第4讲直接证明与间接证明

1、第 4 讲 直接证明与间接证明学生用书 P2101 直接证明(1)综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：P? Q1 Q1? Q2 Q2? Q3 Qn? Q(其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论)思维过程：由因导果(2)分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等 )为止，这种证明方法叫做分析法框图表示：Q?P1 P1?P2 P2?P3 得到一个明显

2、成立的条件(其中 Q 表示要证明的结论)思维过程：执果索因2 间接证明(1)反证法：一般地，假设原命题不成立( 即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法(2)用反证法证明命题“若p，则 q”的过程可以用框图表示为肯定条件否定结论p， q推出逻辑矛盾“若 p，则非 q”为假若“ p，则q”为真判断正误 (正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设 “ab” ()(4)反证法是指将结论和条件同时

3、否定，推出矛盾()(5) 在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式27 36最合适的方法是分析法()答案： (1)(2) (3) (4)(5)(6) 要证 a2 b2 1a2b2 0，只要证明 ()a4 b4A 2ab 1a2b2 0B.a2 b2 1 a2 0C.（ a b） 2D (a2 1)(b21) 021 a2b2 0解析： 选 D . a2 b2 1 a2b2 0?(a2 1)(b2 1) 0.若 a， b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是()2222A ac abb1 1baC. ab解析： 选 B . a2 ab

4、 a(a b)，所以 ab0，所以 a b0 ，所以 a2ab. 又 ab b2 b(a b)0，所以 abb2，由得 a2abb2.用反证法证明命题：“设a，b 为实数，则方程x3 ax b 0 至少有一个实根”时，要做的假设是 ()A 方程 x3 axb 0 没有实根B方程 x3 axb 0 至多有一个实根C方程 x3 axb 0 至多有两个实根D方程 x3 axb 0 恰好有两个实根解析： 选 A . 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程 x3 ax b 0 至少有一个实根的反面是方程x3ax b 0 没有实根， 故应选 A .( 教材习题改编 ) 若

5、2，3， x成等比数列，则3log x _2( 3)22 xx3x9y3y93解析：由题意得2，所以2. 设，即 2 22，所以2，所以y2，即2 .答案： 2( 教材习题改编 ) 在 ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别为 a，b， c，且 A， B，C 成等差数列， a，b， c 成等比数列，则ABC 的形状为 _解析： 由题意2BA C，又 A B C，所以22B ，又 b ac，由余弦定理得b3a2 c2 2accos B a2 c2 ac，所以 a2 c2 2ac 0，即 (a c)2 0，所以 a c，所以 A C，所以 A BC ，所以 ABC 为等边三角形3答案： 等

6、边三角形综合法的应用 学生用书P210 典例引领 an数列 an 满足 an 1 2an 1， a1 1.(1)证明：数列1是等差数列；an(2)求数列1的前 n 项和 Sn，并证明11 1n .anSSSn 112n(1) 证明：因为 an 1an【解】2an1，所以 1 2an 1，an 1an化简得1 2 1，an 1an即 1 12，an1 an1故数列an 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列(2)由 (1) 知 1 2n 1，an所以 Snn（ 1 2n1） n2.2法一 ：11 111111 1 1111S222212n（n 1）23S1Sn12 n2 32 1 1 11 n

7、 .n n1n 1n 1111111法二：S1S2 Sn12 22 n21，又因为 1n ，n 1所以 11 1n .S1S2Snn 1综合法证题的思路分析条件选择方向分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法转化条件组织过程把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化适当调整回顾反思回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取 通关练习 在 ABC 中，设 a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，且直线bxycos Acos B 0与 ax ycos Bcos A 0 平行

8、，求证： ABC 是直角三角形证明：法一 ：由两直线平行可知bcos B acos A 0，由正弦定理可知sin Bcos B sin Acos11A 0，即 sin 2 B sin 2A0，故 2A 2B 或 2A 2B ，即 A B 或 A B . 若 A B，则222a b， cos A cos B，两直线重合，不符合题意，故，AB2即 ABC 是直角三角形法二： 由两直线平行可知bcos B acos A 0，22a222b2b ca c，由余弦定理，得 a2bc b2ac所以 a2(b2 c2 a2) b2(a2 c2 b2)，所以 c2(a2 b2) (a2 b2)( a2 b2)

