立体几何专题复习讲义资料

1、1平行关系例题讲解: 例1 :已知四面体 ABCD中，M、N分别是 ABC和厶ACD的重心，求证:MN /平面ABD;(2)BD /平面 CMN。答案与提示：连 CM、CN分别交AB、AD于E、F，连EF，易证MN / EF / BD例2.已知边长为10的等边三角形 ABC的顶点A在平面a内，顶点B、C在平面a的上方，BD为AC边上的中线，B、C到平面a的距离BBi=2 , CCi=4.(1) 求证：BB1 /平面ACC1(2) 求证：BD丄平面 ACC1(3) 求四棱锥 A-BCC1B1的体积答案与提示：(3) 30 ；7例3已知FA丄平面ABCD，四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、P

2、C的中点.(1) 求证：MN /平面RAD ;(2) 求证：MN丄CD ;(3) 若平面PCD与平面ABCD所成二面角为 公垂线答案与提示：(3) 45备用题D、E分别为BC、AC的中点，设如图，在三棱锥 P-ABC中，FA丄面 ABC, ABC为正三角形,AB=2FA=2,(1) 如何在BC上找一点F，使AD /平面PEF ?说明理由;(2) 对于(1)中的点F，求二面角 P-EF-A的大小；答案与提示：(1) F为CD中点(2) arctan2作业1在正四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，AAi=2AB,点E、M分别为AiB、CiC的中点，过Ai,B,M三点的平面交CiDi于点N。(1)

3、 求证：EM /平面 ABCD ;(2) 求二面角B-AiN-Bi的正切值。答案与提示：(2) arctan542垂直关系例题讲解：D为AB的中点.例i :如图，在三棱锥 p-abc中，ab=bc=ca, pa丄底面abc ,(1) 求证：cd丄PB;i,求三棱锥p-abc的体积.(2) 设二面角A-PB-C的平面角为a,且tan a=7，若底面边长为答案与提示：(2) 18D B例2：已知ABCD A1b1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点.(1) 求证平面 bfd1e平面bgd1 ；(2) 求点G到平面BFDiE的距离； 求四棱锥a1-bfd

4、1e的体积.答案与提示：(2)a36 6例 3：四边形 ABCD 中.ad / BC, AD=AB，/ BCD=45 / BAD=90 将厶ABD 沿对角线 BD 折 起，记折起点 A的位置为P,且使平面PBD丄平面BCD .(1) 求证：cd丄平面pbd ；求证：平面 pbc丄平面pdc ；求二面角p bc d的大小.答案与提示：(2)先证PB丄面PCD (3)arctan 2备用题在三棱锥 SABC 中，已知 SA=4, AB=AC, BC=3 ,6，/SAB= / SAC=45,SA与底面 ABC 所的角为求证：SA丄BC;(2) 求二面角S BCA的大小；(3) 求三棱锥S ABC的体

5、积.2答案与提示：arctan 3 (3)9 .23作业1.在四棱锥 P-ABCD 中，已知 PD丄底面 ABCD，底面 ABCD为等腰梯形，且/ DAB =60 AB=2CD , / DCP=45 ,设 CD=a.(1) 求四棱锥P-ABCD的体积. 求证：AD丄PB.答案与提示：早a34BCD=90 / CBD=30 A2.如图，正三角形 ABC与直角三角形 BCD成直二面角，且/(1) 求证：AB丄CD ;(2) 求二面角 D AB C的大小；2答案与提示：(2)arcta n&33 空间角例1、如图1,设ABC-A1B1Ci是直三棱柱，F是A1B1的中点，且卜 _:-：-BiEl(1)

