高二理科数学圆锥曲线单元测试

1、试卷第1页，总4页 高二年单元考试试卷（圆锥曲线） 一、选择题（60分） 1 已知双曲线?222:1016xyCaa?的一个焦点为?5,0，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. 4312xy? B. 4410xy? C. 1690xy? D. 430xy? 2平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A、B的坐标分别为(1,1)、?3,3?. 若动点P满足OPOAOB?uuuruuuruuur，其中?、R?，且1?，则点P的轨迹方程为 A. 0xy? B. 0xy? C. 230xy? D. ?22125xy? 3抛物线22(0)ypxp?上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是（

2、 ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4椭圆221mxy? 的离心率是32，则它的长轴长是（ ） A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2或4 5设经过点?2,1?的等轴双曲线的焦点为12,FF，此双曲线上一点N满足12NFNF?uuuvuuuuv，则12NFF?的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 6抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24yx?的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点?3,1M射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则

3、直线AB的斜率为（ ） A. 43? B. 43 C. 43? D. 169? 7已知点12,FF是椭圆2222xy?的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么12PFPF?uuuvuuuuv的最小值是（ ） A. 2 B. 22 C. 0 D. 1 试卷第2页，总4页 8 椭圆22221xyab?（0ab?）上存在一点? 满足F2 ?， F 为椭圆的左焦点， ?为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A. 10,2 ? B.20,2? ? ? ? ? C. 1 ,12? ? ? ? D. 2,1 2? ? ? 9把离心率512e?的曲线?2222:10,0xyCabab?称之为黄金双

4、曲线若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆O，则圆O与黄金双曲线C（ ） A. 无交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 有4个交点 10已知，则方程是与在同一坐标系内的图形可能是 ( ） A B C D 11设直线?1ykx?与抛物线24yx?相交于?、?两点，抛物线的焦点为F，若F2F?uuuvuuuv，则k的值为（ ） A. 233? B. 223? C. 322? D. 332? 12已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题(20分) 13已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交

5、轴于点若为的中点，则_ 14抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则_ 试卷第3页，总4页 15 已知椭圆 离心率为， 双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16 ，则椭圆的方程为_ 16设椭圆2222x: 1(ab0)yCab?的左右焦点为1 2,FF，过2F作x轴的垂线与C相交于,AB两点，1FB与y轴相交于D ， 若1ADFB?，则椭圆C的离心率等于 . 三、解答题 17（ 10分）设命题p：方程221231xykk?表示双曲线；命题q：斜率为k的直线l过定点?2,1,P?且与抛物线24yx?有两个不同的公共点若pq?是真命题，求k的取值范

6、围 18（12分）（1）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，求椭圆的标准方程。 （2）已知双曲线过点?4,3,且渐近线方程为12yx?,求该双曲线的标准方程。 19（12分）已知双曲线C： 22221xyab?的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点。 (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长。 试卷第4页，总4页 20（12分）过抛物线?2:20Cxpyp?的焦点F作直线l与抛物线C交于,AB两点，当点A的纵坐标为1时， 2AF?. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的斜率为2，问抛物线

7、C上是否存在一点M，使得MAMB?，并说明理由. 21（12分）已知椭圆C 过点31,2A?，两个焦点为?1,0,1,0?. （1）求椭圆C的方程； （2）,EF是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点. 22（12分）已知椭圆C 的离心率为32，点A， B， F分别为椭圆的右顶点、上 顶点和右焦点，且312ABFS? （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l： ykxm?被圆O： 224xy? 所截得的弦长为23，若直线l与椭圆C交于M， N两点，求MON?面积的最大值 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第1页，总 11页

8、参考答案 1D 【解析】由题得c=5,则22169ac? ，即a=3, 所以双曲线的渐近线方程为 43yx? ，即430x y? ，故选D 2C 【解析】设 ?,Pxy , 则3,3,26xyyxx y? ? 因此 123026xyyxxy?,选C. 3B 【解析】横坐标为6的点到焦点的距离是10，该点到准线的距离为10， 抛物线的准线方程为 ， 故选B 4D 【解析】把椭圆221mxy? 方程转化为： 22111xym? 分两种情况：11m?时椭圆的离心率32 则： 11314mm?解得：m=14进一步得长轴长为4 11m?时 椭圆的离心率32 ，则：长轴长为2 故选：D 点睛：在椭圆和双曲

