第49炼等差数列性质

1、第 49 炼 等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列an若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称an 是等差数列，这个常数称为an的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：ana1n 1 d ，此通项公式存在以下几种变形：（ 1） anamnm d ，其中 mn ：已知数列中的某项am 和公差即可求出通项公式（ 2） danam ：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差nm（ 3） nana11：已知首项，末项，公差即可计算出项数d3、等差中项：如果a, b, c 成等差数列，则b 称为 a,c 的等差中项（ 1）等差中项的性质：若b 为 a,c 的等差中项

2、，则有c bba 即 2b ac（ 2）如果 an为等差数列，则n2, nN ， an均为 an 1, an 1 的等差中项（ 3）如果 an为等差数列，则 amanap aqm npq注：一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。比如 mnp qs ，则 amana paq as 不一定成立 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：a4a7 a8a9 20 ，可得a4 a7a8a9a7a7 a7a74a7 20 ，即可得到 a75，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：an a1n1 d d na1d ，所以该通项公式可看作a

3、n 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：d 0 ， an递增； d0， an递减。5、等差数列前 n 项和公式： Sna1ann ，此公式可有以下变形：2（ 1）由 mnp qamanapaq 可得： Snap aqpqn 1 ，作用：n2在求等差数列前n 项和时，不一定必须已知a1 ,an ，只需已知序数和为n1的两项即可- 1 -（ 2）由通项公式ana1a1 a1n 1 dn n1n 1 d 可得： Sn2n a1nd2作用：这个公式也是计算等差数列前n 项和的主流公式 Sa nn n1dd n2a1 d n ，即 Sn 是关于项数n 的二次函数 nN ，n

4、12212且不含常数项，可记为SnAn 2Bn 的形式。从而可将Sn 的变化规律图像化。（ 3）当 n2k1 kN时，S2k 1a1a2k12k 1因为 a1a2 k 12ak2S2k12k1 ak而 ak是 S2 k 1 的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当 n 2k k N 时S2ka1 a2k 2k k ak ak 1 ，即偶数项和与中间两项和的联系26、等差数列前n 项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前n 项和公式入手分析（ 1）从项的特点看最值产生的条件，以4 个等差数列为例：an :1,3,5,7,9,11,bn

5、: 7,5,3,1,1, 3,cn:1, 3, 5, 7, 9,dn :9, 7, 5, 3, 1,1通过观察可得：an 为递增数列，且a10 ，所以所有的项均为正数，前n 项和只有最小值，即 a1 ，同理cn 中的项均为负数，所以前n 项和只有最大值，即c1 。而bn虽然是递减数列，但因为b10 ，所以直到 b51 ，从而前 4 项和最大，同理，dn 的前 5 项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前n 项和的最值会出现在项的符号分界处。22（ 2）从 Sn An2Bn 的角度：通过配方可得 Sn A nBB，要注意 nN ，2A4A则可通过图像判断出Sn 的最值7、由

6、等差数列生成的新等差数列- 2 -（ 1）在等差数列an 中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例如在an :1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,，以 3 为间隔抽出的项1,9,17,25,仍为等差数列。如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距（ 2）已知等差数列an: a1 ,a2 , ,ak ,ak 1, ak 2 , a2 k , a2 k 1, a2 k 2 , a3k , ，设 Ska1 a2ak ，S2kSkak 1ak 2a2k ,S3 kS2k a2k 1a2k 2a3k ,，则相邻 k 项和Sk , S2 kSk , S3kS2k,成等差

7、数列（ 3）已知an , bn 为等差数列，则有： an C 为等差数列，其中 C 为常数 kan 为等差数列，其中 k 为常数 an bn 为等差数列可归纳为anbnm 也为等差数列8、等差数列的判定：设数列an ，其前 n 项和为 Sn（ 1）定义（递推公式）：an 1and（ 2）通项公式： anknm （关于 n 的一次函数或常值函数）（ 3）前 n 项和公式： SnAn2Bn注：若 SnAn 2BnC ，则an 从第二项开始呈现等差关系（ 4）对于n N，2an 1anan 2 ，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项二、典型例题：例 1：设等差数列an 的前 n 项和为 Sn

