第一轮复习自己整理绝对经典2016圆锥曲线 第一轮

1、圆锥曲线题型总结(2015 )一.圆锥曲线的定义第一定义中要重视 括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1, F2的距离的和等于常数 2a ,且此 常数2a一定要大于|F1F2，当常数等于IRF?时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双 曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 2a，且此常数2a 一定要小于|F1 f2 |，定义中的 绝对值”与2a v IF1F2I不可忽视。若2a = IF1 F21,则轨迹是以 F1 , F?为端点的两条射线 ，若2a IF1F2I,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。定义的试用条件：例1 :已知定点F

2、1(；,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的 ()A - PF -|PF2 =4B - PFTPF2 =6C -PF-|PF2 =1022D - PF1+|PF2 =12例2 :方程J(x6)2 +y2 J(x +6)2 +y2 =8表示的曲线是 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离：2例3 :女口已知点Q(22,0)及抛物线y =1上一动点P ( x,y),则y+IPQI的最小值是4例4 :点A (3, 2)为定点，点F是抛物线y2 =4x的焦点，点P在抛物线 y2 =4x上移动，若 |PA| |PF|取得最小值，求点P的坐标。利用定义求轨迹：例

3、5 :动圆M与圆C1 :(x+1) 2+y 2=36内切，与圆C2：(x-1) 2+y 2=4外切,求圆心M的轨迹方程例6 :已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q,使得PQ=|PF2那么 动点Q的轨迹是()A、椭圆B、圆C、直线D、点例7 :已知动圆P过定点A( -3,0)，并且在定圆B:(x-3)2 y2 =64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程1 1 2 2例8 :已知A( -,。),B是圆F :(x -) y -4 ( F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交 BF于P，则动点P的轨迹方程为定义的应用：2 2例9 :椭圆 乞+厶=1上一点M到焦

4、点Fi的距离为2，N为MR的中点，0是椭圆的中心，贝U ON的259值是真题：2 2X y2015高考福建，理3】若双曲线E :1的左、右焦点分别为F!,F2，点P在双曲线E上，且916PR =3，则 |PF2| 等于()A. 11B. 9C. 5D. 32013新课标I卷文科21】已知圆M :(x V)2 y2 =1,圆N :(x -1)2 y2 =9,动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，圆心P的轨迹为曲线C。(I)求C的方程；(n) l是与圆P，圆M都相切的一条直线，1与曲线C交于A , B两点，当圆P的半径最长是，求|AB。学习参考2015新课标1卷文科16】已知P是双曲线C : x221

5、的右焦点，P是C左支上一点，8A 0,.6,当：APF周长最小时，该三角形的面积为二.圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方 程）：椭圆：焦点在x轴上时：双曲线：焦点在y轴上时：焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：抛物线方程：求方程的方法：定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。关键是形数结合，建立 等量关系例10 :设中心在坐标原点 O ,焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e二、2的双曲线C过点P（4,.1O），则C 的方程为例112 2与双曲线丄=1有相同渐近线169，且经过点A（ 2J3，- 3）的双曲线的方程是 3例12 :已知直线

6、l:y=x+3与双曲线4x2y2 =1 ,如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆，使椭圆与I有公4共点，求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程例13 :已知椭圆方程焦点在则椭圆方程是x轴，且过1铉I |2泌两点,I 3 丿 I 3例14 :双曲线的离心率等于 ,且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程 2 94A.( _、a -b ,0)B.(0, _ .,a-b)C.(-、b -a,0)D. D.(0, _、b - a)例16 :已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C2 : 4x2 9y2=36的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A （2 ,-3）,求椭圆C的方程。)例15 :椭圆ax2 - by2

7、ab =0（a : b ：0）的焦点坐标是（2 22015高考广东，理7】已知双曲线C : X2 一 y2a b51的离心率4，且其右焦点F 5,0，则双曲线真题：C的方程为( )22222 22 2XA.-y =1X B.y =1C. X _y .1x y .D.y -1431699 16342015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆16 4=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.2 2【015高考天津，理6】已知双曲线 X2a-y2 =1 a 0,b 0的一条渐近线过点2, 3 ,且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 7x的准线上,则双曲线的方程为（)2 2222 2