9、线中，焦点位置不确定时，勿忘分类讨论. 5D 【解析】设等轴双曲线方程为22xy? ,因为过点?2,1?,所以2121221323,26NFNFFF? 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第2页，总11页 从而22212121212|2|12|212NFNFNFNFFFNFNF? 121212124212632NFNFNFNFSNFNF?,选D. 6A 【解析】令y=1,代入24yx? ，得14x? ，即114A（，）,由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0),所以 直线AB 的斜率为1041314k?，故选A 【答案】A 【解析】椭圆2222xy?， 即为2

10、212xy?， 则椭圆的2,1ab?，则由OP为12PFF?的中线， 即有?1212POPFPF?uuuvuuuvuuuuv，则122PFPFPO?uuuvuuuuvuuuv，可设?,Pxy， 则2212xy?，即 有2222211122xxPOxyx?uuuv，当0x?时，取得最小值1，则12PFPF?uuuvuuuuv的最小值为2，故选A. 8C 【解析】设?,Pxy，则 由F2?得?2,00xcyxayxcxay? ，因为 22221xyab? ，所以?2222,210abacxaxaaeec?10112ee?Q，选C. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关

11、于,abc的方程或不等式，再根据,abc的关系消掉b得到,ac的关系式，而建立关于,abc的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 9D 【解析】由题意 知512ca?，所 以22625511142bcaa?，因 为25112ba? ，所以1ba?，所以ba?，所以圆O与黄金双曲线C的左右两支各有2 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第3页，总11页 个交点，即圆O 与黄金双曲线C 由4个交点，故选 D. 10 A 【解析】 方程 即，表示抛物线，方程 表示椭圆或双曲线，当 和 同号时，抛物线开口向左，方程 表示椭圆，无符合条件的选项，当和异

12、号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，故选A. 11B 【解析】设?1122,MxyNxy ，因为F2F?uuuvuuuv，所以由抛物线定义得22121211221212,24,44,xxyyyxyxxx?Q ?1111222,2213yxykx?，选B. 12A 【解析】 如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： , ， 设, 则，在中根据余弦定理可得到 化简得： 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第4 页，总11页 该式可变成： , 故选 点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后

13、再利用余弦定理求出与 的数量关系，最后利用基本不等式求得范围。 13 【解析】如图所示， 不妨设点M 位于第一象限， 设抛物线的准线与 轴交于点， 作 与点 ， 与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则 ，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故 点睛: 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距 离、抛物线上的点到准线的距离) 进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦 问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化 14

14、【解析】由抛物线可知焦点 ，准线 ，由于为等边三角形，设 AB与y轴交于M,FM=P,即，填。 【点睛】 对于圆锥曲线要先定位，再定量，本题的抛物线焦点是在y轴正半径。所以求出抛物线的焦 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第5页，总11页 点坐标与准线方程，再把准线方程与双曲线组方程组算出B点坐，再由等边三角形，可解的P, 15 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4， 在椭圆上， ， 椭圆方程为： 故答案为： 1633 【解析】 试题分析：连接1AF，ABOD，O为21FF的中点，D为1BF的中点，又1ADFB?，AB

15、AF1?.21AF2AF?.设nAF2?，则n2AF1?，n3FF21?，33n3n3AFAFFFace2121?. 考点：椭圆离心率. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第6 页，总11页 【方法点晴】本题考查的是椭圆的几何性质 （离心率问题）， 属于中档题. 本题的切入点就在原点O上，利用平行关系，推出D点也是中点，从而思路豁然开朗.解析几何的中心思想就是数形结合，善于抓图像的性质，是解好解析几何题的关键所在，特别是小题.离心率问题是重点题型，主要思路就是想方设法去建立ca、的等或者不等的关系即可. 17 【解析】试题分析：（1）命题p中式子要表示双曲线，只需，对于

