二项式定理练习

1、1二项式定理：( ab) nC n0anC1nan 1bCnr an r brC nn bn (nN ) ，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n 的二项展开式。二项式系数 : 展开式中各项的系数C nr(r 0,1,2, , n) .项数：共 (r 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：展开式中的第 r1 项 Cnr a n r br叫做二项式展开式的通项。 用 Tr 1 Cnr an r br 表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有(n 1) 项。顺序：注意正确选择 a , b , 其顺序不能更改。 (ab 与 (ba) 是不同的。)nn指数： a 的指数从 n

2、逐项减到 0，是降幂排列。b 的指数从0 逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等于n .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0 , Cn1 , Cn2 ,Cnr , Cnn .项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令 a1,bx,(1x)nC n0Cn1 xCn2 x2Cnr x rCnn xn (n N)令 a1,bx,(1x)nCn0Cn1 xCn2 x2Cnr xr( 1)n C nn x n (nN )5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn ， CnkCnk 1二项式系数和： 令 ab

3、1, 则二项式系数的和为Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n ，变形式 Cn1Cn2CnrCnn2n1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中， 令 a1,b1，则 Cn0C n1Cn2Cn3( 1)n C nn(11) n0 ，从而得到： Cn0C n2C n4Cn2rCn1C n3C n2r112n2n 12奇数项的系数和与偶数项的系数和：( a x)nC n0a n x0Cn1an 1x Cn2 an 2 x2Cnn a0 xna0 a1x1a2 x2an xn( x a)nC n0a0 xnCn1ax n 1C n2 a2 xn 2C nn an x0an xna2

4、x2a1x1a0令 x1, 则 a0a1a2a3an(a 1)n令 x1,则 a0a1a2a3an(a 1)n得 , a0a2a4an(a1) n( a 1)n (奇数项的系数和)2得 , a1a3a5an( a1)n( a 1)n(偶数项的系数和)2n二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2 取得最大值。n 1如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2 ,n 1Cn 2 同时取得最大值。系数的最大项：求(abx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为 A1, A2, An 1 ，设第 rAr 1Ar，从而解

5、出r 来。1 项系数最大，应有ArAr 12专题一题型一：二项式定理的逆用；例： Cn1Cn2 6 Cn3 62Cnn 6n 1.解： (16)nCn0Cn16Cn262Cn363Cnn 6n 与已知的有一些差距，Cn1Cn2 6 C n3 62C nn 6n 11 (Cn1 6 Cn2 62C nn 6n )61 (Cn0Cn16Cn262C nn6n1)1 (1 6) n 11 (7 n 1)666练： Cn13Cn29Cn33n 1Cnn.解：设 SnCn13Cn29Cn33n1Cnn ，则3SnCn1 3 Cn2 32Cn3 33Cnn 3nCn0Cn1 3 Cn2 32Cn333Cn

6、n 3n1 (1 3)n 1Sn(13)n14n133题型二：利用通项公式求xn 的系数；例：在二项式 ( 413x2 ) n 的展开式中倒数第3项的系数为 45，求含有 x3的项的系数？x解：由条件知 Cnn 245 ，即 Cn245， n2n90 0 ，解得 n9(舍去 )或n10 ，由12C10r x10r 2 rTr 1 C10r (x 4 )10r ( x3 ) r43 ，由题意10 r2 r 3, 解得 r6 ，43则含有x3 的项是第7 项T61C106x3210 x3 , 系数为210。练：求 (x21 ) 9展开式中 x9 的系数？2x解： Tr 1C9r ( x2 )9 r

7、 (1 ) rC9r x18 2r ( 1)r x rC 9r (1)r x18 3r ，令 18 3r9 , 则r 32x22故 x9 的系数为 C93(1)321。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 ( x21)10的展开式中的常数项？2xr210r1rr1r20 5 r2050，得 r8 ，所以解：2，令Tr 1C10 (x )( 2 x )C10 (2 ) xr2T9C108 ( 1)8452256练：求二项式 (2 x1)6 的展开式中的常数项？2x解： Tr1C6r (2 x)6r (1)r ( 1)r(1)r C6r 26r ( 1 )rx6 2r，令 62r0 ，得

