大一高数复习资料(免费)

1、函数f x在D上有界；）设:高等数学期末复习资料高等数学（本科类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（）O邻域（去心邻域）（）U （a, 6 ） = x | x -a c 6 aU （a,6x10 |x -a 6第二节数列的极限O数列极限的证明（）【题型示例】已知数列x证明lim=a【证明示例】语言1 由 Xn a c g化简得 n a g （g ）, N - |g :2.即对-；-0, N = g ，当n N时，始终 有不等式 Xn -a| xo时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f x，证明lim f X二A【证明示例】；语言1 .由 f （x ）A c

2、E化简得 0 c|x 对 c g（ g ）,= g ;函数f x无穷小二lim f x = 0函数f x无穷大：=lim f x二3O无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设 f x为有界函数，g x为无穷小，则 lim | f x g x =0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x 为无穷大，则f-1 X为无穷小；反之，若f X为无 穷小，且f x =0,则fx为无穷大【题型示例】计算：lim f x g x（或x：:）x .孔1.J f（xj M 函数f （x）在x = x0的任一去心邻域U x0内是有界的；（ f x X0（lim g x =0即函数g x是x时的无穷小；）

3、X .3 .由定理可知lim | f x g x =0（Ximx g x =0）第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式p x、q x商式的极限运算p(x )= a0xm+玄必“+ + am 、q(x )=b0xn +豪2 + + bn2.即对 Pe 0 ,T，当0cx X0d时,始终有不等式f (x)-aX0f (x。) g(x。) oO00【题型示例】已知函数 f x，证明lim f X二A xC【证明示例】；- X语言1. 由 f （x）A 0 , 2X=g（g ），当xaX时，始终有 不等式f （x ）-A v疋成立， lim f x =

4、 AX ）：:第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（）n ： mn = mn mg X0 - 0g x iu0, f X0 - 0g x iuf x i=0（特别地，当lim f X二 （不定型）时，通常分g（x）0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值lim 孕3-x9【求解示例】解：因为 Xr 3，从而可得x=3，所以原x - 3x - 311式二 lim 2limlimx3 x -9 x3 x 3 x-3J3 x 3x _3其中x =3为函数f x二尸3的可去间断点x -9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0x 3 0

5、 解：lim 2 lim 7* -9L T（x2 9）O连续函数穿越定理 （复合函数的极限求解）（）（定理五）若函数 f x是定义域上的连续函数，那么，!和x =f町x3 lim 丄x 32x 6x3【题型示例】求值：lim . 2xtx 9【求解示例】凹J汨処汨第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则（P53） （）第一个重要极限：lim sinx =1 xT xJTsin x ： x ： tan x /. limsin x1xlim Xx-0 sin x=lim 1x0 sin xlim1x 0 -1 sin x )lim Ix 0 x（特别地,xlim 塑4=1)X旳 x -冷O单调有

6、界收敛准则（P57） （）（一般地，lim | f x % = 血f x订，其中lim f x 0）【题型示例】求值：lim 红仝xf 2x +1 丿【求解示例】解伽侔+叮二恤侔十2X 2x 1 X ；： 2x 1Ili2x“2x + 2 亠厂/22评严)Ylim 11lim H2x1y：i.2x 12x 12 一22x 12x 12x半lim 11 22-0碑(2x+1丿lim 注2 =e2x1；2x de1 =e. 2二 J1第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）O等价无穷小（）U sin U tan U arcsin U arctan U ln（1 U）1. U e -11 22. U 1

7、-cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：lim ln 1 x2 xln1 xT x +3x【求解示例】解：因为xt 0,即xH0,所以原式=lim叫1+x厂xln+ x ）Tx2+3x（1+x）l n（1+x）（1 + x），x x+1 1=limlimlimx 0XX 3 x 0 XX 3 x 0 x 3 3第八节 函数的连续性O函数连续的定义（）lim f x = lim f x = f x0x JX0 -O间断点的分类（P67） （）跳越间断点（不等）可去间断点（相等）limx ：0第一类间断点（左右极限存在）第二类间断点无穷间断点（极限为（特别地，可去间断点能在分式中约去相

8、应公因式）2xe , X*应该怎样选+ x x 兰 0择数a，使得f x成为在R上的连续函数？【求解示例】f 0_=e2 =e1 =e .I .f 0 二a 0 =af 0 =a【题型示例】设函数 f（x）=1 .2 .由连续函数定义lim f x = lim f x = f 0 = exT0_0第九节 闭区间上连续函数的性质O零点定理（）【题型示例】证明：方程f X x C至少有一个根 介于a与b之间【证明示例】1.（建立辅助函数）函数 xf x?-g x：;-C在闭区间la,b 上连续;2. a b ：0 （端点异号）3. A由零点定理，在开区间a,b内至少有一点,使得厂=0，即 f 一g

9、-C -0 （ 0 :：: 1）这等式说明方程内至少有一个根第二章导数与微分 第一节导数概念O高等数学中导数的定义及几何意义（f x de +14.f x=g x C在开区间a,bP83) ()【题型示例】已知函数ax +b【题型示例】求函数【求解示例】由题可得上单调、可导，且f J X的导数f x为直接函数，其在定于域 D L fx）O复合函数的求导法则（）【题型示例】设y = ln earCSin【求解示例】1arcsi nX22解：y=-=F=fe* -+Vx +a/ arcs in x2 122e 一 ，x a(arcsine1/. arcs in x2 122e 一 “x a1 ar