6、求证：AF丄A1C;(2)求二面角 C-AF-B的大小.解：(1)如图2,设E是AB的中点，连接 CE, EA1 .由ABC-A1B1C1是直三棱柱，知 AA1丄平面ABC，而 CE 平面 ABC，所以 CE丄 AA1 , AB=2AA1=2a, a AA1=a, AA1 丄 AE, 知 AAE 是正方形，从而 AF 丄 A1 E.而 AjE 是 A1 C 在平 面AAjFE上的射影，故AF丄A1C;C-AF-B的平面角. AA1FE是正方形，AA1 =a,A EG -E 迈 a2 2, a CG2a2 丄 a22a tan/CGE= CGEG6a _2、3 , / CGE = 60、2a2从

7、而 二面角C-AF-B的大小为60。例2、 一条长为A、B两点分别作两平面交线的垂线2的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与 成45角，与 成30角，过AC、BD，求平面 ABD与平面 ABC所成的二面角的大小.以CD为轴，将平ci 1面BCD旋转至与 平面ACD共面45iff T V M*CL3(FB以AB为轴，将平面ABD旋转至与 平面ABC共面V 211A-E1 45(2)设G是AB1与A1E的中点，连接CG 因为CE丄平面AA1B1B,AF丄A1E,由三垂线定理，CG丄AF , 所以/ CGE就是二面角解法1、角D AB C的平面角.过D点作DE丄AB于E，过E作EF丄AB交BC于

8、F(图1)，连结DF，则/ DEF即为二面为计算 DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图.在图2中，可计算得DE = 1, EF = 1 ,BEBF = COS3002.在移出图3中,3BDBC20 3 ,在厶BDF中，由余弦定理:cosB=、3 BF cosB= 2222 =333DF 2= BD 2+ BF 2-2BD=(2)2+ ( 2 )2 - 2(注：其实，由于 AB丄DE, AB丄EFAB丄平面 DEFAB丄DF .又 AC丄平面 , AC丄DF . DF丄平面 ABC,/ DF丄BC,即卩DF是RtA BDC斜边BC上的高，于是由 BC DF = CD BD可直接求得 DF

9、的长.)cos/ DEF =2 2 2DE EF DF2DE EF1 ( 1 )27312 1 -、3在厶DEF中，由余弦定理：3/ DEF = arccos .此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小.3解法2、过D点作DE丄AB于E,过C作CH丄AB于H，贝U HE是二异面直线 CH和DE的公垂线 段，CD即二异面直线上两点 C、D间的距离运用异面直线上两点间的距离公式，得：CD 2= DE 2+ CH 2+ EH 2- 2DE CH cos(*)亦即异面直线CH(注：这里的 是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当 Ov ow 90 与DE所成的角；当90。v v 180o，异

10、面直线所成的角为 180。一.)CD = DE = 1, CH =3 , HE = 1 ,2 2从而算得 cos = ,= arccos 二333 例3、如图1,直三棱柱ABC - A1B1C1的各条棱长都相等， D为棱BC上的一点，在截面 ADC 1中，若/ ADC 1 = 90, 求二面角D - AC1 - C的大小.解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形， / ADC1= 90o，即 AD 丄 C1D .又 CC1 丄平面 ABC, AD 丄 CC1. AD 丄侧面 BC1,. AD 丄 BC, D为BC的中点.过C作CE丄C1D于E,t 平面ADC1丄侧面BC1, CE丄平面ADC1.

11、取 AC1的中点F，连结CF，贝U CF丄AC1.A1BiE空Ay 一图 7 图B7 DC1连结EF，贝U EF丄AC1(三垂线定理) / EFC是二面角D- AC1- C的平面角.CE在 RtA EFC 中，sin / EFC =./ BC= CC1 = aCF易求得 CE=, CF = a .，5 2 sin / EFC =, / EFC = arcsin55.面角D AC1- C的大小为.10 arcs in5例4、( 2004年北京春季高考题)如图， 四棱锥S ABCD的底面是边长为1的正方形,SSD垂直于底面 ABGD , SB=V3(I) 求证 BG SG ；(II) 求面ASD与

