圆锥曲线离心率专题

1、圆锥曲线离心率专题训练1已知 F1， F2 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得 PF1 PF2 ，则椭圆离心率的取值范围是（）A B ，1）C（ 0， D（0， ，1）2二次曲线时，该曲线离心率e 的范围是（）A B CD3椭圆焦点在 x 轴上， A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点， OPA=90 ，则该椭圆的离心率 e 的范围是（）A B（ ， 1）C ，D（0， ，1）4双曲线的离心率 e（ 1， 2），则 k 的取值范围是（）A（ ，0）B（3，0）C（ 12， 0）D （ 60， 12）5设 F ， F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足 F PF =120，则椭圆的离心

2、率的取值范围是（）1212A B CD6已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e 的取值范围（）A B CD7已知椭圆x2+my 2=1 的离心率，则实数m 的取值范围是（）A B CD 8已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F1， F2 且它们在第一象限的交点为 P， PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1， 2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（ 0， ）B（，）C（，）D（ ，1）9椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是3b 2， 4b2 ，则该椭圆的离心率e 的

3、取值范围是（）A B CD精品文档10如图，等腰梯形ABCD 中， AB CD 且 AB=2 ， AD=1 ，DC=2x（ x（ 0， 1）以 A ， B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为e1；以 C，D 为焦点，且过点 A 的椭圆的离心率为e2，则 e1 +e2 的取值范围为 （）A2， +）B（ ， +）CD （， +）， +）11已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（ 1，0）与点（ 1，0）到直线的距离之和为S，且 S，则离心率e 的取值范围是（）ABCD12已知 F ， F是椭圆的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得 F PF =60 ，则椭1212圆离心率 e 的取值范

4、围是（）A B CD13已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（ a，b，cR）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率， 则的取值范围是（）A B CD14已知椭圆上到点 A （ 0， b）距离最远的点是B （0， b），则椭圆的离心率的取值范围为（）ABCD15已知双曲线的中心在原点，焦点x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为 ，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A B C（ 1， 2）D16已知双曲线 =1 的两焦点为 F 、 F，点 P 在双曲线上， F PF的平分线分线段 F F的比为 5：1，则121212双曲线离心率的取值范围是（）A（ 1， B（1， ）C（

5、2， D（， 2.精品文档17椭圆+=1（ ab 0）上一点 A 关于原点的对称点为B，F 为其右焦点， 若 AF BF，设 ABF=a ，且 a，则该椭圆离心率的取值范围为（）A B ， C， 1）D， ，118已知椭圆的左、右焦点分别为F（ c， 0）， F （ c， 0），若椭圆上存在点 P 使12，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A（ 0，）B ）C（ 0，）D （，1）（19已知直线 l ：y=kx+2 （ k 为常数）过椭圆的上顶点B 和左焦点22截得F，且被圆 x +y =4的弦长为L ，若，则椭圆离心率e 的取值范围是（）ABCD20双曲线的焦距为2c，直线 l 过点（ a，

6、0）和（ 0， b），且点（ 1， 0）到直线l 的距离与点（ 1， 0）到直线 l 的距离之和则双曲线的离心率e 的取值范围是（）ABCD21点 A 是抛物线 C1： y2=2px （ p 0）与双曲线 C2：（ a 0，b 0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线 C1 的准线的距离为p，则双曲线 C2 的离心率等于（）A B CD22在椭圆上有一点 M ， F1， F2 是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A B CD23椭圆+y2=1 上存在一点 P，使得它对两个焦点F1， F2 的张角 F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A B ，1）C（ 0， D ， 1）（0，

7、 .精品文档24椭圆（a b 0）上存在点 P 到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是 （）A（ 0，1）B （ 0，CD25椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有6 个不同的点 P，使得 F1F2P为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A BCD26设 A 、A2为椭圆的左右顶点， 若在椭圆上存在异于A 、A的点 P，使得，112其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）A B CD27已知点 F 、 F 分别是双曲线=1 的左、右焦点，过F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A、B 两点，121若 A 、B 和双曲线的一个顶点构成的三

8、角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A（ 1，1+）B（1，）C（1， 1+）D（1，2）28如图，已知A （ 2， 0）， B（ 2， 0），等腰梯形ABCD 满足 |AB|= 2|CD|， E 为 AC 上一点，且又以 A 、B 为焦点的双曲线过C、 D、 E 三点若，则双曲线离心率e 的取值范围为（）ABCD29已知椭圆（ a b0）上一点A 关于原点的对称点为B ， F 为其右焦点，若AF BF，设 ABF= ，且，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）ABCD30已知 P 为椭圆（a b 0）上一点， F， F是椭圆的左、右焦点，若使 PF F 为直角三角形的点 P1

