人教新版数学高中必修一《指数函数》学案(含答案)

1、第二章基本初等函数 ()2.1指数函数【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹x 1 为判底线，交点y 标看小大重视数形结合法，横轴上面图象察此诗每行字数相等， 且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心如图所示的就是上面举的指数函数的图象不难看出， 它们就像一束花 每个指数函数的图象都经过 (0,1)这点，所以说 “ (0,1) 这点把它扎 ” 就顺理成章了对于指数函数的图象来说，“ 撇增捺减 ” 就绝对是事实当a1 时，从左往右看指数函数 y ax 的图象是上升的， 类似于汉字中的撇，这时，指

2、数函数 y ax 是增函数； 当 0a1 与 0 a10a0? y1；x0? 0y1 ；x0? 0y1x1在 R 上是增函数在 R 上是减函数三、图象应用1 比较大小例 1 若 a0，则 2a， (1)a,0.2a 的大小顺序是 _ 2解析分别作出函数x1 x和 y 0.2x的图象，如图所示，从图象可以看出，当y 2，y ( )a 1 a2aa(2)2 .答案0.2a1 aa()22因此在作图时， 一定要抓住图象的特征点 (0,1)或特点评本题涉及三个指数函数图象，征线 y 1 及指数函数图象的走向正确作图：当 a1 时，底数 a 越大图象越陡； 当 0a0 且 a1)的图象有两个公共点，则

3、a 的取值范围是 _解析当 a1 时，通过平移变换和翻折变换可得如图1 所示的图象， 则由图可知12a2，1即 2a1 矛盾当 0a1 时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2 所示的图象，则由图可知12a2，1即 2a1，即为所求1答案2a0 且 a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是 R .注意点 1：为什么要规定a0 且 a1 呢？x(1)若 a 0，则当 x0 时， a 0；当 x 0 时， ax 无意义ax 无意义(2)若 a0 且 a 1.在规定以后， 对于任意 x R，ax 都有意义，且 ax0.因此指数函数的定义域是R ，值域是 (0， )1x是指数函数吗？注意点

4、 2：函数 y 3( )2yax 中， ax 的系数是根据定义，指数函数的解析式1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如xk(a0 且 a 1，k Z) ；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如yy aa x且 a 1)，因为它可以化为1 x11(a0y ( )，其中 0 ，且 1.aaa学习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样， 是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础 由于这一部分内容的概念较多， 初学时很容易出错，首先要注意以下三点(1) 根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否

5、可换如当a 0 时， n am ( n a) m，而当 a0 时，则不一定可换， 应视 m，n 的情况而定(2)分数指数幂不能对指数随意约分(3) 对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数错例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析例 4 设 f(x) x24，且 0 a 1，求 f(a 1)的值 a错解1)a12a121f(aa 4a a .aa剖析在开方运算中忽视根式的两个重要性质：(1)当 n 为奇数时， n an a；(2)当 n 为偶数时， na， a 0，an |a| a， a0.性质 (2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的 n 为偶

6、数，所以不论 a 取怎样的值， n an总有意义因此在上面的解答中应有：由00) ； (3)a10 a325(4) 6 8 2 ( 8)26( 8)13 2；(5) 3 26 3 23 23 33 6 3 6.A0B1C2D3请同学们给出答案后根据基础知识分析致错的原因剖析忽视运算性质致错：(1)应为 (a3)2 a6，比如， (23)282 29；232313(2)应为 aa a a6.3232忽视字母的取值范围致错：(3)应为 a 6|a3|，比如 ( 2) 6 应是一个正数，而( 2)3却是一个负数105105在分数指数幂与根式的化简中致错：(4)显然6 8 2应是一个正数，这里( 8)

7、2 ( 8)1；63(5)显然63 23 3.故答案为 A.教材中，规定了正分数指数幂的意义am n am(a0，m，n N* ，且 m为既约分数 )，从nn而指数的概念扩充到了有理数指数， 继而又扩充到了实数指数 这时底数、 指数的范围发生了变化， 这在解题中是很容易被忽视的， 由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述三、忽视隐含条件致错例 6化简： (1 x)( x 1) 21 1( x)22.错解(1x)( x 1) 21 1(x) 2 2 (1 x)(x 1)1( x)1 ( x)1.44剖析题目中含有 ( x)1，要注意考虑 x 0 这个前提条件，即 x 0.2