12、面BSG所成二面角的大小；(III )设棱SA的中点为M，求异面直线 DM与SB所成角的大小。(W )求SD与面SAB所成角的大小。分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运 算能力。(I) 证明：如图1底面ABGD是正方形BG DGSD丄底面ABGDDG是SG在平面ABGD上的射影由三垂线定理得BG SG(II )解：SD丄底面ABGD，且ABGD为正方形可以把四棱锥S ABGD补形为长方体A1B1G1S ABGD，如图2面ASD与面BSG所成的二面角就是面 ADSA1与面BGSA,所成的二面角，SC BC, BC/ASSC AS又SD AQCSD

13、为所求二面角的平面角在Rt SCB中，由勾股定理得 SG 2 在Rt SDC中，由勾股定理得 SD 1CSD 45 即面ASD与面BSG所成的二面角为45lSAB图2(III )解：如图3SDSDA是等腰直角三角形ILDA图3AD 1, SDA 90又M是斜边SA的中点DM SABA AD, BA SD, AD SD DBA 面ASD, SA是SB在面ASD上的射影由三垂线定理得 DM SB异面直线DM与SB所成的角为90(W ) 45 练习：1设 ABC和厶DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，/ ABC=/ DBC=120o.求：(1) .直线AD与平面BCD所成角的大小.(2

14、) .异面直线AD与BC所成的角.(3) .二面角A-BD-C的大小.答案：(1) 45 (2) 90 ( 3) 180arctan22.如图，正三棱柱 ABC-AS的底面边长为2,侧棱长为6, D,E分别为AA1BC1的中点.(1) 求证：平面 AA1E丄平面BCD ;(2) 求直线A1B1与平面BCD所成的角.答案：(2) 303.如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形,PD=a, PA=PC= 2a,(1) 求证：PD丄平面 ABCD ;(2) 求异面直线PB与AC所成角的大小；(3) 求二面角 A-PB-D的大小；(4) 在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径.答

15、案：(2) 90 (3) 60(4)(2- V/24.在三棱锥 S-ABC 中，已知 SA=4, AB=AC, BC=3 ,6,Z SAB=Z SAC=45o,SA与底面 ABC 所成的角 为 30o.(1) 求证：SA丄BC;(2) 求二面角S BC A的大小；(3) 求三棱锥S ABC的体积.答案：(3) 94 距离例1、如图，直三棱柱 ABC-AiBiCi的底面ABC为等腰直 角三角形，/ ACB=9O0, AC=1 , C点到ABi的距离为3CE=,D为AB的中点.2(1) 求证：ABi丄平面CED ；(2) 求异面直线 ABi与CD之间的距离；(3 )求二面角Bi AC B的平面角.

16、解：(1)v D是AB中点， ABC为等腰直角三角形，/ ABC=90,. cd 丄 AB 又 AA!平面 ABC,. CD 丄 AAl. CD 丄平面 AiBiBA CD 丄 ABi, 又 CE丄 ABi , ABi 丄平面 cde ；(2) 由 CD 丄平面 AiBiBA CD丄DE ABi丄平面 CDE DE 丄ABi, DE是异面直线 ABi与CD的公垂线段V32.22- CE= , AC=1 , cd= . de . (CE)2 (CD)2(3) 连结BiC,易证BiC丄AC,又BC丄AC ,在 RtA CEA 中,CE,2BC=AC=1,BiAC=60 BB1(AB1)2 (AB)

17、22,/ BiCB是二面角 Bi AC B的平面角.tg B1CB BB1. 2 , B1CB arctg、2.bc例2、如图，正方形 ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。点 M在AC上移动, 点N在BF上移动，若 CM=BN=a( a2).(1) 求MN的长；(2) 当a为何值时，MN的长最小；(3) 当MN长最小时，求面 MNA与面MNB所成的二面角 的大小。例3.如图，平面 门平面=MN ,二面角 A- MN B 为 60。，点 A ,B , C MN，/ ACM = Z BCN = 45AC = 1,(1) 求点A到平面 的距离；(2) 求二面角 A

