北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义教案

1、做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。导数的概念及其几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x)的几何意义是什么呢？0二新课讲授=（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当p(x,f(x)(n1,2,3,4)nnn趋近于点p(x

2、,f(x)时，割线pp的变化趋势是什么？00n沿着曲线f(x)图3.1-2我们发现,当点p沿着曲线无限接近点p即x0时,割线pp趋近于确定的位置，这个确nn定位置的直线pt称为曲线在点p处的切线.问题：割线pp的斜率k与切线pt的斜率k有什么关系？nnx-x做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。切线pt的斜率k为多少？容易知道，割线pp的斜率是k=f(xn)-f(x0),当点p沿着曲线无限接近点p时，k无nnnnn0限趋近于切线pt的斜率k，即k=limf(x0+dx)-f(x0)dx0dx=f(x)0,说明：（1）设切线的倾斜角为那么当x0时,割线pq的斜率,称为曲线在点p处的切线的斜率.这个概念

3、:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x处的导数.0（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0)处的切线的斜率，dx0即f(x)=lim0f(x+dx)-f(x)00dx=kdx0说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出p点的坐标;求出函数在点x处的变化率f(x)=lim00f(x+dx)-

4、f(x)00dx=k，得到曲线在点(x,f(x)的切线的斜率；00利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，即:f(x)=y=limdx0f(x+dx)-f(x)dx注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数f(x)在点x处的导数f(x)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系。001）函数在一点处的导数f(x)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，0它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的

5、，就是函数f(x)的导函数3）函数f(x)在点x处的导数f(x)就是导函数f(x)在x=x处的函数值，这也是求函000数在点x处的导数的方法之一。0做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点p(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数.三典例分析22解：（1）y|x=1=limdx0(1+dx)2+1-(12+1)2dx+dx2=lim=2,dx0dxdx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y-2=2(x-1)即2x-y=0（2）因为y|x=1=limx13x2-3123(x2-12)=lim=lim3(x+1)=6x1x-1

6、x-1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y-3=6(x-1)即6x-y-3=0（2）求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数解：dy-(-1+dx)2+(-1+dx)-2=3-dxdxdxdy-(-1+dx)2+(-1+dx)-2f(-1)=lim=lim(3-dx)=3x0dxdxx0例2（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t、t、t附近的变化情况012解：我们用曲线h(t)在t、t、t处的切线，刻画曲012线h(t)在上述三个时刻附近的

7、变化情况（1）当t=t时，曲线h(t)在t处的切线l平行于000x轴，所以，在t=t附近曲线比较平坦，几0乎没有升降（2）当t=t时，曲线h(t)在t处的切线l的斜率h(t)0，所以，在t=t附近曲线下11111降，即函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10在t=t附近单调递减1（3）当t=t时，曲线h(t)在t处的切线l的斜率h(t)0，所以，在t=t附近曲线下22222降，即函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10在t=t附近单调递减2做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。从图3.1-3可以看出，直线l的倾斜程度小于直线l的倾斜程度，这说明曲线在t附近比121在t附近下降的缓慢2（例3课本例

8、3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mg/ml)随时间t（单位：min）变化的图象根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作t=0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：k=0.48-0.91-1.41.0-0.7所以f(0.8)-1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.20.