【知识点整合与训练】第5章 平面向量 第2节 平面向量基本定理及坐标表示

1、1 21 1 2 2221 2 1 21 2 1 21 11 122第 2 节平面向量基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4. 理解用坐标 表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果 e ， e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 1 2a，有且只有一对实数 ， ，使 a e e .其中，不共线的向量 e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.1 22.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分

2、解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设 a(x ，y )，b(x ，y )，则1 1 2 2ab(x x ，y y )，ab(x x ，y y )，a(x ，y )，|a | x y . (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 a(x ， y ) ， b(x ， y ) ， 则 ab (x x ， y y ) ， | ab | 1 1 2 2 2 1 2 1（x x ） （y y ） .2 1 2 14.平面向量共线的坐标表示设 a(x ，y )，b(x ，y )，则 ab x y x y 0.1 1 2 2 1 2 2 1微点

3、提醒1.若 a(x ，y )，b(x ，y )且 ab，则 x x 且 y y .1 1 2 2 1 2 1 22.若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.1 1 2 21 1 221 2 1 21 1x y1 1x y1 32 4123.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的 向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1) 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )(2) 同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3) 设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 ， ， ， 满足 a b a

4、b，则 ， .( )x y(4)若 a(x ，y )，b( x ，y )，则 ab 的充要条件可以表示成 .( )1 1 2 22 2解析(1)共线向量不可以作为基底 .(2)同一向量在不同基底下的表示不相同 .x y(4)若 b(0，0)，则 无意义.2 2答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 4p118a2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) a.e (0，0)，e (1，2)1 2b.e (1，2)，e (5，7)1 2c.e (3，5)，e (6，10)1 2d.e (2，3)，e ， 解析答案两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 b. b3.(必修 4p99 例 8

5、 改编)设 p 是线段 p p 上的一点，若 p (1，3)，p (4，0)且 p 是1 2 1 2线段 p p 的一个三等分点(靠近点 p )，则点 p 的坐标为( )1 2 1a.(2，2) b.(3，1)c.(2，2)或(3，1)d.(2，2)或(3，1)3 解析 1 由题意得p p p p 且p p (3，3).1 1 2 1 2设 p(x，y)，则(x1， y3)(1，1)， x2，y2，则点 p(2，2).答案a 4.(2015 全国卷)已知点 a(0，1)，b(3，2)，向量ac(4，3)，则向量bc ( )a.(7，4) c.(1，4)b.(7，4)d.(1，4)解析 根据题意

6、得ab(3，1)，bcacab(4， 3)(3，1)(7，4)，故选 a.答案a5.(2017 山东卷)已知向量 a(2，6)，b(1，)，若 ab，则 _.解析答案ab，260，解得 3. 36.(2019 福州质检)已知 abcd 的顶点 a(1，2)，b(3，1)，c(5，6)，则顶点 d 的坐标为_.解析45x，设 d(x ， y) ，则由 abdc ，得 (4， 1) (5 x，6y)，即 16y，解得x1， y5.答案(1，5)考点一平面向量基本定理及其应用【例 1】 (1)(2019 衡水中学调研 )一直线 l 与平行四边形 abcd 中的两边 ab，ad 分别交于点 e，f，且

7、交其对角线 ac 于点 m ，若ab2ae，ad3af，am ab223 2223 23 23 253 23 2 6 5453 3 5ac(，r )，则 ( )1a. b.1c.32d.3 1 1 (2)(2019 长春调研 )在abc 中，d 为三角形所在平面内一点，且ad ab ac. 延长 ad 交 bc 于 e，若aeab ac，则 的值是_.解析 (1)amabacab (abad) () abad2()ae3af.因为 e，m，f 三点共线，所以 2()(3 )1，5 1即 251， . 1 1 (2)设 aexad，ad ab ac， x x ae ab ac.x x 6由于 e

8、，b，c 三点共线， 1，x .x x根据平面向量基本定理，得 ， .x x x 1因此 .答案(1)a (2)15规律方法1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底 将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 1 【训练 1】 (1)(2019 济南质检)在abc 中，an nc，若 p 是直线 bn 上的一 2 点，且满足apmab ac，则实数 m 的值为( )a.4 b.1 c.1 d.4 2 1 (2)在平面直角坐标系中， o 为坐标原点， a，