8、2 2x y A.1XB.-y =1x y C.1D. 丄=121 2828213443三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）椭圆：由；-J】分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上 。双曲线：由一项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上 ；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上 ，一次项的符号决定开口方向 。2 2例17 :已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 m T 2 m例18 :已知方程kxy =a表示焦点在x轴上的椭圆，则头数k的范围是例19 :如果方程x2 ky2 =2表示焦点在y轴上的椭圆，求实数k的取值范围。例20 :2 2方程丄y1 , k为时方程

9、为双曲线。当k为时，方程为焦点为x轴的椭圆。9 -k 5 -k例21 :22方程Ax By =C表示双曲线的充要条件是什么 ？（ ABC丸，且A, B异号）。例22 :1 2已知抛物线y=- x2，则此抛物线的焦点坐标为.准线方程为4四. 圆锥曲线的几何性质（离心率、渐近线等）离心率问题：2 2Xy椭圆（以r 牙=1 （ a b 0 ）为例）：范围：a二x二a,b空y二b :焦点：两个焦点ab（_c,0）；对称性：两条对称轴x=0, y=0, 个对称中心（0,0），四个顶点（_a,0）,（0, _b），其中长c轴长为2a，短轴长为2b ；离心率：e ，椭圆= 0：e：1， e越小，椭圆越圆；e

10、越大，椭圆越a扁。a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；注重数形结合思想不等式解法x2v2双曲线（以=-=1 （ a 0,b0）为例）： 范围：x空-a或x _a, yR :焦点：两个焦点a2b2（-c,0）:对称性：两条对称轴x=0, y=0, 个对称中心（0,0），两个顶点（_a,0），其中实轴长为2 a，虚轴长为2 b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 - y2 = k, k = 0 ；离心率：e =，双曲线=e 1，等轴双曲线 =e -2， e越

11、小，开口越小，abe越大，开口越大；两条渐近线：y=- xa抛物线（以y2 = 2 px（ p 0）为例）：范围：x 一 0, y R ;焦点：一个焦点（& ,0），其中p的几何2意义是：焦点到准线的距离：对称性：一条对称轴y = 0,没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线x =-；离心率：e = ，抛物线e = 1。2a离心率求法：(1) 画出图型，尽量把能表示的边都用关于a,b,c的式子表示(2) 通过几何关系，建立关于a,b,c的等式(3) 消去b，同时除以a2或a，解关于e的方程2 2X y例23 :椭圆G ： 2 =1(a b 0)的两焦点为FM-cQ), F2(c,0

12、)，椭圆上存在点 M使a bFM Ftf =0.则椭圆离心率e的取值范围是 .2 2 例24 :在平面直角坐标系xOy中，若双曲线X學一 =1的离心率为J5，则m的值m m+4为.X2y2例25 :过椭圆C： 2(a b 0)的左焦点作直线l丄x轴，交椭圆C于A，B两点，若厶OAB(Oa b为坐标原点)是直角三角形，则椭圆C的离心率e为.22cxy3a例26 :设F1F2是椭圆E: 22 =1(a b 0)的左、右焦点，P为直线x 上一点，厶F2PF1是底ab2角为30的等腰三角形，则E的离心率为 .x2y2例27 :双曲线 2 =1 (a 0,b 0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，

13、且|PF1|=2|PF 2|,则双曲线离心a b率的取值范围为.真题：2015高考湖北，理8】将离心率为g的双曲线G的实半轴长a和虚半轴长b(a=b)同时增加m (m 0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A.对任意的 a, b，egB.当 a b 时，e e?;当 a: b 时，e ：C.对任意的 a, b，e cqD .当 a b 时，ece?;当 ae22015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，? ABM为等腰三角形，且顶角为120,则E的离心率为()A.5 B. 2 C.3 D.22 22015高考湖南，理13】设F是双曲线C : x2

14、一 y2 =1的一个焦点，若C上存在点P ,使线段PF的中a b点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为2 2x y2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy中，双曲线G : 22 =1 a 0,b 0的渐近线与抛物a b2线C2：x -2py p 0交于点0,代B，若. OAB的垂心为C2的焦点，则G的离心率2 22013新课标卷n文科5】设椭圆C :冷爲a b= 1(a b 0)的左、右焦点分别为F1, F2, P是C上的点PF2 丄 F1F2,NPF1F2=30 ,则 C 的离心率为()1V3C. 一D .23渐近线及其它问题：例28 :设Fi2 2F2分别为双曲线 笃 7=1, (

