第45炼均值不等式

1、第 45 炼 利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设ai0 i1,2, ,n（1）调和平均数：H nn111a1a2an（2）几何平均数：Gnn a1 a2an（3）代数平均数：Ana1a2ann（4）平方平均数：Qna12a22an2n2、均值不等式：H n GnAnQn ，等号成立的条件均为： a1 a2an特别的，当 n 2 时， G2A2abab2即基本不等式3、基本不等式的几个变形：（ 1） a b 2 ab a,b0：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况ab（2） ab22：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（ 3）

2、 a2 b2 2ab ，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 a,b R4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当 x 0, 求yx2 3的最小值。此时若直接使用均值不等式，则yx2 32 4x ，右侧依然含xx有 x ，则无法找到最值。 求和的式子乘积为定值。例如：上式中y x24为了乘积消掉x ，则要将3 拆为两xx个 2 ，则 y x24x22233 x2 2233 4xxxxx

3、x 乘积的式子和为定值，例如03，求 f xx3 2x 的最大值。则考虑变积x2112 x329为和后保证 x 能够消掉， 所以 fxx 32 x 32x2x2 x2822（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。5、常见求最值的题目类型（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子（2）已知 ax by1（ a 为常数），求 mn 的最值，xy此类问题的特点在于已知条

4、件中变量位于分子（或分母） 位置上， 所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。例如：已知 x0, y0,2 x3 y1，求 32的最小值xy解： 32322x3y69 y4x6xyxyxy129 y4x1229y4x24xyxy（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：例如：已知 x0, y0,2 xyxy 4 ，求 2xy 的最小值112xy22x2解： xy2xyy22282x y2所以 2xyxy42 xy482y 4 3 4 ，即 2x y min 4 3

5、 4即 2xy8 2 xy320 ，可解得2x注：此类问题还可以通过消元求解：2xyxy4y42x ，在代入到所求表达式x1求出最值即可，但要注意y0 的范围由 x 承担，所以 x0,2二、典型例题：例 1：设 x1 ，求函数 y( x5)( x2) 的最小值为 _x1思路：考虑将分式进行分离常数，y(x5)( x2)x145 ，使用均值不等式x1x1可得： y 2x1459，等号成立条件为x14x1，所以最小值x 11x为 9答案： 9例 2：已知 x0, y0 ，且 x y11y 的最大值是 _x5 ，则 xy思路：本题观察到所求x y 与 11的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系

6、，xy即2xy114，代入方程中可得：12xyx1yxyx y45xy25 xy40，解得：1xy4，所以最大值xy为 4答案： 4例 3：已知实数 m, n ，若 m0, n0 ，且 mn1，则m2n2的最小值为（）m2n1A.1B.4C.1D.148315思路： 本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。m2n2m2n141，结合分母可将m2n1m2n1条件 mn 1，变形为m2n14 ，进而利用均值不等式求出最值解：m2n2m24 4 n21 14n11m 2 n 1m 2n 1m 2m 2n 1mn341412m2 n1m 2n

7、1mn1m2n1441411m2n1144 n 1m 2m 2 n 1 m 2 n 1 441m 2n 11524 n1m294m2n 14m2n2921 ，即 m2n2的最小值为 1m 2 n 1 44m 2 n 14答案： A例 4：已知正实数x, y 满足 xy2x y4 ，则 xy 的最小值为 _思路：本题所求表达式xy 刚好在条件中有所体现，所以考虑将xy 视为一个整体，将等式中的项往xy 的形式进行构造，xy2xyxyxxyx y1 x y ，而 xy1 可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于xy 的不等式，解不等式即可解： xy 2x y 4xy x x y 4x y

8、1x y 4xy12xy2xy1方程变形为：1xy422xy124x y16x26xy150解得：xy69663y22答案：xy的最小值为 2 63例 5：已知 2ab0，则 a4的最小值为 _b(2 ab)思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为b 2a b，所以可将 a 构造为112abb22a，从而三项使用均值不等式即可2求出最小值：41b)b8133 (2ab)83ab)(2ab(2a b)2bb(2a2b(2ab)思 路 二 ： 观 察 到 表 达 式 中 分 式 的 分 母 b 2a b， 可 想 到 作 和 可 以 消 去 b ， 可 得b 2

9、a bb2 ab2，从而 a4a4，设 f a42ab(2 a2a2 ，可从b)aa函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：f aaa433 aa4322a222a2答案： 3小炼有话说：（ 1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解（ 2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元（ 3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验例 6：设二次函数fxax24xc xR 的值域为0,，则19的最大值c1a

10、 9为_思路：由二次函数的值域可判定a0，且0ac4，从而利用定值化简所求表达式：19a9c18a9c185，则只需确定 a9c 的范c 1a9aca9c9a9c1a139c 13围即可求出19的最值。由均值不等式可得：a9c12 ，进而解出最值c 1a9解：二次函数fxax24xcx R 的值域为0,164ac0ac 4a019a 9 9 c 1a 9c 18a 9c 1815c 1a9c1a9aca9c 9a9c139c13aa9c2 9ac121956c 1112 135a 9答案： 65例 7：已知 x, y, zR ，则xyyz的最大值是 _x2y2z2思路： 本题变量个数较多且不易

