Mathematica软件使用入门讲解

1、 Mathematica软件使用入门目录第一章 基本知识与基本操作31.1 Mathematica的基本语法特征31.2 Mathematica的启动、基本操作41.3 操作小技巧71.4 数值计算81.5 赋值与替换91.6 自定义函数101.7 方程与方程组解111.8 解不等式与不等式组121.9 由递推式求数列的通项公式131.10 作函数图像14第二章 运用Mathematica实现高等数学中的基本运算162.1 求极限运算162.2 求导数与微分182.3 求不定积分252.4 求定积分25第三章 实验练习题28Mathematica是当今世界上最为流行的计算机代数系统之一Math

2、ematica系统是美国物理学家Stephen.Wolfram领导的一个小组开发的,后来他们成立了Wolfram研究公司1987年推出了系统的1.0版；现在的最新版本是8.0版Mathematica可以做：l 符号计算和数值计算问题,如：能做多项式的计算、因式分解和展开等；l 做各种有理式计算，求多项式、有理式方程和超越方程的精确解和近似解；l 做向量、矩阵的各种计算；l 求极限、导数、积分，做幂级数展开，求解某些微分方程等；l 做任意位数的整数或分子分母为任意大整数的有理数的精确计算，做具有任意位精度的数值（实、复数值）的计算l 可以很方便地画出用各种方式表示的一元和二元函数的图形,通过图形

3、,可以立即形象地掌握函数的某些特性，而这些特性一般是很难从函数的符号表达式中看清楚第一章 基本知识与基本操作1.1 Mathematica的基本语法特征 使用Mathematica，一定要牢牢记住： l Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名； l 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出， 内部函数一般写全称， 而且一定是以大写英文字母开头， 如Sinx,Cosz等； l 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 32*36 , 2 Sinx2* Sinxl 乘幂可以用“”表示，如x0.5 表示： Tanxy 表示： l 自定义的变

4、量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头 l 当你赋予变量任何一个值，除非你：明显地改变该值或 使用Clear变量名或 使用“变量名=.”取消该值，否则它将始终保持原值不变 l 一定要注意四种括号的用法：( )： 表示项的结合顺序，如： (x+(yx+1/(2x)； ： 表示函数，如：Logx, Sinx； ： 表示一个“表”(即是一组数字、或任意表达式、或函数等的一个有序集合)，如：2x,Sin12 Pi，A，1, 1+A,y*x，1，2； ： 双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如：a2,3表示：； 3,5,72=5 l Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分

5、为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）l 当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果l Mathematica命令中的标点符号必须是英文的1.2 Mathematica的启动、基本操作1.2.1 启动“Mathematica”：在windows操作系统中安装了Mathematica后，与其他的常用软件一样，可从“开始”“程序”“Mathematica5” Mathematica的主窗口并出现第一个notebook窗口（Untitled-1）:1.2.2 简单使用：例1.1 计算 33 的值 在“ntitled”窗口中输入： 329/412+33 按下

6、“ShiftEnter”（或数字键盘上的Enter键）,就得到计算结果：其中“In1:=”是Mathematica自动加上的，表示第一个输入；“Out1:=”表示第一个输出一般地：Inn:= 表示第n个输入Outn:=表示第n个输出注意：“Inn:=” 自动加上的，不能人工输入!1.2.3 保存结果：保存方法同一般的Windows软件：“文件” “保存”“另存为”窗口 在“查找范围”内找到目标文件夹 输入文件名（比如输入“1”）“ ”Mathematica 4或Mathematica 5的文件的后缀是“nb”，当输入“1”时，即产生文件“1.nb”1.2.4 打开文件1.nb启动Mathema

7、tica “文件”“打开” 打开”窗口： 在“查找范围”内找到文件“1.nb” “ ”即可1.2.5 退出Mathematica：与一般应用软件一样，单击右上方的“”按钮（或用菜单：“文件”“退出”）1.3 操作小技巧1.3.1Ctrl+K的用途Integratef,x是求：Integratef,x,xmin,xmax是求：如果只知道命令的首写字母， 可在输入该首写字母（要大写），再按下“Ctrl+K”组合键， 则所有以该字母为首的命令都列出来，只要用鼠标双击命令名就输入了该命令1.3.2使用前面已有的结果举例如下：例1.2 做如下操作：输入：Integratex2*(11-Sinx),x,-

8、1,1按：“ShiftEnter”； 输入：%，按：“ShiftEnter”； 输入：%，按：“ShiftEnter”；输入：%11，按：“ShiftEnter”； 输入：%31，按：“ShiftEnter”，计算结果如下：可见，“”表示前一个计算结果；“n”表示第n个计算结果.只要选定且删除此即可1.3.3 删除行： 见下图示1.4 数值计算系统默认的计算结果,是精确的N，取近似值函数，默认输出6位有效数字N，取近似值函数，指定输出3位有效数字N，取近似值函数，指定输出18位有效数字计算的值，输出18位有效数字Pi是系统中已定义的数学常数详见教材P171说明请看下例：1.5 赋值与替换X=.

