人教版高中数学【选修1-1】[B 知识点整理及重点题型梳理]

1、精品文档用心整理人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习椭圆的性质【学习目标】1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.【要点梳理】要点一、椭圆的简单几何性质我们根据椭圆x2y2+2ab2=1(ab0)来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=a和y=b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程x2y2+a2b2=1，把x换成x，或把y换成y，或把x、y同时换成x、y，方程都不变，所以椭圆x2y2+2ab2=1是以x轴、y轴

2、为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。=1（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为a（a，0），椭圆x2y2+a2b2资料来源于网络仅供免费交流使用1椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e=2c精品文档用心整理a2（a，0），b1（0，b），b2（0，b）。线段a1a2，b1b2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|a1a2|=2a，|b1b2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率c=。2aa因为ac0，所以e的取值范围是0e1。e越接近1，则c

3、就越接近a，从而b=a2-c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。要点诠释：椭圆x2y2+a2b2=1的图象中线段的几何特征（如下图）：|pm|pm|c（1）pf+pf=2a，121221=e，|pm|+|pm|=12|pf|pf|2a2；（2）bf=bf=a，of=of=c，ab=ab=121221a2+b2；（3）af=af=a-c,af=af=a+c，a-cpfa+c；112212211要点二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义aa椭圆标准方程

4、中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：b0，c0，且a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形dpff有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定12资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理dpff2理（或勾股定理）、三角形面积公式s12=1pfpfsinfpf相结合的方法进行计算与解题，将有121关线段pf、pf、ff，有关角fpf(fpffbf)结合起来，建立pf+p

5、f、pfpf12121212121212之间的关系.标准方程x2要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较y2+=1(ab0)a2b2x2y2+=1(ab0)b2a2图形焦点f(-c,0)，f(c,0)f(0,-c)，f(0,c)1212焦距范围|ff|=2c(c=a2-b2)12|x|a，|y|b|ff|=2c(c=a2-b2)12|x|b，|y|a性对称性关于x轴、y轴和原点对称质顶点轴(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)长轴长=2a，短轴长=2b离心率e=ca(0e1)要点诠释：椭圆x2y2y2x2+=1，+222abab2=1（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a

6、b0和e=c(0eb0)；b0)；1(ab0).将直线的方程y=kx+b与椭圆的方程x2y2+2ab2=1(ab0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点直线与椭圆的相交弦设直线y=kx+b交椭圆x2y2+a2b2=1(ab0)于点p(x,y),p(x,y),两点，则111222x-xk|pp|=(x-x)2+(y-y)2121212=(x-x)21+(y1-y2)2=1+k2|x-x|121212同理可得|pp|=1+1|y-y

7、|(k0)12212这里|x-x|,|y-y|,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：1212|x-x|=(x-x)2-4xx121212|y-y|=(y-y)2-4yy121212【典型例题】类型一：椭圆的简单几何性质资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理例1.已知椭圆的对称轴为坐标轴，o为坐标原点，f是一个焦点，a是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosofa=2，求椭圆的方程。3【解析】椭圆的长轴长为6，cosofa=23，所以点a不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|of|=c，c2|af|=|oa|2+|of|2=b2+c2=a=3，=，33所以c=2，b2=3222=5，故椭

8、圆的方程为x2y2x2y2+=1或+=1。9559【总结升华】灵活运用椭圆的几何性质：a2=b2+c2；长轴长2a，短轴长2b，进行求参数的值或求椭圆的方程.举一反三：【椭圆的性质例1】【变式1】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.【变式2】长轴长等于20，离心率等于35，求椭圆的标准方程。【答案】x2y2y2x2+=1或+=110064100642【变式3】在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1,f2在x轴上，离心率为2过点f1的直线l交c于a，b两点，且dabf2的周长为16，那么c的方程为_x2y2+=1【答案】168。类型二：求椭

9、圆的离心率或离心率的取值范围例2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为32的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。)(【解析】（1）由题意得(a+ca-c)=32，即1+e3=1-e2，解得e=5-26。资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（2）由题意得a+c=10a-c=4，解得a=7c=3c3，故离心率e=。a7椭圆的离心率e=1-=1-e2，所以构造a、b、c三者中任意两个的关系，均可求【总结升华】椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式；cb2baaa出椭圆离心率，而a、b、