8、 r3，所以2 x2T4(1)3 C6320练：若 (x21 )n 的二项展开式中第 5 项为常数项，则n_.x解： T5Cn4 (x2 )n 4 ( 1 )4Cn4 x2 n 12 ，令 2n 120 ，得 n 6 .x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式 (x3x)9 展开式中的有理项？1127r27 r解：Tr 1C9r ( x2 )9 r ( x 3 ) r( 1)r C9r x 6，令Z ,(0 r 9 ) 得 r3或 r9 ，6所以当 r3时，27r4，T4(1)3 C93 x484 x4 ，6当 r9 时， 27 r3，T10( 1)3 C99 x3x3 。6

9、题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 (x 21) n 展开式中偶数项系数和为256，求 n .3x2解：设 (x 21) n 展开式中各项系数依次设为a0 ,a1,an ,3x2令 x1 , 则有 a0a1an0, ， 令 x1, 则有a0a1a2a3( 1)n an2n , 将 - 得： 2(a1a3a5)2n ,a1a3 a52n 1 ,有题意得，2n 125628 ，n9 。练：若 (3151)n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024 ，求它的中间项。xx2解： Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3Cn2 r 12n1 ，2n 11024 ，解得 n11n

10、6, n7，T551615462 x4所以中间两个项分别为1Cn (3) ( 52 )，xx61T6 1462x 15题型六：最大系数，最大项；例：已知 ( 12x)n ，若展开式中第5 项，第6 项与第7 项的二项式系数成等差数列，求展2开式中二项式系数最大项的系数是多少？解： Cn4Cn62Cn5 ,n221n98 0, 解出 n 7或 n14 ，当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数 C73 (1 ) 4 2335,，22T5的系数C74( 1 )3 2470, 当 n 14 时，展开式中二项式系数最大的项是T8 ，2T8的系数C147 (1 ) 7 273432

11、 。2练：在 (ab)2 n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即 T2nTn 1 ，也就是第21n 1项。练：在 ( x1) n 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23 x解：只有第n15 ，即 n 8 , 所以展开式中常数项为第七项等于5 项的二项式最大，则261 2C8()7练：写出在 ( ab)7 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7 是奇数，所以中间两项( 第4,5项 ) 的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C73 a4 b3 的系数最小，T5C74a3b4

12、 系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求 (12x) n 的展开式中系数最大的项？2解：由 Cn0Cn1Cn279, 解出 n12 , 假设 Tr 1 项最大，( 12x)12( 1)12 (14x)1222Ar 1ArC12r 4rC12r 1 4r 19.4r10.4 ，又 0 r12 ，化简得到Ar 1Ar 2C12r 4rC12r 1 4r 1r10 ，展开式中系数最大的项为T,有T11( 1)12 C1210410 x1016896 x10112练：在 (12 x)10 的展开式中系数最大的项是多少？解：假设 Tr 1 项最大，Tr 1C10r2r xrAr1ArC1

13、0r 2 rC10r1 2 r12(11r ) r，化简得到解得Ar1Ar2C10r 2 rC10r 1 2r1 ,r12(10r )6.3k7.3 ，又0 r10，r7 ，展开式中系数最大的项为T8 C107 27 x715360x7 .题型七：含有三项变两项；例：求当 ( x23x2) 5 的展开式中 x 的一次项的系数？解法： ( x23x2) 5( x22) 3x 5 ，Tr 1 C5r (x22)5 r (3x) r ，当且仅当 r1时，Tr1 的展开式中才有x 的一次项， 此时 Tr 1 T2C51 ( x22)4 3x ，所以x 得一次项为 C15C44 24 3x它的系数为 C

14、51C44 243240 。解法：( x23x2)5( x1)5 (x2)5(C50 x5C51 x4C55 )(C50 x5 C51 x4 2C55 25 )故展开式中含x 的项为 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展开式中x 的系数为 240.练：求式子 ( x12) 3 的常数项？x解： ( x12) 3(x1)6，设第 r1项为常数项，则xxTr 1C6r ( 1)r6 r( 1 )r( 1)6 C6r x6 2rx，得 6 2r 0 , r 3 ,xT3 1( 1)3C6320 .题型八：两个二项式相乘；例： 求(12 x)3 (1x) 4 展开式中 x2的系数 .解