15、a 0、b 0 )的左、右焦点若在双曲线右支上存在点a bp，满足PF2 =F_,F2 ,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长 ，则该双曲线的渐近线方程为 例29 :已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|卩尺卜2|卩卩2|，贝Ucos-RPF?=例30 :过抛物线y2 =4x的焦点F的直线交该抛物线于 代B两点，若| AF |= 3 ,则| BF |=例31 :以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 2 2例32 :设双曲线务-每=1 (a0,b0 )中，离心率e 、. 2 ,2，则两条渐近线夹角B的取值范围是a2 b

16、2真题：2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为 y= 2x的是()44学习参考2(D)y2- = 1422 y(A) x12(B) -y142015高考重庆，理10】设双曲线2 2x y=1 (a0, b0 )的右焦点为1,过F作AF的垂线与双曲线交学习参考于B,C两点，过B,C分别作AC, AB的垂线交于点D若D到直线BC的距离小于a a2 b2，则该双曲C .(- 2Q. (0, 2)线的渐近线斜率的取值范围是()A .(-1,0k (0,1)B .(1,D.- 2). ( 2,2015高考上海，理9】已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是 Q的纵坐标的2倍，P和

17、Q的轨迹分别为双曲线C1和C2 若C1的渐近线方程为y = : r?3x ,则C2的渐近线方程为 五. 点、直线和圆锥曲线的关系：点与椭圆的位置关系：2 2(1) 点 P(x, y)在椭圆外二 笃 y2 . 1 ；a b2 2(2) 点 P(x, y)在椭圆上20 = 1 ;a b2 2x y(3) 点 P(x, y)在椭圆内22 : 1 ；a b直线与圆锥曲线的位置关系： P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；

18、P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线； P为原点时不存在这样的直线 ；例33 :当m为何值时，直线I : y = x m和椭圆9x2 16y 144相交；相切；(3)相离。例34 :若直线y =kx - 2与椭圆2x2 3y2 =6有两个公共点，贝V实数k的取值范围为 2 2例35 :已知椭圆x 2y =12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为413，求点A的坐标32 2例36 :直线ykx 仁0与椭圆=1恒有公共点，则m的取值范围是 5 m例37 :过点（2,4 ）作直线与抛物线y2 =8x只有一个公共点，这样的直线有

19、 例38 :若直线y=kx+2与双曲线x2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是 2 2例39 :过点（0,2）与双曲线丄 =1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 916x2例40 :过双曲线一1A、B两点，若丨AB | = 4,则这样的直线有2-1的右焦点直线交双曲线于2例41 :对于抛物线C： y2 =4x ,我们称满足y2：4xo的点M（xo,y。）在抛物线的内部，若点M（x。, y。） 在抛物线的内部，则直线| : yoy=2（x+xo）与抛物线C的位置关系是 例42 :直线y=ax 1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的 两

20、支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点 ？真题：2015高考四川，理5】过双曲线x22y =1的右焦点且与x轴垂直的直线3,交该双曲线的两条渐近线于A, B两点，贝y AB =(A)4 33(B)2 3(C)6(D)4 3六. 焦半径及弦长公式的计算方法若直线y =kx b与圆锥曲线相交于两点A、B ,且Xi, X2分别为B的横坐标，则| AB =Jl+k2凶x2 ,若yi, y2分别为A、B的纵坐标，则 AB =11k2% 一 y2,若弦AB所在直线方程设为 x =ky +b ,贝U AB = / +kyi -y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，般不用弦长公式计算

21、，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解（了解）。抛物线的焦点弦公式：AB=X1 X2 P二2p .（二为直线的倾斜角sin 92例43 :过抛物线y =2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10 , O为坐标原点，则AABC重心的横坐标为例44 :已知抛物线方程为 y2 =8x ,若抛物线上一点到 y轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点的距离等2 2例45 :点P在椭圆y 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为2592例46 :抛物线y =2x上的两点A、B到焦点的距离和是 5 ,则线段AB的中点到y轴的距离为 七.焦点三角形问题：22 a1

