各种等腰三角形难题

1、各类等腰三角形难题例1. 在abc中,ab=ac,且a=20,在为ab上一点,ad=bc,连接cd.试求:bdc的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.解:作dae=b=80,使ae=ba,(点d,e在ac两侧)连接de,ce.ae=ba;ad=bc;dae=b.daecba(sas),de=ae;dea=bac=20.cae=bae-bac=60,又ae=ab=ac.aec为等边三角形,de=ce;dec=aec-dea=40.则:cde=70;又ade=80.故adc=150,bdc=30.例2.已知,如图:abc中,ab=ac,bac=20.点d和e分别在ab,a

2、c上,且bcd=50,cbe=60.试求deb的度数.本题貌似简单,其实不然.解:过点e作bc的平行线,交ab于f,连接cf交be于点g,连接dg.易知gef,gbc均为等边三角形.feg=efg=60;afg=140,dfg=40;bcg=50;cbd=60.bdc=50=bcd,则bd=bc=bg;又abe=20.故bgd=80,dgf=180-bgd-fge=40.即dgf=dfg,df=dg;又eg=ef;de=de.dgedfe(sss),得:deg=def=30.所以,deb=30.例3.已知,等腰abc中,ab=ac,bac=20,d和e分别为ab和ac上的点,且abe=10,a

3、cd=20.试求:deb的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在ca上截取cm=cb,连接bm,dm,则cmb=cbm=50.作dgbc,交ac于g,连接bg,交cd于f,连接fm.易知bcf和dgf为等边三角形,cm=cb=cf.cmf=cfm=80,gmf=100.gfm=gfc-cfm=40;fgm=a+abg=40.即gfm=fgm;fm=gm;又df=dg,dm=dm.则dmfdmg,dmg=dmf=50.故dmc=130=emb;又dcm=ebm=20.dmcemb,dm/mc=em/mb;又dme=bmc=50.dmecmb,dem=cbm=50

4、.又bec=abe+a=30.所以,deb=deg-bec=50-30=20.例4.如图，已知在等边三角形abc中，d是ac的中点，e为bc延长线上一点，且cecd，dmbc，垂足为m。求证：m是be的中点。 思路点拨：欲证m是be的中点，已知dmbc，所以想到连结bd，证bded。因为abc是等边三角形，dbe abc，而由cecd，又可证e acb，所以1e，从而问题得证。证明：因为三角形abc是等边三角形，d是ac的中点所以1 abc又因为cecd，所以cdee所以acb2e即1e所以bdbe，又dmbc，垂足为m所以m是be的中点 （等腰三角形三线合一定理）例5.如图，在abc中，ba

5、c=90，ab=ac，abc的平分线交ac于d，过c作bd垂线交bd的延长线于e，交ba的延长线于f，求证：bd=2ce 思路点拨：根据已知条件，易证bfebce，所以bf=bc，所以f=bce，根据等腰三角形三线合一这一性质，ce=fe，再证明abdacf，证得bd=cf，从而证得bd=2ce证明：abc的平分线交ac于d，fbe=cbe，又be=be，becf，bef=bec，bfebce（asa），ce=ef，cf=2ce，bac=90，且ab=ac，fac=bac=90，abc=acb=45，fbe=cbe=22.5，f=adb=67.5，又ab=ac，abdacf（aas），bd=c

6、f，bd=2ce例6. 如图，在abc中，bo平分abc，co平分acb，de过o且平行于bc，已知ade的周长为10cm，bc的长为5cm，求abc的周长 思路点拨根据题意先证明bdo和ceo是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得bd=od，ce=eo，根据已知ade的周长为10cm，再加上bc的长即可得abc的周长解：bo平分abc，co平分acb，dbo=obc，eco=ocb，debc，dob=obc，eoc=ocb，dbo=dob，eco=eoc，bd=od，ce=eo（等角对等边）ad+de+ae=10cm，ad+bd+ce+ea=10cm，又bc的长为5cm，所以abc的周长是：

7、ad+bd+ce+ea+bc=10+5=15cm例7.ta共获得： 评分共：0 条 三角形abc，ab=ac，边bc的中点为d（1）画图：作一个等边三角形def，使顶点e,f分别在边ab和ac上（2）你所作的等边三角形def的边ef与bc平行吗？理由是什么？（3）是否可能作一个等边三角形def，使它的边ef与bc不平行？如有可能，指出角a的度数；如不可能，说出理由解：见图作法：在三角形abc内部作bdecdf60度，角的两边分别交ab、ac于e、f，连接ef则三角形def就是所要求作的等边三角形平行。理由：因为abac所以bc因为d是bc中点所以bdcd因为bdecdf60度所以bdecdf（

8、asa），edf60度所以dedf所以三角形def是等边三角形所以bdedef60度所以ef/bc可能。a120度证明要点：因为ef与bc不平行，所以aeaf，不妨设aeaf过f作fg/bc，交ab于g，连接dg容易证明bdgcdf所以dgdfde，bgdcfd由dedg得degdge所以degcfd所以a、e、d、f四点共圆所以aedf180度所以a120度 例8.三角形abc中，ab=ac,d在ac上,e在ab上，连结de，已知顶角等于20,cbd=60,ecb=50.求ade的度数 解：以b为圆心，bc为半径画弧，交ac于g，连接dg， 则：bg=bc，bgc=acb； 已知：ab=ac