9、，22222所以 (a b )(a b c ) 0，所以 a b 或 a2 b2 c2.若 ab，则两直线重合，不符合题意，故 a2 b2 c2，即 ABC 是直角三角形分析法的应用 学生用书 P211 典例引领 已知函数f(x) tan x，x0，若 x1， x2 0，且 x1 x2，求证：11222f(x )f(x2) fx1 x2.2【证明】1x1 x2，要证 f(x1) f(x2) f22即证明 1(tan x1 tan x2)tanx1 x2，221 sin x1sin x2x1 x2只需证明cos x2tan2，2 cos x1sin（ x1 x2 ）sin（ x1 x2 ）只需证

10、明2cos x1cos x2 1 x2）.1 cos（ x由于 x1， x2 0， 2 ，故 x1 x2 (0， )，所以 cos x1cos x20， sin(x1 x2)0，1 cos(x1 x2)0 ，故只需证明1 cos(x1 x2)2cos x1cos x2，即证 1 cos x1 cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证 cos(x1 x2) f22若将本例中xx1， x2R ，均有f（ x1） f（ x2）f(x)变为 f(x) 3 2x，试证：对于任意的2fx1 x2.2证明： 要证明 f（ x1） f（ x2） f 2（ 3x1 2x1）（ 3x2

11、 2x2）即证明2x1 x2，2x1 x2x1 x23 22，23x1 3x2x 1 x2因此只要证明 (x1x2) 3 2 (x1 x2) ，23x1 3x2x 1 x2 3 2即证明2，3x1 3x23x1 3x2，由于 x1， x2 R 时， 3x1 0， 3x20 ，因此只要证明23x1 3x23x1 3x2，由基本不等式知2显然成立，故原结论成立分析法的证题思路(1) 分析法的证题思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、定理、法则、公式等 )或要证命题的已知条件时命题得证；(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，

12、即通过分析法找出某个与结论等价(或充分 )的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证 通关练习 已知 a， b， c 为正实数，求证：a2 b2 c2ab c.33证明 ：要证a2 b2 c2a b c33，只需证：a2 b2 c2a bc233，只需证：222222 2ab2bc 2ca，3(a b c ) a b c只需证： 2(a2 b2 c2) 2ab 2bc 2ca，只需证： (a b)2 (b c)2( ca)20，而这是显然成立的，所以a2 b2 c2a b c成立 (当且仅当 a b c 时等号成立 )33反证法 (高频考点 ) 学生用书P211反证法是高考命

13、题的重要内容主要命题角度有：(1)证明否定性命题；(2)证明存在性命题；(3)证明唯一性命题 典例引领 角度一证明否定性命题已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足an Sn 2.(1)求数列 an 的通项公式；(2)求证：数列 an 中不存在三项按原来顺序成等差数列【解】(1)当 n 1 时， a1 S1 2a1 2，则 a1 1.又 an Sn 2，所以 an 1 Sn 12，1两式相减得an1 2an，所以 an 是首项为1，1公比为的等比数列，1所以 an2n 1.(2)证明： 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap 1， aq1， ar 1( p q r ，且 p，q， r

14、 N* )，111则 2q p r，222所以 22r q 2r p 1. (*)又因为 p q r，所以 r q， r p N* .所以 (*) 式左边是偶数，右边是奇数，等式不等立所以假设不成立，原命题得证角度二证明存在性问题已知四棱锥S-ABCD 中，底面是边长为1 的正方形，又SBSD2， SA 1.(1)求证： SA平面 ABCD ；(2)在棱 SC 上是否存在异于S，C 的点 F，使得 BF平面 SAD？若存在， 确定 F 点的位置；若不存在，请说明理由【解】(1) 证明： 由已知得SA2 AD2 SD2，所以 SA AD.同理 SA AB.又 AB ADA， AB? 平面 ABC

15、D ，AD? 平面 ABCD ，所以 SA平面 ABCD .(2)假设在棱SC 上存在异于S， C 的点 F ，使得 BF 平面 SAD.因为 BC AD， BC?平面 SAD.所以 BC 平面 SAD，而 BC BF B，所以平面 FBC 平面 SAD.这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点S 矛盾，所以假设不成立所以不存在这样的点F，使得 BF 平面 SAD.角度三证明唯一性命题已知 a 0，证明关于x 的方程 ax b 有且只有一个根【证明】由于a 0，因此方程至少有一个根x b.a假设 x1， x2 是它的两个不同的根，即ax1b，ax2 b，由得a(x1 x2) 0，因为 x1