10、c三者中任意两个的关系，可以通过几何图形直观观察，可构造方程或不等式得到三者关系。求椭圆的离心率通常有两种方法：（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2、b2，求出a、c的值，利用公式e=ca直接求解。（2）若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c、e满足的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e。举一反三：【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）5b.a.134c.33d.12【答案】d【变式2】椭圆x2y2+a2b22=1上一点到两焦点的距离分别为d、d，焦距为2c，若d、c、d成等差数1212列，则

11、椭圆的离心率为【答案】12例3.设m为椭圆x2y2+a2b2ff=1(ab0)上一点，1、2为椭圆的焦点，若mf1f2=75，mf2f1=15，求椭圆的离心率。【解析】在1f2中，由正弦定理得2csinfmf12|mf|mf|12=，sinmffsinmff2112即2c|mf|mf|1=2sin90sin15sin752c|mf1|+|mf2|2a=，sin90sin15+sin75sin15+sin75资料来源于网络仅供免费交流使用e=c精品文档用心整理16=。asin15+sin753【总结升华】本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e。举一反三：【变式

12、1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于。【答案】3-1【变式2】（2015金凤区校级一模）已知椭圆c：x2y2+a2b2=1(ab0)的左焦点为f，c与过原点的直线相交于a,b两点，连接af,bf，若|ab|=10，|bf|=8，cosabf=3546a.b.c.d.5757【答案】b【解析】45,则c的离心率为（）如图所示，在afb中，|ab|=10，|bf|=8，cosabf=由余弦定理得|af|2=|ab|2+|bf|2-2|ab|bf|cosabf4=100+64-21085=36,|af|=6,bfa=9

13、00，设f为椭圆的右焦点，连接bf,af根据对称性可得四边形afbf是矩形。|bf|=6,|ff|=10，2a=8+6,2c=10，解得a=7,c=5.=e=c5.故选b。a745,=1(ab0)的左右焦点分别为f、f，若椭圆c上恰好例4（2015潍坊模拟）椭圆c：x2y2+a2b212有6个不同的点p，使得dffp为等腰三角形，则椭圆c的离心率的取值范围是（）12资料来源于网络仅供免费交流使用a.(,)b.(,1)c.(,1)d.,12精品文档用心整理12111(,1)3323322【思路点拨】分等腰三角形f1f2p以f1f2为底和以f1f2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心，半径

14、为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆c的离心率的取值范围。【解析】（1）当点p与短轴的顶点重合时，f1f2p构成以f1f2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰三角形f1f2p；（2）当f1f2p构成以f1f2为一腰的等腰三角形时，以f2p作为等腰三角形的底边为例，因为f1f2=f1p，所以点p在以f1为圆心，半径为焦距2c的圆上，因此，当以f1为圆心，半径为2c的圆与椭圆c有2个交点时，存在2个满足条件的等腰f1f2p，在f1f2p1中，f1f2+pf1pf2,圆2c+2c2a-2c,由此得知3ca,所以离心率e13.当e=12时，f1f2p是等

15、边三角形，与（1）中的三角形重复，故e12。且e时也存在2个满足条件的等腰f1f2p，同理，当f1p为等腰三角形的底边时，在e1312综上所述，离心率的取值范围是：e,11(,1)。这样，总共有6个不同的点p使得f1f2p为等腰三角形1322【总结升华】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点p使得f1f2p为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。举一反三：【变式】已知椭圆x2y2+a2b2=1(ab0)，以a，b，c为系数的关于x的方程ax2+bx+c=0无实根，求其离心率e的取值范围。【答案】由已知，d=b2-4ac0，所以(a2-c2)-4ac0，不等式两边同除a2可得e2+4e-10，

16、解不等式得e5-2.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理由椭圆的离心率e(0,1)，所以所求椭圆离心率e(5-2,1).类型三：直线与椭圆的位置关系+y2=1，求过点p，且被p平分的弦所在的直线方程例6.已知椭圆x211222=kx-代入椭圆方程，并整理得【解析】解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-1212)131)x-(2k(+2k222-2kx+k2-k+=0221+2k22k2-2k由韦达定理得x+x=12p是弦中点，x+x=1故得k=-1212解法二：设过p，的直线与椭圆交于a(x，y)、b(x，y)，则由题意得22所以所求直线方程为2x+4y-3=01111221+y12=1，2+y22=1，1x22x22x+x=1，2y1+y2=1.2x2-x2得12+y2-y2=012将、代入得y1-y2=-x-x1211，即直线的斜率为-22所求直线方程为2x+4y-3=0【总结升华】（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法”，