10、cs in x2 122erx 亠 aarcs ine2x2 . X 1 2_x22丁2xx2 a2处可导，求a, b【求解示例】 . 01Jf丄0 )=e 二1)=a2由函数可导定义f 0 - =e1 =e1 =2I /f=b0f 0 =e 1=2jf_0 =f_u. 0 =a=1f 0- 二 f 0 二 f 0 =b =2a = 1,b =2f i r e 、一earcsin x2 - ,x2 -a2.第四节高阶导数A = d y ）（） 丿dxnJ【题型示例】求函数 y = In 1 x的n阶导数【求解示例】y丄=1 x ,(或 ddx3 .函数商的求导法则（定理三）O反函数的求导法则（

11、）【题型示例】求 y = f x在x二a处的切线与法线方程 （或：过y = f x图像上点|a, f a处的切线与法线 方程）【求解示例】1. y Jf x , y f a2. 切线方程：y-f a = f a x -a法线方程：y_f a f ： X_a第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 O函数和（差）、积与商的求导法则（）1 .线性组合（定理一）：（U二匸 v） = U ： V 特别地，当1时，有（u 士v）u 士V2 .函数积的求导法则（定理二）：（uv），= u V uv第三节反函数和复合函数的求导法则1 X 11 X ,y n L（_1）2 （n -1） .（1 x）第五节隐函

12、数及参数方程型函数的导数O隐函数的求导（等式两边对 X求导）（）【题型示例】试求：方程y = X ey所给定的曲线 C :y二y x在点1 - e,1的切线方程与法线方程【求解示例】由 目二* e两边对x求导F即 y = x ey 化简得 y = 1 ey y. 1 1y 1 ：1 -e 1-e1 . 切线方程：y -1X -1 e1 e法线方程：y -仁1 - e x -1 eO参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程/=tp（t 求d_yy = Y（t ） dx2“2窗【求解示例】1.巴=一12.耸=- dx 進）dx t ）第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分O

13、基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dy = f x dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理O引理（费马引理）（）O罗尔定理（）【题型示例】现假设函数f x在0,二上连续，在0,二上可导，试证明：二匚三0,二,使得f co0rQlnln x【题型示例】求值： 【求解示例】 解: lim x：Tn x = lim limx_J 1 L= lim 丄 X：Lx:-1 lim X - 0a x 10(一般地，limIn x=0 ,其中， R)型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：lim i 1 - 1i0lsi nx x 丿ix-s in x 1fx-si nx= limlim2x

14、x 0 x sin xxTx【求解示例】” (1 1解: lim 一一xT (sin x0%x-s inxr 1-cosx1-cosx r sinx 门limlimlimlim0x200型（对数求极限法）2xL x02 x 0 2x L x )0x 0【题型示例】求值：lim x.lim曲皿=i,从而可得 0 cosx sin x 1 0lim ln ylim y= lim y =ex 0 e1 =eX 0 x 0x_0【求解示例】 解：设y =xx,两边取对数得：In y = Inxx =xl门乂=!x对对数取Xr 0时的极限：lim ln y =lim =lim ln x y 1 l 心向

15、x= lim 电-X 012x1 :型（对数求极限法）lim In y=e e0 =1=-lim x =0，从而有 lim y =lim elnyx 0x 0x 0【题型示例】求值:ilim cosx sin x xx0【求解示例】通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性O连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数f x = 2x3 -9x2 12x -3的单调区间【求解示例】1 .V函数f X在其定义域R上连续，且可导 f x =6x2

16、 -18x 12解：令 y = cosx sinx x ,两边取对数得 In y =_弘 x|ln cosx sinx LXmoX(严1)1(1,2)2（2严）（X）+00+f(x)Z极大值Z极小值Z：:0型（对数求极限法）i1【题型示例】求值：lim 1xT lx【求解示例】（1半解：令y = 1xj:an x，两边取对数得ln y =tanx ln对ln y求x 0时的极限，lim ln y xT= limx 0x，tan x ln 11:lx丿1.ln x .- lim= limx_01 l -tan xx_0lnx1tan x-limx ；0x2sec x2xtan= limsinX

17、jx02x 0limL x_0sin2 x=li mx_0lim ln y二 ex 02sinx cosx10 A=e1=0,x从而可得lim y= lim elny xTo运用罗比达法则进行极限运算的基本思路单调递减区间为 1,2【题型示例】证明：当 X 0时，ex X 1 【证明示例】1. （构建辅助函数）设 x =eX-x-1 , （ x 0）2. : x = ex -1 0 , （ x 0） x20 =03 .既证：当x 0时，ex x 1【题型示例】证明：当 x 0时，ln 1 x x【证明示例】1. （构建辅助函数）设 x = ln 1 x - x, （ x 0）12. ： x1 ： 0 , （ x 0）1 +x x ：0 = 03 .既证