16、x2，所以 x1 x2 0，所以 a 0，这与已知矛盾，故假设错误所以当 a 0 时，方程axb 有且只有一个根用反证法证明数学命题需把握的三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2) 必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的 通关练习 已知 a1a2a3 a4100 ，求证： a1， a2， a3， a4 中至少有一个数大于25.证明： 假设 a1， a2， a3，a4 均不大于25，即 a1 25， a2 25， a325， a4

17、25，则 a1 a2 a3 a4 25 25 25 25 100，这与已知 a1 a2 a3 a4100 矛盾，故假设错误所以 a1，a2，a3， a4 中至少有一个数大于25.综合法的应用(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题 ) 出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理分析法的应用(1) 逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2) 应用分析法要书写规范，常用“要证 ”“

18、只需证 ”等分析到一个明显成立的结论反证法的应用应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p? q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相反的假设q；第三步：由p 和 q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步；断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p? q 为真.所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、 已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 学生用书P345(单独成册 )1用反证法证明某命题时，对结论“自然数a， b，c中恰有一个偶数”正确的反设是()A 自然数a，

19、 b， c 中至少有两个偶数B自然数a，b， c 中至少有两个偶数或都是奇数C自然数a，b， c 都是奇数D自然数a， b， c 都是偶数解析： 选 B . “恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”故选B.2分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且a bc 0，求证：b2 ac0C( a b)( ac)0)B.a c0D (a b)(a c)0解析： 选 C.b2 ac3a? b2 ac3a2? (ac) 2 ac3 a2? a2 2ac c2 ac3a2 02222? 2a ac c0? (ac)(2 ac)0 ? (a c)(a b)0. 故选 C.3设 a 32，

20、b6 5， c7 6，则 a、 b、 c 的大小顺序是 ()A a b cB.b c aCc a bD a c b解析：选 A . 因为 a 321，b6 51，c7 61，3 26 576且 7 6 6 5 3 20，所以 a b c.4设 x， y， z0，则三个数 yy， z z， xx()xz x yz yA 都大于 2B.至少有一个大于 2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于2解析： 选 C. 假设三个数都小于2，则 y y z z x xb0，m a b， n a b，则 m， n 的大小关系是 _解析：法一 ：取 a 2， b 1，得 mn.法二： a b a?a0，显然成立，

21、故 mn.答案： mn7已知点 An(n， an)为函数 yx2 1图象上的点， Bn(n， bn)的函数 y x 图象上的点，其中 n N* ，设 cn an bn，则 cn 与 cn 1 的大小关系为 _解析： 由条件得 cn an bnn2 1 n1，n2 1 n所以 cn 随 n 的增大而减小，所以cn 1cn.答案： cn 1cn8关于 x 的方程 ax a1 0 在区间 (0，1)内有实根，则实数 a 的取值范围是_解析： 当 a0 时，方程无解当 a 0 时，令 f(x) axa 1，则 f(x)在区间 (0 ，1) 上是单调函数， 依题意，得 f(0)f(1)0 ，所以 (a

22、1)(2a1)0 ，1所以 2a0，则 f(x1)f(x2)的值 ()A 恒为负值B.恒等于零C恒为正值D无法确定正负解析 ：选 A . 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f(x)单调递减，可知f(x)是 R上的单调递减函数，由 x1 x20，可知 x1 x2， f(x1)f( x2) f(x2)，则 f(x1 ) f(x2) b，则 f(f(b)f(b)b，与题意不符，若 f(b) b，则 f(f(b) f(b)b，与题意也不符，故 f(b) b，即 f(x) x 在 0， 1上有解所以ex xa x， a ex x2 x，令 g(x) exx2x， g (x) ex

23、2x 1 (ex 1) 2x，当 x 0，1 时， ex 1 2， 2x2，所以 g(x) 0，所以 g(x)在 0， 1上是增函数，所以 g(0) g(x) g(1)? 1 g(x) e，即 1a e，故选 A .3对于任意的两个实数对(a，b) 和(c，d)，规定： (a， b) (c， d) ，当且仅当a c，bd；运算“ ?”为： (a，b)?(c，d) (ac bd， bcad)；运算“”为：(a，b) (c，d) (a c，b d)，设 p，q R，若 (1， 2)?(p， q) (5， 0)，则 (1， 2) (p， q) ()A(4， 0)B.(2， 0)C(0， 2)D (0， 4)解析：选 B.由(1， 2)?(p， q) (5， 0)得p2q 5，p 1，2pq 0?q 2，所以 (1， 2)( p， q) (1， 2) (1， 2