9、212有且只有4 个，则椭圆离心率的取值范围是（）A（ 0，）B（ ， 1）C（ 1， ）D （， +）.精品文档参考答案与试题解析1已知 F1， F2 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得 PF1 PF2 ，则椭圆离心率的取值范围是（）A B ，1）C （0， D（0， ，1）解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点设椭圆上任意一点P（ x0，y0），则，可得 |OP|2= +=b2，当且仅当 x0=0 时取等号 椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点若椭圆上存在点P，使得 PF1222 2c2，化为，解得 PF，则 cb， c b =a又 e 1，故

10、选 B2二次曲线时，该曲线离心率e 的范围是（）ABCD解： m 2， 1 ， 该曲线为双曲线，a=2， b2= m， c=离心率 e= m 2， 1 ， e故选 C.精品文档3椭圆焦点在 x 轴上， A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点， OPA=90 ，则该椭圆的离心率e 的范围是（）A B（ ， 1）C ，）D（0，） ，1）解：可设椭圆的标准方程为：（ a b 0）设 P（ x，y）， OPA=90 ， 点 P 在以 OA 为直径的圆上该圆为：，化为 x2 ax+y2=0联立化为（ b2a2） x2+a3xa2b2=0 ，则，解得， 0 x a， ，化为 c2 b2=a2 c2，又 1

11、e 0解得 该椭圆的离心率e 的范围是故选： C4双曲线的离心率 e（ 1， 2），则 k 的取值范围是（）A （，0）B（3，0）C （ 12， 0）D （ 60， 12）解： 双曲线的离心率 e（1， 2）， 双曲线标准方程为：=1 k0， 1 e24， 1 4， 12 k 0，故答案选 C5设 F1， F2 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足 F1PF2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（）A B CD解： F1（ c， 0）， F2（ c， 0），c 0，设 P（ x1， y1），则 |PF1|=a+ex1， |PF2|=a ex1.精品文档在 PF1F2 中，由余弦定理得co

12、s120=，解得 x12= x12（ 0， a2 ， 0 a2，即 4c2 3a20且 e2 1 e= 故椭圆离心率的取范围是e故选 A6已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e 的取值范围（）A BCD 解：不防设椭圆方程：（ a b 0），再不妨设： B （ 0， b），三角形重心G（c， 0），延长 BG 至 D ，使 |GD|=，设 D （x， y），则，由，得：，解得：，而 D是椭圆的内接三角形一边AC 的中点，所以， D 点必在椭圆内部，则把 b2=a2 c2 代入上式整理得：即又因为椭圆离心率e（ 0， 1），所以，该椭圆离心率e 的

13、取值范围是故选 B7已知椭圆x2+my 2=1 的离心率，则实数m 的取值范围是（）ABCD.精品文档22解：椭圆x +my =1 化为标准方程为 若 1，即 m1， 若，即 0 m 1， 实数 m 的取值范围是故选 C8已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F1， F2 且它们在第一象限的交点为 P， PF1 21为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1， 2），则该椭圆的离心率的取F是以 PF值范围是（）A（0， ）B（，）C（，）D（ ，1）解：设椭圆的方程为+=1 （a b 0），其离心率为e1，双曲线的方程为=1（ m 0， n0），|F

14、1F2|=2c， 有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P， PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形， 在椭圆中， |PF1|+|PF2|=2a，而 |PF2|=|F1F2|=2c， |PF1|=2a 2c； 同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c ； 由 可得 a=m+2c e2= （ 1，2）， =1，又 e1=， = +2（ ， 3）， e1 .精品文档故选 C9椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是3b 2， 4b2 ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A B CD解：在第一象限内取点（x， y），设 x=acos，y=bsin ，（ 0 ）则椭圆的内接矩形长为2acos

15、，宽为 2bsin，内接矩形面积为2acos?2bsin=2absin22ab，22平方得： 9b24a216b2，9（ a2 c2）4a216（ a2 c2），22且225a9c12a 16c， 即 e故选 B10如图，等腰梯形ABCD 中， AB CD 且 AB=2 ， AD=1 ，DC=2x （ x（ 0， 1）以 A ， B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为e1；以 C，D 为焦点，且过点 A 的椭圆的离心率为 e2，则 e1 +e2 的取值范围为 （）A2， +）B（ ， +）CD （， +）， +）解： BD=， a =， c =1， a =， c =x，1122 e1=， e