9、 或Clearx 清除赋给x的值expr/.x-xval,y-yval 用xval、yval分别替换expr中的x、y清除变量的定义和值 例1.3 输入：x=3；y=4；w=x+y 计算将(x+y)2赋给z 输入：Clearx,y； 计算输入：z=(x+y)2 计算变量替换：用5代替表达式z中的变量x输入：z/.x-5 计算变量替换：分别用5、6代替表达式u中的变量x、y输入：Clearx,y； 计算 输入：u=x+y 计算 输入：u/.x-5,y-6 计算计算结果如下：1.6 自定义函数用户可以自行定义函数，一个函数一旦被定义好之后就可以象系的内部函数一样使用 “:=”是定义符左边f是函数名

10、,方括号内x是自变量，其后的下划线“_”不能少右边是函数的表达式例1.4 如要定义函数f(x)=x23x-2只要键入：fx_:=x2+3x-2即可又如要定义分段函数 可键入：gx_:= Whichx=0,2Sinx或 gx_:=Ifx0,x2+1,2Sinx请见以下计算结果：Solve是解方程或方程组的函数其格式为：Solveeqns,vars 其中方程用exp=0的形式（其中exp为未知元的表达式，“= =”必须是2个等号）；1.7 方程与方程组解例1.5 解方程: 输入：Solvex2-5x+6=0,x即可 解方程组未知数列表 方程列表 输入： Solvex+y=1,3x2-y2=0,x,

11、y即可（结果见下图）加载解不等式的程序包，这是必须的，可谓是固定的格式， “ ”为键盘上的小于号, “”为数字键1的左侧的Algebra 代数类 InequalitySolve 解不等式程序包1.8 解不等式与不等式组例1.6 解不等式组变量列表不等式列表 输入: AlgebraInequalitySolve InequalitySolvex2-5x-60, x即可解不等式绝对值函数 输入： 3, x即可（结果见下图）注： Mathematica系统有内部函数.还有一些系统扩展的功能但不是作为内部函数的、以文件的形式存储在磁盘上的文件，要使用它们，必须用一定的方式来调用这些文件，这些文件我们称

12、之为程序包. 调用方式之一如上所述：AlgebraInequalitySolve函数类中的这个函数类名，此处是函数类 或用： NeedsAlgebraInequalitySolve1.9 由递推式求数列的通项公式例1.7 设 求数列的通项公式离散类中的这个函数离散类 只要输入： 调用程序包 100即可（结果见下图）第二章 运用Mathematica实现高等数学中的基本运算极限、导数和积分是高等数学中的主要概念和基本运算，如果你在科研中遇到较复杂的求极限、求导数或求积分问题，Mathematica可以帮你快速解决这些问题。 Mathematica 提供了方便的命令使这些运算能在计算机上实现，使一

13、些难题迎刃而解。2.1 求极限运算极限的概念是整个高等数学的基础，对表达式进行极限分析也是数学里很重要的计算分析。Mathematica提供了计算函数极限的命令的一般形式为：Limit函数, 极限过程具体命令形式为命令形式1:Limitf, x-x0功能:计算 , 其中f是x的函数。命令形式2:Limitf, x-x0, Direction-1功能:计算，即求左极限, 其中f是x的函数。命令形式3:Limitf, x-x0, Direction-1功能:计算，即求右极限，其中f是x的函数。注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Mathematica的默认状态为求右极限。例题：例2.1

14、 求极限解：Mathematica 命令为In1:=Limit1/(x Logx2)-1/(x-1)2, x-1Out1=此极限的计算较难，用Mathematica 很容易得结果。例2.2 求极限解：Mathematica 命令为In2:=Limit(1+1/n)n, n-InfinityOut2=E例2.3写出求函数在x-0的三个极限命令解：Mathematica 命令为1.LimitExp1/x, x-0 2.LimitExp1/x, x-0, Direction-13.LimitExp1/x, x-0, Direction-1读者可以比较其结果，观察区别。例2.4 求解：Mathemat

15、ica 命令为In3:=LimitIntegrateExpt2, t,0,x2/Integratet Expt22,t,0,x, x-0Out3=2 命令中的“Integrate”表示求定积分（见4.4节）例2.5求极限解:若输入命令 In4:=Limit IntegrateArcTant2, t,0,x / Sqrt1+x2 , x-+Infinity 屏幕会出现如下的红色英文提示信息: On:none: Message SeriesData:csa not found. ComplexInfinity + encountered.说明不能得出正确结果。此时可以借助人工处理，如用一次洛必达法

16、则后再求极限:In5:=LimitArcTanx2/(x/Sqrt1+x2), x-InfinityOut5=2.2 求导数与微分2.2.1 求一元函数的导数与微分 导数是函数增量与自变量增量之比的极限，一元函数求导有显函数求导、参数方程求导和隐函数求导，Mathematica 对应的命令有：l 显函数求导命令形式1: Df, x 功能:求函数f对x的偏导数。命令形式2: Df, x, n 功能:求函数f对x的n阶偏导数。例2.6 变上限函数求导解：Mathematica 命令为In6:=DIntegrateSqrt1-t2, t,0,x2, x Out6= In7:=Simplify% Ou