8、 ，且 S9S4 ， a11,aka50 ，则 k_- 3 -思路：由S9S4 可得： S9S4a5a6a7a8 a95a70 ，即 a7 0。而 a1 1，所以 an不是各项为0 的常数列，考虑2a7a9a50 ，所以 a9a5aka5k9答案： 9小炼有话说：关于等差数列钱前n 项和还有这样两个结论：（ 1）若 SmSnmn，则 Smn0 （本题也可用此结论：S9S4S130，从而利用奇数项和与中间项的关系可得S1313a70 ）（ 2）若 Smn, Snm mn ，则有 Smnm n例 2：已知数列an, bn为等差数列，若a1b17, a3b321 ，则 a5b5_思路：条件与所求都是

9、“anbn ”的形式，由an , bn为等差数列可得anbn也为等差数列，所以a3b3为 a1b1 , a5b5的等差中项，从而可求出a5b5 的值解：an, bn为等差数列anbn也为等差数列2 a3b3a1b1a5b5a5b52 a3b3a1b135答案： 35例 3：设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， S84a3, a72 ，则 a9（）A.6B.4C.2D.2思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于a1, d 的方程，解出 a1 ,d 后即可确定通项公式或者数列中的项解： S84a38a128d4 a12da72a16d28a128d4 a12da

10、110a72d6a16d2da92思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知a7 ，从而联想到 S8可用 a1, a7 表示，即S8a2a78 4 a2a7，所以等式变为： 4a2a74a3a22 a3 ，所以可得2a2a1d2 。 a9a72d6- 4 -答案： A小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为a1 ,d 的二元方程，便可求解。但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而思路一可作为“预备队”使用。例 4：在等差数列an中， a12008，其前 n

11、项和为 Sn ，若 S12S102 ，则 S2008 的值1210等于（）A.2007B.2008C.2007D.2008思路：由 S12S102 观察到 Sn 的特点，所以考虑数列Sn的性质，由等差数列前n 项1210nn和特征 SnAn 2Bn 可得 SnAnB ，从而可判定Sn为等差数列，且可得公差nndSnS1n 1 dn2009 ，所以 Snn n2009，即 S200820081 ，所以1n答案： B例 5：已知an,bn为等差数列，且前n 项和分别为 An , Bn ，若 An7n1 ，则 a11Bn4n27b11_思路：，所求 a11可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是

12、前n 项和的比值。考虑b11利用中间项与前n 项和的关系，有：A21 21a11, B21 21b11，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入n21 即可求值： a1121a11A214b1121b11B213答案： 43小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前n 项和可搭建桥梁： S2 k 12k 1 ak，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。例 6：已知等差数列an 中， a1a2a3 3,a28a29a30165 ，则此数列前30项和等于（）- 5 -A.810B.900C.870D.840思路：求前30 项和，联想到公式 Sna paqn,pq n1 ，则只需

13、 pq31 。由2条件可得：a1a30a2a29a3a283 a1a30168 ，所以 a1a3056 ，所以 Sa1a3030840n2答案： D例 7：已知等差数列 an 中， a1a2a3a410, a13a14a15a1670，则a21a22a23a24 的值为 _思路：条件为相邻4 项和，从而考虑作差能解出数列的公差：a1a2a3a410，a13a14a15a16 70可得：a13a1a14a2a15a3a16a448d60 ，解得 d5 ，考虑4a21a22a23a24a13a14a15a1632 d40 ，所以a21a22a23a2440a13a14a15a16110答案： 11

14、0小炼有话说：本题在解题过程中突出一个“整体”的思想，将每一个四项和都视为整体，同时在等差数列中相邻k 项和的差与公差相关，从而解出公差并求出表达式的值例 8：等差数列an有两项 am ,akmk，满足 am1, ak1 ，则该数列前 mk 项之和km为（）mkB.mkC.mk1mk1A.122D.22思路：可根据已知两项求出公差，进而求出an 的通项公式，再进行求和即可解：am1 ,ak1kmamak111dkmmkmkmkanamnm d1m11nmknkmkSmk112mk11mk1mk2mk2mkmk- 6 -答案： C例 9：在等差数列 an 中， a10，若其前 n 项和为 Sn ，且 S14 S8 ，那么当 Sn 取最大值时， n 的值为（）A. 8B.9C.10D.11思路一：考虑从an 的项出发，由 S14S8 可得 S14S8a9a10a140，可得a11a120a11a12 ，因为 a10 ，所以 a110, a12 0，从而 S11 最大思路二：也可从Sn 的图像出发，由S14S8 可得 Sn 图像中 n11 是对称轴，再由a10 与S14 S8 可判断数列an的公差 d0，所以 Sn 为开口向下的抛物线，所以在n11处 Sn取得最大值答案： D例 10：设首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，满足 S5 S6150