22、.椭圆焦点三角形面积 S = b tan ；双曲线焦点三角形面积 S=b cot-2 22常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3. m，n,m-n,mn,m ，n四者的关系在圆锥曲线中的应用；周长为4a :2 2例47 :已知Fi、F2为椭圆 11的两个焦点，过Fi的直线交椭圆于 A、B两点。若259F2A + F2B =12,则 AB =2例48 :已知 ABC的顶点B、C在椭圆y2 =1上,顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个3焦点在BC边上，则厶ABC的周长为X2 V2例49 :已知椭圆的方程是21(a 5),它的两个焦点分别为F1, F2 ,且F1F2 = 8 ,弦AB过a 25Fi

23、，则 ABF2的周长为过Fi作直线交椭圆于A、B两点，则例50 :短轴长为.5 ,离心率e = 2的椭圆的两焦点为F1、F2 ,3ABF2的周长为椭圆焦点三角形面积S小巧；双曲线焦点三角形面积例51 :设P是等轴双曲线x2 y2 =a2(a 0)右支上一点 ，F1、F2是左右焦点，若 PF2 F1 F2 = 0，IPF1F6，则该双曲线的方程为2 2X y例52 :椭圆1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，94当 PF2 PF1 点，若MF1 *MF2: 0 ,则y的取值范围是()A. (- 3 ,3 )33B.( - 3 ,3 )6 6C.(八.抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质(

24、1) AFP一 , BFP一(2)=-(3)AB =洛X2P =(4)1 -cos01 +cos 日AF BF pI Isin28以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；(5)设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，贝U ZAMF = ZBMF ; ( 6)设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为 Ai , Bi ,若P为的中点，则PA丄PB;(7)若AO的延长线交准线于 C,则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于 C点，则A , O , C三点共线。2例54 :过抛物线y =4x的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q ,1 2例55:过抛物线y厂

25、的焦点作倾斜角为的直线1与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角 例56 :已知抛物线y2 =2px, p 0 ,直线|过焦点F ,且与抛物线交于点 A, B,与抛物线的准线交于点C, BC =2BF，又AF =3,则抛物线的方程为 真题：匸013新课标文科8】0为坐标原点，F为抛物线C: y2 =4-、2x的焦点，P为C上一点，若X。=X。学习参考(D) 4| PF | = 4.2 ,则POF的面积为()(A) 2(B) 2 2(C) 2、32013新课标卷H文科10】设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点 若|AF|=3|BF| ,则L的方程为2013新

26、课标卷n理科11】设抛物线C:y2=2px(p 0)的焦点为F，点M在C上，MF =5 ,若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()2 2(A) y = 4x或 y =8x2 2(B) y = 2x 或 y = 8x2 2(C) y = 4x 或 y =16x2 2(D) y = 2x 或 y 二 16x2014新课标卷I文科10】已知抛物线C：y2二x的焦点为F ,Ax0,y0是C上一点，AF54A. 1B. 2C. 4D. 82014新课标卷I理科10】已知抛物线C : y2 = 8x的焦点为F ,准线为I , P是I上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP= 4FQ ,则 |Q

27、F |=(7A.-2B.52C.3D .22014新课标卷n文科10】设F为抛物线C : y2 =3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B学习参考两点，贝U AB =(B.6C.12D.7J3九.圆锥曲线的中点弦问题(点差法)遇到中点弦问题常用点差法”求解。在椭圆k=-墾a yo2 2;在双曲线一2=1中，以a b2 2笃每=1中，以P(xo,yo)为中点的弦所在直线的斜率a bb2xP(xo, yo)为中点的弦所在直线的斜率k=申;在抛物线y2=2px(p - 0)中，以P(xo, yo)为中点的弦a yo所在直线的斜率k=卫。yo例57 :双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,

28、-1)平分,求直线AB的方程.例58 :已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若 |AB|=2 .2 , O为坐标原点，OC的斜率为.2 /2 ,求椭圆的方程2 2例59 :如果椭圆 =1，直线l与双曲线交于 A、B两点，且A、B的中点坐标为 M ,则点M的369轨迹方程是2 2例60 :已知椭圆鶯才1，直线l过点P(2,D ,且与椭圆交于A、B两点，求A、B中点M的轨迹方程2 2例61：已知双曲线的方程为 笃 碁=1 ,直线y=xb与双曲线交于 A、B ,且A、B的中点坐标为 a b1,2，则此双曲线的离心率为 2 2例62 :试确定m的取

