概率论期末考试试题

1、1. 全概率公式贝叶斯公式1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的、“一般的和“冒失的。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。并且它们分别占投保总人数的20%，50%和30%。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的保险户的概率是多少？解：设A、A A分别表示“谨慎的“一般的和“冒失的保险户，B表示“发生事故，由贝叶斯公式知P(A IB)P(A)P(B| A)P(A)P(B|A) P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.0570.2 0.050.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.3090% ,平时没练习过的题目在考试时答对

2、2. 老师在出考题时，平时练习过的题目占60%.学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为的概率为30%,求:(1) 考生在考试中答对第一道题的概率；(2) 若考生将第一题答对了，那么这题是平时没有练习过的概率3. 在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。在三地拉到一级菜的概率分别为10%，30%，70%1)求能拉到一级菜的概率；2)已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。解：1、解：设事件 A表示拉到一级菜，Bi表示从甲地拉到，B2表示从乙地拉到，b3表示从丙地拉到则 P(B1) 0.2， P(B2) 0.5 ； P(Bs) 0.3 P(

3、A.Bs)0.7则由全概率公式得3P(A)P(Bi) P(A/Bi) = 0.2 0.1 0.5 0.3i 1(2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为p(B2)P(AB)P(A BJ0.3 0.70.1 ， P(AB2)0.38 ( 7 分)0.3 ,P(B2, A)P(A)05仝 0.39470.38(10 分)5.设随机变量X在区间0,1上服从均匀分布，求随机变量2.维随机变量Y=e 2X的密度函数.6.已知XN(2x -2),用分布函数法证明：Y XN(0,1).证明:设Xfx(x), 丫aX b,则a 0时,y f Y(y)丫(晋)FY(y) PYFx( y(y)2fY(y) FY(y)F

4、xy ) fx( y丫 N(0,1)7.设随机7.变量X的密度函数f(x)c1x2求（1）c 的值；（2） P X解：（1）由密度函数的性质+f(x)dx1故c=(2)(3)EX：丄 ；（ 3）2f(x)dxEXX的分布函数.1得:代2 dx(4 分)-1x21PX| 2+xf(x)dx1 ,21+dx2xdx8.设连续型随机变量X的分布函数为Fx)求:(1)系数A; (2)X的分布密度f(x); (3) P 00.25解：(1)A=1;(2) f(x)12, x1；(3)0.510.设（X，Y ）的分布为0 其它1arcs in x|212（7 分）-1dx0 - (10 分)3.二维随机变

5、量-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8证明X与Y不相关，也不独立证明：cov（ X，Y）=EXY-EXEY （1 分）而 EXY=0EX=0 ， EY=0（3分）XYcov(X,Y)DX . DY0故X与Y不相关。（5分）下证独立性PX0,Y00PX01/4 PY=0=1/4 -(8 分)PX 0,Y0 PX 0?PY0故X与Y也不独立。(10分)11. (X,Y)服从区域D上的均匀分布, D (x,y)x2y2 4 ，证明X与Y不独立也不相关12. 设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D=(x,y)|x 2+y21,求:.1 x2(1)X与Y的边缘密

6、度函数；(2)判断X与Y是否独立。1 y2解: (1) f 乂x)二0 其它0 其它(2) X 与Y不独立。13.某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7,4.中心极限定理各机床开关独立，开动时每部要耗电15个单位，问至少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产(1.64)=0.95,6.48).解： X用表示任一时刻车间有同型号机床则 X B(200,0.7)，则EX140, DX 42( 3 分)假定至少需要m单位电能，则有:P(X0.95由中心极限定理可得:140mx0.95 P(X ) P(-15V4215.42140)(15140)(8 分)

7、m 140从而有：15屁故至少需准备2265单位电能,1.64，所以m 226510分)14.某学院校园网中家属区每晚约有 4004台电脑开机，而每台电脑约有 一5的时间登入互联网，并且假定各台电脑是否上互联网彼此无关,计算其中至少300台同时在互联网上的概率.(2.5)=0.99379)10个终端同时使用15. 某计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有打印机的概率。(1.68)=0.95352,5.72.3874)解：每个终端使用打印机的概率为p=1/20，设同时有 X个终端使用，则 XB(120,1/20) , EX=np

8、=6, DX=npq=5.7 ,由于n=120很大，由中心极限定理，近似地XN(6,5.7)10 6/. P(XA 10)=1-F(10)=1-( )=1-(1.68)=1-0.95352=0.046485.7100小时，将3个这样的元件串联在一个线路中，求：在150小时后线路仍正常工作16. 某种电子元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为 的概率。解：由题可知0.01 -(2 分)则某电子元件的寿命超过150小时的概率为p PX 1501故三个串联150小时仍正常的概率为F(150)3p4.51.5e(8 分)(10 分)5.极大似然估计17.设总体X的密度函数为 f(x;)0)，其它若(X1,X2,X n)为来自总体的一个样本,求未知参数的最大似然估计值18.设总体 X的分布密度为 f(x)X 1,求未知参数的最大似然估计。解：似然函数 L(X1, X 2,X n,)=XilnL= nln e +ln( e -1)ln