16、命题q：直线与抛线有两上不同的公共点，即设直线21ykxk?与抛物线方程组方程组，只需，解出两个不等式（组）中k的范围，再求出交集。 试题解析：命题真，则，解得或， 命题为真，由题意，设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足， 解得且 若是真命题，则 所以的取值范围为 18（1） （2）2214xy? 【解析】试题分析：（1）由已知，先确定 的值，进而求出 ，可得椭圆的标准方程 （2）由已知可得双曲线焦点在轴上且，将点代入双曲线方程，可求出本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第7页，总11页 ，即得双曲线的标准方程 试题解析： （

17、1）由椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4 ，得，即 （2）试题分析：由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为2214 xy? ，代入点?4,3得1?，所以双曲线方程为2214xy ? ? 考点：双曲线方程及性质 19（1）22136x y ?（2）1635 【解析】试题分析：（1）由椭圆过点(3，0)得a，再由离心率求c，最后根据勾股数求b;（2）先根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用弦长公式求 AB 的长 试题解析：（1）因为双曲线C： 22221x yab? 的离心率为3，点( 3，0)是双曲线的一个顶点， 所以3, 3,

18、 6acb?，即22136xy?（2）经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30 的 直线l： ?333yx? 与双曲线联立方程组消y得212956270,35xxxx? ，由弦长公式解得12113ABx x ? 1635 点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法 20（1）2:4Cxy?；（2）存在点?6,9,6,9 MM?. 【解析】【试题分析】（1）运用抛物线的定义建立方程122p?求出2p?；（2）

19、借助题设条件MAMB?建立方程?1020160xxxx?，再运用根与系数的关系得到方程本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第8页，总11页 2004120xkx?，通过对判别式的研究发现有解，即所设的点存在： 解：（1 ）由抛物线的定义可得1222pp?，故抛物线方程为24xy?； （2）假设存在满足题设条件的点?00,Mxy，则设直线:+1ABykx?代入24xy?可得2440xkx?，设?1122,AxyBxy，则12124,4xxkxx?。因为?10102020,MAxxyyMBxxyy?uuuvuuuv，则由MAMB?可得： ?102010200xxxxyyyy?

20、，即? ?1020102011016xxxxxxxx?，也即?1020160xxxx?，所以2004120xkx?，由于判别式?2164816430k?，此时002,6xx?，则存在点?2,1,6,9MM?，即存在点?00,Mxy满足题设。 21 (1) 22143xy?；(2)证明见解析. 【解析】试题分析： (1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程； (2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论. 试题解析： （1）由题意可得： 224,3ab?，则椭圆C 的方程为22143xy? （2）设?1122,ExyFxy，直线EF方程为ykxb?， 221

21、43xyykxb?，得： ?2223484120kxkbxb? 由韦达定理： 122834kbxxk?， 212241234bxxk?， 由题意可知12123322211yyxx? ，即12123322211kxbkxbxx? 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第9页，总11页 ?122121331121122kxbxkxbxxx? 即?12121221202kxxbkxxb? ? kbkbkbkk? ?221224128123402kbbkkbbk? 22824274640bkkbbk? 22824274640bkkbbk? ?

22、22846424270kkbkk? ?284629230kkbkk? ?4292230bkbk? 924kb?或32bk? 当924kb?时，直线EF 方程9192424kykxkx?恒过定点19,24? 当32bk?时，直线EF 方程?33122ykxkkx?恒过定点31,2?与A点重合， 不合题意舍去， 综上所述，直线EF 恒过定点19,24?. 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系 (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形 22（1 ）2214xy?（2）当3t? ，即22k?时， MON面积取到最大值1 【解析】试题分析：利用离心率可以得出,ac的关系，化为,ab的关系，再利用ABF?的面本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第10页，总11页 积列出,abc的方程，借助222abc?解出,ab，写出椭圆方程，联立方程组，化为关于x的一元二次方程，利用设