15、：(1 2x)3的展开式的通项是 C3m(2x)mC3m 2m xm,(1 x)4的展开式的通项是 C4n (x)nC4n1n xn ,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3,4,令mn 2,则 m0且 n 2, m1且 n 1, m2且n0,因此 (12x)3 (1x) 4的展开式中 x2的系数等于 C30 20C42 ( 1)2C31 21C41 ( 1)1C32 22C40 ( 1)06.练： 求(13 x)6 (11)10 展开式中的常数项 .4 x1mn4m 3 n解： (1 3 x )6 (1)10 展开式的通项为 C6mx 3C10n x 4C6m C10nx124 x其

16、中m 0,1,2,当且仅当4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,6, n 0,1,2, ,10,n0,n4,n8,时得展开式中的常数项为 C60C100C63C104C66C1084246.练：已知 (12)( x1 n的展开式中没有常数项, n*且 2n8,则 n_.x xx3 )N解：( x13 )n 展开式的通项为 C nrxn rx 3rCnrxn 4 r , 通项分别与前面的三项相乘可得xCnrxn 4 r ,C nrxn4 r 1,C nrxn 4 r2 , 展开式中不含常数项 ,2n8n4r且n4r1且n4r2，即 n4,8且n3,7且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶

17、数项的系数和；例：在( x2) 2006的二项展开式中 ,含 x的奇次幂的项之和为 S,当x2时, S_.解： 设( x2) 2006 =a0a1x1a2x2a3 x3a2006 x2006 -( x2) 2006 =a0a1 x1a2 x2a3x3a2006x2006 - 得 2(a xa x3 a x5ax2005 )( x2) 2006( x2) 20061352005(x2) 2006 展开式的奇次幂项之和为S( x)1 ( x2) 2006( x2) 2006 232006当 x2时,S(2)122)2006( 22)20062223008(22题型十：赋值法；例：设二项式 (3 3

18、 x1 ) n 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s , 若xp s272 , 则 n 等于多少？解：若 (3 3 x1 )na0a1 xa2 x2an x n ，有 Pa0a1an ，xS C n0C nn2n ，令 x1 得 P4n ，又 p s272, 即 4n2n272(2n 17)(2n 16) 0 解得2n16或 2n17(舍去) ，n4 .n练：若13 xx的展开式中各项系数之和为64 ，则展开式的常数项为多少？n解：令 x1 ，则3x1的展开式中各项系数之和为2n64 ，所以 n6 ，则展开x式的常数项为 C63 (3x )3(1)3540 .x练：若 (12x

19、)2009a0a1x1a2 x2a3x3a2009 x2009( xa1a2a2009的值为R), 则22220092解： 令 x1 ,可得 a0a1a2a20090,a1a2a2009a022222200922222009在令 x0可得 a01,因而 a1a2a20091.22222009练： 若( x2)5a5x5a4 x4a3x3a2 x2a1x1 a0, 则a1a2a3 a4a5_.解： 令x0得a032,令x1得 a0a1a2 a3 a4a51,a1a2a3a4a531.题型十一：整除性；例：证明： 32n28n9( nN*)能被 64 整除证： 32 n 28n99n 18n9(8

20、1)n18n9Cn0 1 8n 1Cn1 1 8nCnn 11 82Cnn 181Cnn 118n 9Cn01 8n1Cn11 8nCnn11 828(n1)1 8n9Cn0 1 8n 1Cn118nCnn 11 82由于各项均能被64 整除32 n28n9( nN * )能被 64整除1、 (x 1) 11 展开式中x 的偶次项系数之和是1、设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f (1)f ( 1)( 2)11 / 2102422、 Cn03C1n32 Cn23n Cnn2、2、 4n3、(3 51) 20 的展开式中的有理项是展开式的第项53、3,9,15,214、(2x-1)5

21、 展开式中各项系数绝对值之和是5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5x=1，则4、 (2x-1)展开式系数之和，故令所求和为 3521045、求 (1+x+x )(1-x)展开式中 x 的系数5、(1 xx 2 )(1x)10(1x 3)(1x)9, 要得到含 x4 的项，必须第一个因式中的1 与 (1-x)9展开式中的项 C94( x )43与 (1-x)9C19 (x) 作积，故作积，第一个因式中的x展开式中的项x4 的系数是 C19C941356、求 (1+x)+(1+x)2103+ +(1+x)展开式中x 的系数6、 (1 x )(1x )2（110(1x )1(1x)10 ( x 1)11(x1)，原式中3x）1 (1x )=xx实为这分子中的x4，则所求系数为C1177、若 f (x )(1 x ) m(1x) n (mnN) 展开式