16、2=， e1e2=1但 e1+e2中不能取 “=”， e1+e2=+=+，令 t= 1（ 0， 1），则 e1+e2=（ t+）， t（ 0， 1）， e1+e2（ ， +） e1+e2 的取值范围为（ ， +）故选 B.精品文档11已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（ 1，0）与点（ 1，0）到直线的距离之和为S，且 S，则离心率e 的取值范围是（）ABCD解：直线l 的方程为，即 bx ay ab=0由点到直线的距离公式，且a 1，得到点（ 1，0）到直线l 的距离d1=，同理得到点（1，0）到直线l 的距离 d2=，s=d1+d 2=由 S，即得?a2c2于是得 4e4 25e2+

17、25 0解不等式，得由于 e 1 0，所以 e 的取值范围是e故选 A12已知 F1， F2 是椭圆的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得 F1PF2=60 ，则椭圆离心率 e 的取值范围是（）A B CD解：如图，当动点 P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角 F PF渐渐增大，12当且仅当 P 点位于短轴端点P0处时，张角 F1PF2 达到最大值由此可得： 存在点 P 为椭圆上一点，使得F PF =60，12 P0F1 F2 中， F1P0F260，可得 Rt P0OF2 中， OP0F230，所以 P0O OF2，即 bc，其中 c= a2 c23c2，可

18、得 a24c2，即 椭圆离心率e=，且 a c 0故选 C.精品文档13已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（ a，b，cR）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率， 则的取值范围是（）A B CD解：设 f （ x）=x 3+2ax2+3bx+c ，由抛物线的离心率为1，可知 f （ 1） =1+2a+3b+c=0 ，故 c= 1 2a 3b，所以 f（ x） =（x 1） x2 +（ 2a+1） x+（ 2a+3b+1 ） 的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故 g（ x）=x 2+（ 2a+1） x+ （ 2a+3b+1），有两个分别属于（0， 1），（ 1，

19、+）的零点，故有 g（ 0） 0， g（ 1） 0，即 2a+3b+1 0 且 4a+3b+3 0，则 a， b 满足的可行域如图所示，由于，则 P（ 1， ）而表示（ a，b）到（ 0， 0）的距离，且（ 0， 0）到 P（ 1，）的距离为d=可确定的取值范围是（，+）故答案为： A 14已知椭圆上到点 A （ 0， b）距离最远的点是B （0， b），则椭圆的离心率的取值范围为（）ABCD解：设点P（ x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为.精品文档 |PA|2=x 2+（ y b） 2=f （ y）， 椭圆上的点 P 到点 A （ 0， b）距离最远的点是 B（ 0， b），由二次函数的单

20、调性可知： f （ y）在（ b， b）单调递减，化为 c2b2=a2 c2，即 2c2a2，又 e 0 离心率的取值范围是故选： C15已知双曲线的中心在原点，焦点x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为 ，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A B C （1， 2）D解： 双曲线的焦点在 x 轴上，故其渐近线方程为 y=x则 tan=， 1 tan，即1 1=3 求得 2故选 B16已知双曲线 =1 的两焦点为 F1、 F2，点 P 在双曲线上， F1PF2 的平分线分线段 F1F2 的比为 5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A（1， B（1， ）C （2， D（， 2解：根据内角平分

21、线的性质可得= ，再由双曲线的定义可得5PF2 PF =2a， PF =，由于PF = c a，c， 222再由双曲线的离心率大于1 可得， 1e ，故选A .精品文档17椭圆+=1（ ab 0）上一点 A 关于原点的对称点为B，F 为其右焦点， 若 AF BF，设 ABF=a ，且 a，则该椭圆离心率的取值范围为（）A B ， C， 1）D， ，1解： B 和 A 关于原点对称 B 也在椭圆上设左焦点为 F根据椭圆定义： |AF|+|AF |=2a又 |BF|=|AF | |AF|+|BF|=2a O 是 Rt ABF 的斜边中点， |AB|=2c又 |AF|=2csin |BF|=2cco

22、s 代入 2csin+2ccos=2a =即 e= a， ，+/4sin（ +）1e故选 B18已知椭圆的左、右焦点分别为F1（ c， 0）， F2（ c， 0），若椭圆上存在点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A（0，）B ）C（0，）D （， 1）（解：在 PF1F2 中，由正弦定理得：则由已知得：，即： aPF1 =cPF2设点 P（ x0， y0）由焦点半径公式，得： PF1=a+ex0， PF2=a ex0 则 a（a+ex0） =c（ aex0）解得： x0=由椭圆的几何性质知：x0 a 则 a，.精品文档2整理得 e +2e 1 0，解得： e 1 或 e 1，又 e（ 0

