北京大学数学物理方法经典课件第五章——傅里叶变换

1、第五章 傅里叶变换,对自然界的最深刻的研究是数学最富饶的源泉。 -傅里叶,2,学习要求与内容提要,目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里 叶级数展开法；掌握周期函数的傅 里叶展开、定义和性质；函数的 定义与性质。,重点：,难点：,傅里叶变换、函数。,函数的概念。,3,1807年12月21日，fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。,傅立叶的两个最主要的贡献:,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和” 傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点

2、,5.1 傅里叶级数,4,1.波的叠加 在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如 asin(t+)的波,其中a是振幅,是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.,（一） 周期函数的傅里叶展开,非正弦周期函数:矩形波,可以用不同频率正弦波叠加构成！,5,6,由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)= f(x) 可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.,7,-l,l上的积分等于 0 .,其中任意两个不同的函数之积在,2. 三角函数族及其正交性,引入三角函数族,上的积分不等于 0 .,两个相同的函数的乘积在-l,l,8,

3、证:,同理可证 :,任意两个不同的函数之积在-l,l上的积分等于 0 .,9,同理可证 :,10,两个相同的函数的乘积在-l,l上的积分不等于 0 .,证:,11,如果周期为2l 的函数 f (x)满足收敛定理条件,则它可以展开式为下列级数,(在 f (x) 的连续点处),3.周期函数的傅里叶展开,式 称为f(x)的傅里叶级数 .,式中a0, ak, bk称为函数f(x)的傅里叶系数 ;,问题: a0, ak, bk 等于什么?,我们利用三角函数族的正交性来求解,12,对在-l,l逐项积分, 得,乘 在-l,l逐项积分并运用正交性, 得,由三角函数的正交性0,由三角函数的正交性得0,n=k,由

4、三角函数的正交性0,13,类似地, 用 sin k/l 乘 式两边, 再逐项积分可得,归纳:,14,(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；,(2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，,且,在收敛点有：,在间断点有：,狄里希利定理 : 若函数f(x)满足条件：,4. 傅里叶级数的收敛性定理,注:第一类间断点 如果f(x)在间断点x0处左右极限存在, 则称点x0为f(x) 的第一类间断点.,15,其中,(在 f (x) 的连续点处),如果 f (x) 为奇函数, 则a0和ak均为零，即有傅里叶正弦级数,（二） 奇函数和偶函数的傅里叶展开,说明：,16,如果 f (x)

5、为偶函数,则bk为零，即有傅里叶余弦级数,(在 f (x) 的连续点处),其中,注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处,傅里叶级数,都收敛于,说明：,17,当函数定义在任意有限区间上时,变换法,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,回代入展开式,上的傅里叶级数,其傅里叶展开方法:,（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开*(自学),18,延拓法,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,19,利用欧拉公式,已知周期为 2 l 的周期函数f (x)可展开为级数：,（四） 复数形式的傅里叶展开,20,注意到,同理,21,傅里叶级数的复数形式:,因此得,22,例2：,矩形波,

6、解：,cosk k=2n: cosk=1 k=2n+1: cosk=-1,23,1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f (x)为奇(偶) 函数时,为正弦(余弦) 级数.,2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,内容小结,24,1 2,5.1 作业,25,25,周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅里叶积分”。,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,考察复数形式的傅里叶级数:,（一） 傅里叶变换,26,26,非周期函数

7、的复数形式的形式“傅里叶级数”:,引入新参量：,上式改写为：,27,27,令,有,若 有限，则非周期函数可以展开为,称f(x)的傅里叶变换,称f()的逆傅里叶变换,像函数,原函数,注意到：,28,28,傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间(-，+)上满足条件: (1) 在任意有限区间满足狄里希利条件； (2) 在区间 (-，+ )上绝对可积（即 收敛）， 则 f(x) 可表为傅里叶积分，且 傅里叶积分值=,f(x)的傅里叶变换式,29,奇函数与偶函数的傅里叶变换,傅里叶变换对,30,当f(x)是偶函数,当f(x)是奇函数,进一步注意到,当f(x)是偶函数,同理,当f(x)是奇函数,31,3

8、1,例1,定义: 矩形函数为,将矩形脉冲 展开为傅里叶积分。,解:矩形脉冲函数的周期为-t,t, 如右图.,32,(1) 导数定理,（二） 傅里叶变换的基本性质,根据傅里叶积分定理，,33,(2) 积分定理,由变上限积分定理：,由导数定理,利用导数定理证明，记,34,(3) 相似性定理,空域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,f(x/2),压缩,扩展,35,(4) 延迟定理,(5) 位移定理,36,例2求：,的频谱？,解：,由 位移定理,37,则,卷积定义,38,卷积 卷积定理反映了两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系。卷积对深入理解在傅立叶变换基础上的图像处理

9、技术是十分重要的。,其中是积分伪变量。,两个函数f(x)和g(x)的卷积记作f(x)*g(x)，由下式所定义：,39,40,41,（7）帕塞瓦尔等式能量守恒,42,(三) 傅里叶变换的物理意义,求和,振幅谱,相位谱,43,(四) 高维傅里叶变换,二维连续函数f (x,y)的傅里叶变换定义如下： 设f (x,y)是两个独立变量x,y的函数，且在上绝对可积，则定义积分 为二维连续函数f (x,y)的傅里叶变换，并定义 为f(k1,k2)的逆变换。 f (x,y)和f(k1,k2)称为傅里叶变换对。,（1）,（2）,1 二维傅里叶变换,44,例2: 求函数,的傅里叶变换(矩孔费琅和夫衍射)。,解：由

10、傅里叶变换关系,有,45,其幅度谱为,46,2 三维fourier变换,47,48,其中：,49,5.2 1, 5,本讲作业,50,1. 源与场 质点引力场， 电荷电场， 热源温度场 2.点源：质点点电荷点热源点光源 点电荷激发的场：点源q0位于 0处，场点位于r 处的电场的数学表示： 3.连续分布的源所产生的场： 无数个点源产生的场的叠加。 如何描述点源?,5.3 函数(特殊函数),51,（一）函数,在物理学中对于在某种坐标系下高度集中的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的电脉冲等，常用一个特殊的函数函数来描述。,设质量m均匀分布在长为l的线段-l/2,l/2上（如图）, 进一步设线的单位长度质量即线质量密度为l ：,下面我们从质点的描述来引入函数,52,线段总质量：,质点的极限下总质量不变，即,在总质量不变的条件下：,53,53,引入广义函数：函数,一般地，我们有定义1：,且,量纲为：1/x,(x)的形象描述见（图示）,54,（二）性质,(1) 偶函数,恒有,利用积分形式证,55,55,(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数(函数的原函数),(3) 复合函数(尺度变换),若 的实根 全部是单根，则,由变上限积分定理（ 函数是阶跃函数的导函数）：,56,56,证明：按定义,上面等