8、正解由 ( x)1可知 x0，即 x0，21 1所以(1 x)(x 1) 2( x)2 2 (1 x)(1 x)1( x)1 (x)1.44点评 在指数运算过程中， 一定要注意题目中隐含的一些特殊条件， 只有充分挖掘这些隐含的特殊条件，才能为正确解答打下坚实的基础初学指数函数应当心一、指数函数概念出错例 7已知指数函数 y ax 的底数 a 满足方程 a2 a6 0，求该指数函数错解由方程 a2 a 6 0，解得 a2 或 a 3.所以该指数函数为 y 2x 或 y ( 3)x.a 的限定，这个隐含条件对解题往剖析在解题过程中忽视了指数函数的定义中对底数往起到至关重要的作用正解由方程 a2 a

9、 6 0，解得 a2 或 a 3.由于指数函数 y ax 的底数 a 满足 a0且 a 1，故取 a 2.所以该指数函数为 y 2x.点评指数函数定义中的底数a 满足 a0 且 a 1 这个隐含条件，在解答过程中一定要加以注意二、指数函数值域出错例 8 求函数 y 2 1 的定义域和值域x 1错解 要使函数 y 2 1 有意义，则 x 1 0，即 x 1.x 1所以函数 y 21的定义域为 x|x 1 x1因为 x1，即10，所以 2 1 1.x1x 1所以函数 y 21的值域为 y|y 1 x1剖析 在解题过程中忽视了指数函数的值域 y|y0 这个隐含条件，而只是根据题目条件得出 y 1 是

10、不全面的正解 要使函数有意义，则 x 1 0，即 x 1.所以函数 y 21的定义域为 x|x 1 x1因为 x1，即10，所以 2 11.又 2 1x1x1x10 ，所以函数 y 21的值域为 y|y0 ，且 y 1 x1点评的子集，解题时一定要结合具指数函数 y af(x)(a0 ，且 a 1)的值域只能是 R体情况加以分析讨论三、指数函数图象出错例 9根据函数 y |2x 1|的图象，判断当实数m 为何值时，方程 |2x 1|m 无解？有一解？有两解？错解由方程 |2x 1| m 可得 2x 1m，结合指数函数的图象 (如图 )可知：当 2x 1m 0，即 m 1 或 m1 时，方程 |

11、2x 1| m 无解；当 2x 1m0，即 1m1 时，方程 |2x1| m 有一解；不存在实数 m 使方程 |2x 1|m 有两解剖析 不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答可以把这个问题加以转换，将求方程|2x 1| m 的解的个数转化为求两个函数 y |2x 1|与 y m 的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误正解 函数 y |2x 1|的图象可由指数函数 y 2x 的图象先向下平移一个单位长度， 然后再作 x 轴下方的部分关于 x 轴的对称图形，如图所示函数 ym 的图象是与 x 轴平行的直线，观察两图象的关系可知：

12、xx当 0m1 时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x 1| m 有两解点评由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键 .指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有： 化简、求值、证明等， 而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析一、逆用公式例 1已知 a5， b 311， c 6123，试比较 a， b， c 的大小解因为 a5 653 6125，b 3 11 6 112 6 121， c 6 123，而 12

13、1123cb.即 5 6 123 3 11.二、妙用公式变形引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新1121121111的活力，如： a b (a b )( a ab b)， a b (a b)(a b )等等，运用这些公式3333332222新变形，可快速巧妙求解问题41a 8a b3b333 a.例2(1 2a)224b 2 3 aba3a1312b1a 8ba1解原式3332111 a .234b 2ab aa33333113131a a8b aa1 3313234b21113 2a b a3a 2b333331112112a1a a 2ba 2a b

14、 4b331333333121 1a21a34b 2a b3a 2b33333 a13a13a13a.三、整体代换在指数运算中， 若进行适当的变量代换， 将分数指数幂转化为整数指数幂， 使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解例 3 已知 a2 3a1 0，求 a 12 a12的值分析 若先求出 a 的值，再代入计算很繁琐，探寻条件与结论之间的关系，分析条件，把条件转化为与结论有明显关系的式子21解a 3a 10， a0， a 3.而 (a 1 a1)2 a 1 a2 3 25， 2 2 a1 a1 5. 2 2四、化异为同例 4计算 ( 3 2)2 008(3 2)2 009.分析注意到两个

15、底数32与3 2互为有理化因式， 且它们的指数相差不大，所以互化为同指数计算解原式 (3 2) 2 008( 3 2)2 008(3 2) (3 2) (32)2 008( 3 2) 12 008(32)3 2.五、化负为正x1 x4例5化简44x 2 41 x 2.1 xxx4解方法一原式444x1xxx244 24xxx 2 x4 4x x4 2x 4x 1.4242 44 22442x x方法二原式444xxx x4244 244x4 4 4x2 424x 1.1 x点评对于式子4，方法一是利用分子分母同时乘x化简，而方法二是把2 写成1x4 x4 24xx 1 实现化简的24x4 ，通