9、，a=20， 则：abc=acb=80， bgc=acb=80， gbc=20， abg=60； 已知：cbd=60， 则：abd=20，dbg=40， bdg=bgc-dbg=40，bg=dg； 已知：ecb=50， 则：brc=180-abc-ecb=50； 已知：圆孤，abg=60， 则：be=bc=bg=dg，bge为正三角形， eg=be=bc=bg=dg，egb=60， dge=180-bgc-egb=40；已知：eg=dg, 则：ged=edg=(180-dge)/2=70， ade=180-edg=110。 例9. 如图，已知在等边三角形abc中，d是ac的中点，e为bc延长线

10、上一点，且cecd，dmbc，垂足为m。求证：m是be的中点。 分析：欲证m是be的中点，已知dmbc，所以想到连结bd，证bded。因为abc是等边三角形，dbeabc，而由cecd，又可证eacb，所以1e，从而问题得证。 证明：因为三角形abc是等边三角形，d是ac的中点 所以1abc 又因为cecd，所以cdee 所以acb2e 即1e 所以bdbe，又dmbc，垂足为m 所以m是be的中点 （等腰三角形三线合一定理）例10. 如图，已知：中，d是bc上一点，且，求的度数。 分析：题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外

11、角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为，所以 因为，所以； 因为，所以（等边对等角） 而 所以 所以 又因为 即 所以 即求得 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。 3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 例11. 已知：如图，中，于d。求证：。 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造

12、它的一半，再证与的关系。 证明：过点a作于e， 所以（等腰三角形的三线合一性质） 因为 又，所以 所以（直角三角形两锐角互余） 所以（同角的余角相等） 即 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。 例12已知：如图，在abc中，abac，d是bc的中点，deab，dfac，e、f分别是垂足。求证：aeaf。 证明：因为，所以 又因

13、为 所以 又d是bc的中点，所以 所以 所以，所以 说明：证法二：连结ad，通过 证明即可 例13. 如图，中，bd平分。求证：。 分析一：从要证明的结论出发，在bc上截取，只需证明，考虑到，想到在bc上截取，连结de，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。 证明一：在bc上截取，连结de、df 在和中， 又 而 即例题14：如图，可以考虑延长bd到e，使dead，这样bdad=bd+de=be，只需证明bebc，由于，只需证明易证，故作的角平分线，则有，进而证明，从而可证出。 证明二：延长bd到e，使dead，连结ce，作df平分交bc于f。 由证明一知： 则有 df

14、平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。 例15. 如图，是等边三角形，则的度数是_。分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为是等边三角形 所以 因为，所以 所以 在中，因为 所以，所以 所以例16. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.已知：如图，在中，d、e分别为ac、ab边中点，bd、ce交于o点。求证：点o在bc的垂直平分线上。 分析：欲证本题结论，实际上就是证明。而o

15、b、oc在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有的两个三角形全等。证明：因为在中，所以（等边对等角）又因为d、e分别为ac、ab的中点，所以（中线定义）在和 中，所以所以（全等三角形对应角相等）。所以（等角对等边）。即点o在bc的垂直平分线上。说明：（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在底边的垂直平分线上”正确地理解成“oboc”是关键的一点。（2）实际上，本题也可改成开放题：“abc中，abac，d、e分别为ac、ab上的中点，bd、ce交于o。连结ao后，试判断ao与bc的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。例

16、17. 中，ab的中垂线交ab于d，交ca延长线于e，求证：。分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取bc的中点。证明：过点a作bc边的垂线af，垂足为f。31在中，所以 所以（等腰三角形三线合一性质）。所以（邻补角定义）。所以又因为ed垂直平分ab，所以（直角三角形两锐角互余）。（线段垂直平分线定义）。又因为（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。所以在和中，所以所以即。例18：如图，在 abc中，ab=ac，延长ab到d，使bd=ab，取ab的中点e，连接cd和ce. 求证：cd=2ce分析：()折半法：取cd中点f，连接bf，再证c

17、ebcfb.这里注意利用bf是acd中位线这个条件。证明：取cd中点f，连接bf bf=ac,且bfac （三角形中位线定理） acb2 (两直线平行内错角相等)又 ab=ac acb3 （等边对等角） 32在ceb与cfb中， cebcfb (sas) ce=cf=cd （全等三角形对应边相等）即cd=2ce （）加倍法证明：延长ce到f，使ef=ce，连bf.在aec与bef中，aecbef (sas) ac=bf, 43 (全等三角形对应边、对应角相等) bfac (内错角相等两直线平行) acb+cbf=180o,abc+cbd=180o,又ab=ac acb=abccbf=cbd （等角的补角相等）在cfb与cdb中， cfbcdb (sas) cf=cd即cd=2ce说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取ac中点f，连bf(如图)（b