23、， 1），故椭圆的离心率：e（1， 1），故选 D19已知直线l ：y=kx+2 （ k 为常数）过椭圆的上顶点B 和左焦点F，且被圆 x2+y2=4 截得的弦长为L ，若，则椭圆离心率e 的取值范围是（）ABCD解：圆 x2+y 2=4 的圆心到直线l ： y=kx+2 的距离为d=22L ， 直线 l： y=kx+2 被圆 x +y =4 截得的弦长为 由垂径定理，得2，即，解之得 d2 ，解之得 k2 直线 l 经过椭圆的上顶点B 和左焦点 F， b=2 且 c=，即 a2=4+因此，椭圆的离心率e 满足 e2= k2， 0 ，可得 e2（ 0，故选： B20双曲线的焦距为2c，直线 l

24、 过点（ a， 0）和（ 0， b），且点（ 1， 0）到直线l 的距离与点（ 1， 0）到直线 l 的距离之和则双曲线的离心率e 的取值范围是（）ABCD解：直线l 的方程为+=1，即 bx+ay ab=0由点到直线的距离公式，且a1，得到点（ 1， 0）到直线l 的距离，同理得到点（1， 0）到直线l 的距离 .，.精品文档由，得于是得52e2，即 4e4 25e2+25 0解不等式，得e25由于 e 1 0，所以 e 的取值范围是故选 D2（ a0，b 0）的一条渐近线的交点，若点A 到21点 A 是抛物线 C1：y =2px （ p 0）与双曲线 C2：抛物线 C1 的准线的距离为p，

25、则双曲线 C2 的离心率等于（）A B CD解：取双曲线的其中一条渐近线：y= x，联立?；故A（，） 点 A 到抛物线C1 的准线的距离为p，+=p； = 双曲线 C2 的离心率e=故选： C22在椭圆上有一点 M ， F1， F2 是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A B CD解：由椭圆定义可知： |MF |+|MF|=2a，12所以 ，在 MF12中，由余弦定理可知 F.精品文档又， ，由 可得： 4c2=4a2 4b2 2|MF 1|?|MF2|cos所以 |MF1|?|MF2|cos=0 所以 cb，即 c2b2=a2c2， 2c2a2，所以 e故选 B23椭圆2上存在一

26、点 P 对两个焦点1212，则该椭圆的离心率的取值范围是（）+y =1F， F的张角 F PF =A B ，1）C （0， D ，1）（0， 解： 椭圆方程为：+y2=0， b2=1，可得 c2=a2 1，c= 椭圆的离心率为 e=又 椭圆上一点 P，使得角 F1PF2 =， 设点 P 的坐标为（ x0， y0），结合 F1（ c， 0）， F2（ c， 0），可得=（ c x0， y0），=（ c x0， y0），=+=0 P（ x002上，y）在椭圆+y =1=1，代入 可得+1=0将 c2=a2 1 代入，得 a2+2=0 ，所以=， ax0a，即，解之得 1 a22 椭圆的离心率e=，

27、 1）24如果椭圆（ a b 0）上存在点P，使 P 到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）.精品文档A （ 0，1）B （ 0，CD解：设 P（x， y）， P 到原点的距离等于该椭圆的焦距， x2+y 2=4c2P在椭圆上， 联立 得， 0x2a2 e故选 C25椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有6 个不同的点 P，使得 F1F2P为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A BCD解： 当点 P 与短轴的顶点重合时， F1F2 P 构成以 F1F2 为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰 F1 F2P； 当 F1F2P 构成以

28、F1F2 为一腰的等腰三角形时，以 F2P 作为等腰三角形的底边为例， F1F2 =F1P，点 P在以 F1为圆心，半径为焦距 2c的圆上因此，当以 F1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰 F1F2P，此时 a c2c，解得 a3c，所以离心率 e当 e= 时， F1F2P 是等边三角形，与 中的三角形重复，故e同理，当 F1e且 e 时也存在1 2P 为等腰三角形的底边时，在2 个满足条件的等腰 F F P这样，总共有6 个不同的点 P 使得 F1F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e（ ， ） （ ， 1）.精品文档26设 A 、A

29、2为椭圆的左右顶点， 若在椭圆上存在异于A 、A的点 P，使得，112其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）A B CD解： A1（ a， 0）， A 2 （a， 0），设 P（ x，y），则=（ x， y），=（a x， y），22， （ a x）（ x） +（ y）（ y） =0， y =ax x 0， 0 x a代入=1，整理得（ b2 a2） x2+a3x a2b2=0 在（ 0， a ）上有解，令 f（ x） =（ b2 a2） x2+a3x a2b2=0 ， f（0） = a2b20， f（ a） =0，如图： =（ a3） 2 4（ b2 a2） （ a2b2） =a2（ a4 4a2b2+4b 4 ） =a2（a2 2c2） 20， 对称轴满足0 a，即0 a， 1，又01，1，故选D27已知点 F1、 F2 分别是双曲线=1 的左、右焦点，过F1 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、 B 两点，若 A 、B 和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值