29、值范围，使得椭圆 y1上有不同的两点关于直线y=4x - m对称43真题：2 2x yF(3,0)，过点F的直线交椭2013新课标卷I理科10】已知椭圆E:二 2 =1(a b 0)的右焦点为a b圆于A, B两点。若AB的中点坐标为(1,-1)，则E的方程为(2 2x yA.145362 2x yB.136272 2x yC.127182 x yD.11892013新课标卷n理科20】平面直角坐标系2 2xOy中，过椭圆M :笃+再=1(a Ab0)的右焦点F作直a bx y 一 .3 =0交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为；.(I)求M的方程;(n) C,D为M上的两点，若四

30、边形ABCD的对角线CDAB,求四边形ABCD面积的最大值十.面积问题16 2例63 :已知定点A(0 , 3)点B、C分别在椭圆4x2 y = 1的准线上运动，当ZBAC=90。时，求厶ABC3面积的最大值。例64 :若抛物线y2 = 4x的焦点为F,过F且斜率为1的直线交抛物线于 A, B两点，动点P在曲线y2 =4x(y 0)上，则厶PAB的面积的最小值为 例65 :已知椭圆= 1(a b . 0)的离心率为-6,长轴长为23 ,直线l : kx m交椭圆于3不同的两点A、B。(1)求椭圆的方程；(2)求m=1,且OA OB = 0,求k的值(O点为坐标原点)；J3(3)若坐标原点O至煩

31、线丨的距离为 ，求 AOB面积的最大值22 2例66 :已知椭圆M:冷爲=1(a b 0)的左右焦点分别为a bFi(2, 0) , F2(2, 0).在椭圆 M 中有一内接三角形 ABC，其顶点C的坐标0.3,1), AB所在直线的斜率为(I)求椭圆M的方程；(n)当 ABC的面积最大时，求直线AB的方程例67 :已知椭圆C:2 2字”(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3(I)求椭圆C的方程；设直线I与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为上 ,2学习参考求厶AOB面积的最大值A , B关于直线y = mx 1对称.2(1)求实数m的取值范围；(2)求 AOB面积的

32、最大值(O为坐标原点)真题：2x2015高考浙江，理19】已知椭圆一 fl-y2 =1上两个不同的点2十一.最值及范围问题(一般用参数方程的方法或用定义转化)例68 :已知x2+4(y-1) 2=4 ,求：(1)x2+y2的最大值与最小值；(2)x+y的最大值与最小值.例69 :已知点M是抛物线y2 = 4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C： (x-4)2 + (y 1)2= 1上，则|ma|+|mf |的最小值为2 2X yr F例70 :若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP-FP43的最大值为2 2X y例71 :若M是椭圆1上的任意一点，F1、F2是

33、椭圆的左、右焦点，则MFf MF2的最大值94为例73 :若点P是抛物线y2 =2x上的一个动点，则点P到点(0, 2)的距离与点P到准线的距离之和的最小值为学习参考十二.直线与圆锥曲线大题常规解题方法一、设直线与方程;（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与x=my+ n的区别）二、设交点坐标；（提醒：之所以要设是因为不去求出它 ，即设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件重转化；常有以下类型： 以弦AB为直径的圆过点o （提醒：需讨论K是否存在）二 0A 丄OB 二 k1 & =-1 二 0A.0B 0

34、X? + 0 点在圆内、圆上、圆外问题”- 直角、锐角、钝角问题”=向量的数量积大于、等于、小于0问题”二 Xi X2 yi y0 ； 等角、角平分、角互补问题”=斜率关系（K1 K0或心=K2）； 共线问题”T T（如：AQ二QB =数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、0、B三点共线二直线OA与0B斜率相等）； 点、线对称问题”二坐标与斜率关系；基本解题思想：学习参考1、常规求值”问题：需要找等式，求范围”问题需要找不等式2、 是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、 证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关：也可

35、先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。定点定值问题在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题4、 处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也 可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、 求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角