18、BC M的大小.答案；(2)arctan(提示：求出点43A在平面3的射影到直线BC的距离为-)例4、已知直三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱AAi = 4cm,它的底面 ABC中有AC = BC = 2cm，/ C = 90 ,E是AB的 中占I 八、(1)求证：CE和AB1所在的异面直线的距离等于晋cm ；C1C卜.卜、BB1 * ZX LA1A(2)求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小.10答案（2） arccos .5练习：1.已知：如图， ABC中，AB=6cm, AC=8cm , BC=10cm , P是平面 ABC外一点，且FA=PB=PC=6cm .(1)求点P到

19、平面ABC的距离；求PA与平面ABC所成角的余弦.2如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面边长和侧棱长都是(1)求点E到平面 ABD的距离：求二面角 A BD C的正切值.3如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1的九条棱均相等， D是BC上一AD 丄C1D.占八、(1).求证：截面 ABC1丄侧面BCC1B1.求二面角 C-AC1-D的大小.B若AB=2，求直线 A1B与截面ADC1的距离.4.在棱长为a的正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别是BC、AiDi的中点.(1)求证：四边形 BiEDF是菱形；求直线AiC与DB的距离；(3) 求直线AD与平面BiEDF所成的角.求平面B

20、iDiC与AiDB的距离5多面体例i 斜三棱柱ABC AiBiCi的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b, 侧棱AAi和AB、AC都成45 勺角，求棱柱的侧面积和体积.例2 .三棱锥各侧面与底面均成45角，底面三角形三内角 A、B、C满足2B = A + C,最大边与最小边是方程3x2 27x+ 32=0的两根.(i)求棱锥的高；(2)求棱锥的侧面积.例3.如图，正三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱长都为(1) 试求三棱锥 Bi AMN的体积；(2) 求点Ci到平面AMN的距离。例4 .如图，三棱柱ABC A3G的底面是边长为ABBiA是菱形且垂直于底面，/ AAB = 60 M是AiBi的

21、中点.(i)求证：BM丄AC；(2) 求二面角B B1C1 A1的正切值;(3) 求三棱锥 M A1CB的体积.习题1.正三棱锥P ABC的底面边长为a, E、F分别是侧棱PB、PC的中点，且E、A、F三点的截面垂直 于侧面PBC.(1)求棱锥的全面积；(2)侧面与底面所成的角的余弦值.2.如图，直四棱柱 ABCD ACiBDi的侧棱AA的长是a, BD=a的矩形，E为CiDi的中点。AB=2a ,(.1)求二面角E-BD-C的大小；求三棱锥B BDE的体积.3.如图，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为 等腰直角三角形.a,点M在边BC上， AMC1是以点M为直角顶点的(1)(2)(3)

22、求证点M为边BC的中点； 求点C到平面AMC1的距离； 求二面角M AC1 C的大小.答案:例题1.(1+ 2 ab，v体2.作 PO4面ABC，作OD,OE,OF分别垂直于三边,322229,ac ,b a c3恵i PO ,PD3PE10山34. (1)证明：TABB1A是菱形，/M是AB1的中点,又又平面AA1B1B3.三棱锥B1AMN的体积为连结02accos60 =7,点C1到平面AMNPD, PE, PF,易得,11一 acsin B r 22v6a b c)36P 5的距离为5B = 60(ab c),8 63AAB = 60A1BBM平面A1B1C1 AB1B是正三角形BM 平

23、面 A1B1C1BM A1C1be又AC/ A1GACtan2.(2)过M作ME BiCi且交于点EBM 平面 A1B1C1BE BiCi/ BEM为所求二面角的平面角 A1B1C1 中，MEMB1 sin 60 a , RtA BMB1 中，MB4BEM MB2,所求-面角的正切值是2;ME(3) Vm A|CB11111,3 22Vb1A1CB畀ACBVA1 ABC22a34习题_, vr33 2、26S全 (+)a ,cos4461.oMBi.3a2.面角E-BD-C的大小为45，三棱锥BiBDE的体积为 AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，C1M .正三棱柱 ABC A1B1C