17、t7= l 参数方程求导对参数方程所确定的函数y=f(x)，根据公式和命令形式1，可用三个Mathematica命令实现对参数方程的求导: r=Dx, t； s=Dy,t； Simplifys/r或用Mathematica自定义一个函数：pDx_, y_, t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/r来实现。例2.7求参数方程的一阶导数。解:Mathematica命令In8:=x=t*(1-Sint);y=t*Cost; s=Dy,t; r=Dx,t; Simplifys/r Cost - t SintOut8= - 1 - t Cost - Sint或In9:=

18、 pDx_,y_,t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/rIn10:= pDt*(1-Sint ), t*Cost, t Cost - t SintOut10= - 1 - t Cost - Sintl 隐函数求导由方程f(x, y) = 0所确定的函数y=y(x)的导数可用一个自定义函数完成，这个函数为 impDeqn_,y_,x_:=Modules, r, t, s=Deqn, x, NonConstants-y; r=Solves, Dy, x, NonConstants-y; t=Dy,x, NonConstants-y/.r; Simplifyt 注

19、：这里NonConstants-y指出y不是常数，eqn为f(x, y) = 0，但等号要双写。例2.8 求所确定的函数y=y(x)的导数。解:Mathematica命令In11:= impDeqn_, y_, x_:=Modules,r,t, s=Deqn,x,NonConstants-y; r=Solves,Dy,x, NonConstants-y; t=Dy,x, NonConstants-y/.r;Simplifyt In12:=impDExpy+x*y-E=0, y, x Out12= l 微分 微分是函数增量的线性主部，函数y=f(x)的微分与导数的关系为dy = df =f (x

20、)dx，Mathematica命令为： 命令形式：Dtf 功能:对函数f(x)求微分df例2.9 求和y=sinv的微分.解:Mathematica命令In13:=DtSinx2 Out13=2 x Cosx2 DtxIn14:=DtSinv Out14=Cosv Dtv2.2.2 求多元函数偏导数与全微分l 偏导数对多元函数f(x1,x2,xn)的求导数的命令有如下几个：命令形式1: Df, x 功能:求函数f对x的偏导数；命令形式2: Df, x1, x2, 功能:求函数f高阶混合偏导数；命令形式3: Df, x, NonConstants-v1,v2,功能:求函数f对x的偏导数，其中v1

21、,v2,是关于x的函数。例题例2.10 求z=asin(xy)对y和对z的偏导数.解:Mathematica命令In15:=Da*Sinx*y, yOut15=axCosx yIn16:=DExpx+y+z2, zOut16=例2.11 对函数,求解:Mathematica命令In17:=Dx3 *y2+Sinx*y, x, yOut17=例2.12 对函数, 求解:Mathematica命令 In18:=Dx3 *y2+Sinx y, x,3 Out18=例2.13 ，其中y，z是x的函数。解:Mathematica命令In19:=Dx2+y2+z2, x, NonConstants-y,

22、zOut19=2 x + 2 y Dy, x, NonConstants - y, z + 2 z Dz, x, NonConstants - y, z其中:Dy, x, NonConstants - y, z和Dz, x, NonConstants - y, z分别表示y对x和的z对x的导数。l 全微分多元函数f(x,y,z,)的全微分命令同一元函数的微分，其命令为：命令形式: Dtf 功能:求函数f的全微分。例2.14 求的全微分dz。解:Mathematica命令In20:=Dtx2+y2Out20=2 x Dtx + 2 y Dty 如果多元函数的变量都是或部分是某一个变量的函数，则该

23、函数关于此变量的导数称为的全导数，Mathematica有如下两个求全导数的命令： 命令形式1: Dtf, x 功能:求函数f的全导数。命令形式2:Dtf, x, Constants-c1,c2,功能:求函数f的全导数，其中f中的变元与x无关。注意:Df, x与Dtf, x的区别。例2.15 求的全导数，其中y是x的函数。解:Mathematica命令In21:=Dtx2+y2,xOut21=2 x + 2 y Dty, x例2.16 求，其中y是与x无关的独立变量。解:Mathematica命令In22:=Dtx2+Sinx y+z2, x, Constants-yOut22=2 x + y

24、 Cosx y + 2 z Dtz, x, Constants - y2.3 求不定积分 高等数学中求不定积分是较费时间的事情，在Mathematica中，只要输入一个命令就可以快速求出不定积分来。命令形式:Integratef, x功能:计算不定积分。例2.17计算解:Mathematica命令In23:=Integrate1/(Sinx2 Cosx2),xOut23=-(Cos2 x Cscx Secx)2.4 求定积分 定积分的计算是实际问题中经常遇到的问题，定积分计算同样也是较费时间的事情，而且有时还会遇到因求不出原函数而积不出结果的情况，这些在Mathematica中，也只要输入一个命令就可以快速求出定积分值来。命令形式1: Integratefx,x,xmin,xmax功能:计算定积分，xmin，xmax分别表示积分变量的下限和上限。命令形式2: NIntegratefx,x,xmin,