36、函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、 转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累 转化”的经验；7、 思路问题：大多数问题只要 忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。弦的垂直平分线问题例74 :过点T(-1,0)作直线I与曲线N : y2二x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(X。,0),使得ABE是等边三角形，若存在，求出Xo ；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线 l:y=k(x 1)，k = 0，A(xi,yi)，B(X2, y2)。由 yk(x 1)消

37、 y 整理，得 k2x2 (2k2-1)x k2 =0y 二x学习参考由直线和抛物线交于两点，得厶=(2k2 -1)2 -4k4二-4k2 10由韦达定理，得:2k2 -1X1X2 =1。贝熾段AB的中点为(2k2 12k212k线段的垂直平分线方程为12k2 )令 V=0,得 x=2?1，贝V E(丄一丄,。)22k 211=ABE为正三角形，E(2?2。)到直线AB的距离d为乎|ab 7 AB二-X2)2(% -丫2)2.1-4k231 -4k22k22lkdk2k2k解得“一谱满足式此时x。动弦过定点的问题证明定值问题的方法:常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关：也可

38、先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明处理定点问题的方法:常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明,且在x轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A 2(2,0)x2V243例75:已知椭圆C：二 2 =1(a b 0)的离心率为-ab2(I) 求椭圆的方程；于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点解：(I)由已知椭圆C的离心率e = C 3 ,a 2(II) 若直线l：x二t(t -2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交 ?并证明你的结论2a = 2则得c= . 3, b = 1 从而

39、椭圆的方程为 y14(II)设 M(X1, V1) , N(X2,V2),直线 AM的斜率为k1 ,则直线AM的方程为v二ki(x，2),由V = K(X 2)22222 消V整理得(1 4k! )x 16k2X 16k! -4=0； -2和为是方程的两个根，x 4y 4-2xi二空 ；则，Vi性，即点M的坐标为(J8, 冬),1 +4ki21 +4ki21+4ki1+4k； 1 + 4k；2同理，设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为(坐 2， 巡务 i+4k； 1+4k；:yp =ki(t 2), yp十(2). j22直线mn的方程为：土=上 也 匕 + k2tx 为x2 4 x 二

40、 t4又?t 2，. 02：椭圆的焦点为t(3,0) 7=沽，即t = 413故当t = 4 3时，MN3 3过椭圆的令y=0 ,得X二x2Vi一xiV2，将点M、N的坐标代入，化简后得焦点。过已知曲线上定点的弦的问题例76 :已知点A、B、C是椭圆E：笃爲=1 (a b 0)上的三点，其中点A (2.3,0)是椭圆的右顶 a b，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；点，直线BC过椭圆的中心O,且 7CLBC =0，BCyTC1(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线 x3 对称，求直线PQ的斜率。，且BC过椭圆的中心O解：(I)：.OCtACEC=0 . . AC

41、O W又：A (2 .3,0).点 C 的坐标为(、3八3)。_ 2 2_A(2i3,0)是椭圆的右顶点， a =2、3，则椭圆方程为：x =1 12b2将点CG.3, ,3)代入方程，得b2 =4，椭圆E的方程为 兰工 日124(II) 直线PC与直线QC关于直线x=*3对称, -设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k ,从而直线PC的方程为：y - -.3 二k(x -、3)，即 y 二 kx3(1 k)，由 y 二収 71 k)消目,整理得： X +3y2 -12 =0(1 3k2)x2 6、,3k(1-k)x 9k2-18k-3 = 0：x=3 是方程的一个根，讥93即“9；8；

42、2)3同理可得；yp -yQ 二 kxp、3(1-k)统 一、3(1 k) = k(xp Xq) 2,3k = _12k 273(1 +3k )22x x 9k -18k -3 9k +18k-3 _6k(yP _yQ 1X 一Xq 一，3(1 3k2) 一 .3(1 3k2). 3(1 3k2) kpXXQ =31则直线PQ的斜率为定值-o向量问题例 77 :已知点 M (4, 0) , N(1, 0),若动点 P 满足 MN MP = 6| PN |.(I)求动点P的轨迹C的方程；18 12(H)过点N的直线丨交轨迹C于A , B两点，若 NA NB 0 )过M (2， 2 )， N( 61)两点，0为坐标原点，a b（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA？若存在，写出该