第3章第8节正弦定理和余弦定理的应用

1、课时作业A 组基础对点练1若两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的北偏东 20方向上，灯塔 B 在观察站的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C C 的南偏东 40方向上，则灯塔 A 与灯塔B的距离为 ()A akmB2a kmC 2a kmD3a km解析：依题意知ACB180 2040120，在ABC 中，由余弦定理知AB221a a 2aa 2 3a(km)，即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为3a km.答案： D2(2017 江西联考 )某位居民站在离地20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为 60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为 ()3A 20(1 3

2、 )mB20(1 3)mC 10( 2 6)mD20( 2 6)m解析：如图，设 AB 为阳台的高度， CD 为小高层的高度， AE 为水平线由题意知 AB20 m，DAE 45，CAE60，故 DE20 m， CE 20 3m.所以 CD 20(1 3)m.故选 B.答案： B3(2017 武汉武昌区调研 )如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向 600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响， 则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A 14 hB15 hC 16 hD17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点

3、 A，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在OAB 中，OA 600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得OB2 6002400t2222230215 2 20t 6002，令OB450 ，即 4t120 2t1 5750，解得2302 153021530215 t2，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为22 15(h)，故选 B.答案： B4如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d 0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为()A 8 km/

4、hB6 2 km/hC 2 34 km/hD10 km/h解析：设 AB 与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin 0.6341212212211 ，从而cos ，所以由余弦定理v105510104 2 1 5，解得 v62.答案： B5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45，沿点 A 向北偏东30前进 100 m 到达点 B，在点 B 测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A 50 mB100 mC 120 mD150 m解析：设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在A

5、BC 中， A60，ACh，AB 100，BC 3h，根据余弦定理，得 ( 3h)2 h210022h100cos 60，整理得 h250h 5 0000，即 (h 50)(h 100) 0，解得 h50 m，故水柱的高度是50 m.答案： A6(2017 德州检测 )某货轮在 A 处看灯塔 S 在北偏东 30方向，它向正北方向航行 24 海里到达 B 处，看灯塔 S 在北偏东 75方向则此时货轮到灯塔 S 的距离为 _海里解析：根据题意知，在 ABS 中， AB 24，BAS 30，ASB45，由正弦定理，得BS 24，BS 12 122，故货轮到灯塔 S 的距离为 122海里sin 30s

6、in 4522答案： 12 27(2017 河南调研 )如图，在山底测得山顶仰角 CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 米至 S 点，又测得山顶仰角 DSB75，则山高 BC 为_米解析：由题图知BAS 453015，ABS 45 1530，ASB135，在ABS 中，由正弦定理可得1 000AB，AB1 0002，BCABsin 301 000.sin 1352答案： 1 0008(2017 北京朝阳区质检 )如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m 的铁塔AA1 和 BB1.已知从塔 AA1 的底部看塔 BB1 顶部的仰角是从塔BB1 的底部看塔 AA1顶部的仰角的 2 倍，

7、从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角 则从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为 _；塔 BB1 的高为_m.解析：设从塔 BB1 的底部看塔1 顶部的仰角为 ，则1，160tanAAAA60tan BB2.从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角， A ACCBB ，11AA 3013130 BB1，AA1BB1900，3 600tan tan 2900，tan 3，tan 2 4，BB1 60tan 2 45.1答案： 3459如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞

8、机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45，则山顶的海拔高度为多少米？ (取 2 1.4， 3 1.7)解析：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点D，由题意知A 15，DBC45，ACB 30，AB50 42021 000(m)又在ABC 中，BCAB，sin AsinACB21 000BCsin 15 10 500( 62)(m)22CD AD ，CD BCsinDBC 10 500(62) 2 10 500(3 1) 7350(m)故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)10已知在东西方向上有M，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶 A，

9、B 的海拔高度分别为 AM100 米和 BN 200 米，一测量车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100 3 米后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B 处的仰角为 ，且 BQA ，经测量 tan 2，求两发射塔顶 A，B 之间的距离解析：在 RtAMP 中，APM30，AM 100，PM100 3，连接 QM，在PQM 中，QPM60，又 PQ100 3，PQM 为等边三角形，QM100 3.在 RtAMQ 中，由 AQ2AM2 QM2，得 AQ200.在 RtBNQ 中， tan 2，BN200，5BQ100 5，co

10、s 5 .在BQA 中， BA2BQ2 AQ22BQAQcos (100 5)2，BA100 5.即两发射塔顶 A， B 之间的距离是 100 5米B 组能力提速练1某航模兴趣小组的同学， 为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且 AB 长为 80 米，当航模在 C 处时，测得 ABC 105和 BAC 30，经过 20 秒后，航模直线航行到 D 处，测得 BAD 90 和 ABD 45.请你根据以上条件求出航模的速度 (答案保留根号 )解析：在ABD 中，BAD90，ABD45，ADB 45，AD AB80，BD802.在ABC 中，BCAB，sin 30

11、sin 458012BCABsin 30 sin 45240 2.2在DBC 中， DC2 DB2BC22DBBCcos 60 221 (80 2)(402) 280240 229 600.406DC406，航模的速度 v 202 6米/秒2某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间33. sin 21.8 14解析：如图所示，根据题意可

12、知AC 10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则AB21t，BC 9t，在ABC 中，根据余弦定 理 得AB2 AC2 BC2 2ACBCcos 120， 所 以212t2 102 81t2 12252109t2，即 360t90t1000，解得 t3或 t12(舍去 )所以舰艇靠2近渔轮所需的时间为 3h.此时 AB14， BC 6.在ABC 中，根据正弦定理，得BCAB，sinCABsin 120 6323 3所以 sinCAB 1414 ，即CAB21.8 或CAB158.2 (舍去 )，即舰艇航行的方位角为4521.8 66.8 .2所以舰艇以

13、 66.8 的方位角航行，需 3 h 才能靠近渔轮3(2017 武汉联考 )如图，有两条夹角为 60的公路 AB，AC 经过村庄 A，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，并在两条公路边上分别建仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PM PNMN2(单位：千米 )记 AMN.(1)将 AN，AM 用含 的关系式表示出来(2)如何设计 (即 AN，AM 为多长时 )，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP 最大 )?解析： (1)AMN 中，易得ANM 120 ，由正弦定理得MNANAM，sin 60sin sin 120 又 MN2，434343所以 AN3 sin ，AM3sin(120)3sin