24、1,CC1 底面 ABC. C1M在底面内的射影为 CM , AM丄CM .底面ABC为边长为a的正三角形， 点M为BC边的中 (2)过点C作CH丄MC1 , AM丄平面C1CM3.AM(1)C1M 且 AM由(1)知AM丄C1M且AM丄CM,CH在平面CiCM内,CH 丄 AM ,CH丄平面CiAM，由(1)知,AMCM a2 ，CMCC13a21a244CHCQ CMC1M点C到平面AMC1的距离为底面边长为(3)过点C作CI丄AC1于I，连HI ,- HI为CI在平面C1AM内的射影，-HI 丄 AC1，/ CIH 是二面角 MAC16 a .6CH丄平面C1AM在直角三角形ACC1 中

25、,CICG ACAGC的平面角.2a a2(_2 yJ2 )2a ( 2 a)tan60 3 a213a161 且 CC1 BC .2.21a a22V3a2-6 a .6、3.a , sin3CIH占八、.6CH Taci/ CIH = 45,面角M AC1 C的大小为45例1设地球是半径为 R的球，地球上 A、B两地都在北纬45上，A、B两点的球面距离是3 R, A在3OC离.东经20，求点B的位置例2 半径为13cm的球面上有A、B、C三点，每两点间的距离是AB=6cm , BC=8cm, CA=10cm，求这三点所在的平面到球心的距例3半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆

26、内，若正方体的一边长为6，求半球的表面积和体积。0球面求：例4.如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的1距离为一n点A与B、C两点间的球面距离均为 一，0为球心，32（1）Z BOC、/ AOB 的大小；（2）球心0到截面ABC的距离.习题1.已知正方体的全面积为 24,求：（1）求外接球的表面积；（2）求内切球的表面积.2一个正四面体的棱长为 2 . 6，求该四面体的外接球的体积 .3.在120。的二面角内放一个半径为 5的球，分别切两个半平面于点A、B,求这两个切点 A、B在球面上的最短距离答案：例题1 东径11C，或者西径70。2. 12cm3. 18 n ,18 nv

27、214. / BOC= ,/ AOB=, 球心O到截面ABC的距离为327习题1 .外接球的表面积为 12 n内切球的表面积为 4口2. 36 n53.37综合应用（1）例题讲解：例1 :如图，在斜四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的菱形，/ DAB = 60 若点 A1在平面ABCD上的射影是 BD的中点，设点 E是CC1上的中点，AA1= 4.ABC求证：BBiDiD是矩形;求二面角E BD C的大小；求四面体Bi BDE的体积.答案与提示：(2)arccos14/21書远例2：三棱锥S ABC中，底面 ABC是顶角为/ ABC = a、nAC=a的等腰三角形，S

28、CA= 2 , SC=b，侧面SAC与底面n所成二面角为 0 ( 09 2)，E、D分别为SA和AC的中点.(1) 求证无论0, a为何值时，点S到截面BDE的距离为定值SC(2) 求三棱锥 SABC的体积.答案与提示：(1)2 (2) i2c2bcot20), PA丄平面 ABCD，且 PA=1.(1) 问BC边上是否存在点 Q,使得PQ丄QD;(2) 若BC边上有且仅有一个点 Q,使得PQ丄QD，求这时二面角 Q-PD-A的大小.1答案与提示：(1)当a时存在，当a2时不存在(2)arctan? . 52如图，四棱锥 P-ABCD中，PB丄底面ABCD , CD丄PD，底面ABCD为直角梯形，AD / BC, AB丄BC,AB=AD=PB=3 ,点 E 在棱 FA 上，且 PE=2EA.PECB(1) 求异面直线PA与CD所成的角；(2) 求证：PC /平面EBD ; 求二面角 A-BE-D的大小.答案与提示：(1) 60 (3)a