11、消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为 xy, yz 均含 y ，故考虑将分母中的 y2 拆分与 x2 , z2 搭配，即xyyzxy yz，而x2y2z211x222z2yy22x21 y22x21 y22xy, z21 y22z2 1 y22 yz ，所以2222xyyz22xy2yz2答案：22小炼有话说：本题在拆分y2 时还有一个细节，因为分子xy, yz 的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中xy, yz 也要相同，从而在拆分y2 的时候要平均地进行拆分（因为x2 , z2 系数也相同） 。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，

12、使之达到消去变量的目的。例 8 ： 已 知 正 实 数 x, y 满 足 x y 3x y， 若 对 任 意 满 足 条 件 的 x, y ， 都 有( x y)2a( xy) 1 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 _思 路： 首 先 对 恒 成 立 不 等 式 可 进 行 参 变 分 离 ， ax y1。进而只需求得xyx y1的最小值。将 xy 视为一个整体，将xy 3 xy 中的 xy 利用均值不等x y式换成 xy ，然后解出 x y 的范围再求最小值即可解： (x y)2a(x y) 1 0a x y1yxxy2x, y0xy2x2x y 3 xyy4 x y 1 222x y解

13、得： xy6 或 xy2 （舍）xy16137（在 xy6时取得）xymin6637a6例 9：已知 xy1, y0, x0 ，则1yx的最小值是 _2 x1思路：观察到所求1x的两项中x 部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘2 xy1积为定值，所以结合第二项的分母变形1的分子。因为x y 1，所以 y1 x2 ，2 x则 11xy1xy1，所以原式2 x2 x24 x4 xxy 1xxy1xx，因为要求得最小值，所以 x04 x4 xy 1 4 x214 x y 1 4 xx时，4 x答案： 34min1 ，故1x最小值为 342 xy 14小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能

14、力，其中两项的x 互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造例 10：已知, ,R,m2n5, mn9,n m ，且 m, n 是常数，又 s 2t 的最小m n s tst值是 1，则 m3n_思路：条件中有mn9 ，且有s 2t1，进而联想到求s 2t 最小值的过程中stmin达到的最值条件与m,n 相关：s2t12tmn12mtsn12n2 2mn ，即sstm2ntm99s91m2n 22mn191m1s2t 的最小值为m2n2 2mn，所以 m2n5，解得，9nmn2所以 m3n7答案： 7三、历年好题精选1、(2016，天津河西一模）

15、如图所示，在ABC 中，ADDB ，点 F 在线段 CD 上，设 ABa ，AC b ， AFxa14的最小值为（）Cyb ，则y1xA.622B.6 3C. 642D.322F2 、（ 2016，南昌二中四月考）已知a,b 都是负实数，则BabAD的最小值是（）a2bab5A.B.221C.221D.2 2 163、（ 2016，重庆万州二中）已知 a, b 为正实数，且 a b2 ，则 a22b212 的最小ab值为 _4、（扬州市 2016 届高三上期末）已知ab 1且 2log a b3log b a7，则 a1的b2 1最小值为 _5、已知正项等比数列an 满足 a7a62a5 ，若

16、存在两项 am, an ，使得am an4a1 ，则14的最小值为（）mn35C.25D. 不存在A.B.6236、设 OA1,2 , OB a, 1 , OCb,0 , a0, b 0，O 为坐标原点。 若 A,B,C 三点共线，则 12 的最小值是 _ab7a, b0,，且 2a b1，则s 2ab 4ab）、已知22 的最大值是（21B. 21C.2121A.D.228、设 x, yR, a 1,b1，若 axb y3,a b23，则11的最大值为xy9、已知 ab ，且 ab1 ，则 a2b2的最小值是ab习题答案：1、答案： D解析： AFxAByAC2 xADyAC ，因为 C,

17、F , D 三点共线，所以2xy1，根据所求表达式构造等式为2xy12，所以有：141142xy112y18x4，由均值不等式可x y 1 2 xy 12xy 1得： y18x2y18x142，所以 1y416423 2 2xy1xyx122、答案： B解析：aba22ab2b21ab11a2baba23ab2b2a23ab2b2a2b3baa, b0ab是正实数b,aa2b2a 2b22babaab111322222a 2b ab2233、答案： 2 23解析： a22b22a2b1112ab2b13ab1aba1121ab1a b 2ab13a22 b2121 211 1 211a b 1

18、abab13ab11212 b1a12 b1a3ab13ab11 22 b1a22ab1334、答案： 3解析： 2log a b372 log a b27log a b30log a b2log a b1loga b30loga b13ab 1或 log a b2loga b1log aab2a2a1a1a1112a11 3b21a1a11a 15、答案： A解析： a7a62a5q2 a5qa52a5q2q2解得： q2 或 q1（舍）aman4a1a1 2m 1 a1 2n 14a12m n 216mn6 m,nN14114m n1 1n 4m4 而 n 4m2 n 4m4m n 6 m n6m nm nm n1493mn62n4m22m2mnn4m下面验证等号成立条件：n 2m 解得：4mn6n所以等号成立，143m的最小值为2n注：本题要注意到m, nN ，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件不满