 和， 228211函数 y sin(x 4)的对称中心为_答案(k 4，0) ，k Z三、解答题12已知函数f(x) 4cosxsin x 4( 0)的最小正周期为.(1) 求 的值；(2) 讨论 f(x)在区间0， 2 上的单调性解析(1)f(x) 4cosxsin x4 2 2sinxcosx 2 2cos2x 2(sin2x cos2x) 22sin 2x4 2.2因为 f( x)的最小正周期为，且 0，从而有 ，故 1.2(2) 由 (1)知， f(x)2sin 2x 4 2. 5若 0 x ，则 2x 4 .244 当 2x ，即0x 时， f(x)单调递增；4428 5当 2x ，即x 时， f(x)单调递减24482 综上可知， f(x)在区间 0， 8上单调递增，在区间，上