16、过约分化简，两种方法都是巧用4指数函数常见题型解法探究一、指数函数的定义例 6已知指数函数 f(x)的图象经过点 (2,4)，试求 f(1)的值设指数函数 f(x) ax(a0， a 1)，2解由已知得 f(2) 4，即 a2 4(a0，a 1)，所以 a 2.112故 f( ) 22.22二、考查指数的运算性质例 7 若 f(x)ex e xex e x2， g(x)，则 f(2x)等于 ()2A 2f( x)B 2g(x)C2 f(x) g(x)D 2f( x) g(x)解析f(2x)e2x e 2xex exex ex22ex exexe x 2f(x) g(x) 24故选 D.答案D三

17、、指数函数的单调性0.9， y2 80.481 1.5，则 ()例 8 设 y1 4， y3 ( )2A y3y1y2B y2y1y3Cy1y2y3D y1y3y2解析y140.9 21.8， y2 80.48 21.44， y3 (1) 1.5 21.5.由于指数函数f(x) 2x 是 R 上的2增函数，且1.81.51.44 ，所以 y1y3y2，选 D.答案D四、定义域和值域例 9 已知函数 y f(x)的定义域为 (1,2)，则函数 y f(2x)的定义域为 _解析 由函数的定义，得 12 x2? 0x0，a 1)的图象恒过定点 (0,1) ，而函数 y ax 1 2 的图象解析因为指

18、数函数可由 y ax( a0 ，a 1)的图象向左平移1 个单位后，再向下平移2 个单位而得到，于是，定点(0,1) ( 1,1) ( 1， 1)所以函数 y ax 1 2 的图象恒过定点 ( 1， 1)答案 ( 1， 1)六、图象依据： (1)指数函数y ax(a0 ，a 1)的图象； (2)函数 y f(x)的图象与y f(x a)、y f( x) b、 y f( x)、 y f(x)、 y f( x)、 y |f(x)|、 y f(|x|)的图象之间的关系例 11 利用函数 f(x)2x 的图象，作出下列各函数的图象：(1)y f(x 1)； (2)y f(|x|)；(3) y f(x)

19、 1；(4)y f(x)； (5)y |f(x) 1|.解利用指数函数y 2x 的图象及变换作图法可作所要作的函数图象其图象如图所示：点评函数 y 2|x|， y 2|x|， y |2x 1|的值域和单调性如何？七、考查参数的取值范围例 12 已知函数 y 2a(axa x)( a0，a 1)在 (， ) 上递增， 求 a 的取值范围a 2解设任意 x1， x2 R，且 x1x2，则 f(x1 ) f(x2)0 ，即 2aa(ax1 ax1) 2(ax2a x2)a 2a 2 2a1(ax1 ax2)(1)0，a 2ax1 x2所以 (a2 2)(ax1 ax2)0?a2 20ax1 ax22

20、或 0 a0.异底指数比大小五法一、化同底例 13 比较 20.6， (12)0.7,80.3 的大小解化同底得0.610.7 20.7,80.30.92，( )2 .2因为函数 y 2x 在 R 上是增函数，且0.60.70.9 ，所以 20.620.720.9，即 20.61 0.780.3.(1.31.31.211.21所以 1.1 0.21.3 0.1.点评 不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负三、取中间值例 15 下列大小关系正确的是()30.40300.4A0.4 3B 0.4 3C30.43000.40.430.4 D 3解析033

21、 1，所以 0.4300.4，故选 B.B3答案点评不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值0 或 1 比较大小， 再间接地得出所求解四、估算法例 16 若 3a 0.618，a k， k 1，则 k _.解析因为 k a k 1，所以 3kak 13 3.把 3a 0.618 代入得 3k 0.618 3k 1.1 10估算得 0.618 1，即 3 0.618 3 .解得 k 1.答案 1点评 估算法既可快速达到比较大小的目的， 又可培养同学们的估算能力， 它是同学们必备的一种技能，在考试中解答填空、选择题时可用五、图解法1 a1 b例 17 已知实数 a， b 满足等式 (2) (3) ，下列五个关系式： 0ba； ab0； 0ab； ba0； a b.其中不可能成立的关系式有()A1 个B2 个C3 个D4 个解析在同一坐标系中，分别画出函数y (1)a， y (1)b 的图象23由图观察可知，当ba0 时，等式 (1)a (1)b 不可能成立；1 a1 b23又当也不可能成立，故选B.0a0，若 f(a)f(1) 0，则实数 a 的值等于 ()x 1， x 0，A 3B 1C 1D 3解析 由题意知f(1) 21 2.f(a)