9、b，c 三点满足 oc oa ob，553 3 3 3 3 3则|ac|ab|_.解析 (1) 根据题意设 bp nbn (nr) ，则 ap ab bp ab nbn ab n( an 1 n ab)abnacab(1n)ab ac. 又apmab25ac，n5125n，m，解得nm2，1. 2 1 1 1 1 (2)因为oc oa ob，所以oc oa oa ob (oboa) ，所以 ac13 |ac| 1 ab，所以 .|ab|答案(1)b (2)13考点二平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)设 a(0，1) ，b(1，3)，c(1，5) ，d(0，1)，则abac等于( a.2ad

10、 b.2ad c.3ad d.3ad)(2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab (，r)，则( )a.1 b.2 c.3 d.4解析 (1)由题意得 ab (1，2) ， ac (1 ， 4) ， ad (0，2) ，所以 ab ac(0，6)3(0，2)3ad.(2)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边 长为 1)，2 1253则 a(1，1)，b(6，2)，c(5，1)， aao(1，1)，b ob(6，2)，c bc(1，3)， cab，(1，3)(1，1) (6 ，2)，61， 则23，2 ， 4.1解得 2， ，答案(

11、1)c (2)d规律方法1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2. 向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算 问题.【训练 2】 (1)(2019 广东联考 )已知 o 为坐标原点，点 c 是线段 ab 上一点，且 a(1，1)，c(2，3)，|bc|2|ac|，则向量ob的坐标是_.(2)如图，在直角梯形 abcd 中，abdc，addc，addc2ab ，e 为 ad 的中点，若cacedb( ，r )，则 的值为()6a.b.85c

12、.28d.解析 (1)由点 c 是线段 ab 上一点，|bc|2|ac|，得bc2ac.设点 b 为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2).658525442x2， x4，则 解得3y4， y7.所以向量ob的坐标是(4，7).(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则 d(0， 0).不妨设 ab1，则 cdad2，所以 c(2，0)，a(0，2)，b(1，2)，e(0，1)， ca(2，2)，ce(2，1)，db(1，2)， cace db，(2，2)(2，1)(1，2)，22， 22， ，解得 则 . ，答案(1)(4，7) (2)b考点三平面向量共线的坐标表示多维探究角度 1利用向量共线

13、求向量或点的坐标【例 31】 (一题多解)已知点 a(4，0)，b(4，4)，c(2，6)，则 ac 与 ob 的交点 p 的坐标为_.解析法一 由 o，p，b 三点共线，可设opob(4，4 )， 则apopoa(44，4). 又acocoa(2，6)， 由ap与ac共线，得(44)64(2)0， 3解得 ， 3 所以op ob(3，3)，所以点 p 的坐标为(3，3).4n221n 3232 21 2 2 1法二 设点 p(x， y) ，则 op(x，y)，因为 ob (4，4)，且op与 ob 共线，所以x4y ，即 xy. 又ap(x4，y)， ac(2，6)，且ap与ac共线，所以(

14、x4)6y( 2)0，解得 xy3， 所以点 p 的坐标为(3，3).答案角度 2(3，3)利用向量共线求参数【例 32】 (1)(2018 全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若 c(2ab)，则 _.m(2)已知向量 a(2，3)，b(1，2)，若 ma nb 与 a3b 共线，则 _.解析(1)由题意得 2ab(4，2)，因为 c (1，)，且 c(2ab )，所以 421 0，即 .(2)由213 ，所以 a 与 b 不共线，又 a3b(2，3)3(1，2)(5，3)0. 那么当 manb 与 a3b 共线时，m n m 1有 ，即得 .3答案(1)1 1(2)规

15、律方法1. 两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1) 若 a (x ， y ) ， b 1 1(x ，y )，则 ab 的充要条件是 x y x y 0；(2)若 ab(b0)，则 ab.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的 坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练 3】(1)(2019 北师大附中检测 )已知向量 a(1，1)，点 a(3，0)，点 b 为直mnmnmmnm 1m n 1m n 121 1 2 2线 y2x 上的一个动点，若aba，则点 b 的坐标为_. (2)设向量oa(1，2)，ob(2 ，1)，oc(2 ，0)，m，

16、nr ，o 为坐标 原点，若 a，b，c 三点共线，则 mn 的最大值为( )a.3 b.2 c.2 d.3解析(1)由题意设 b(x，2x)，则ab(x3，2x)，aba，x32x0，解得 x3，b(3，6). (2)由题意易知， ab ac，其中 abob oa (2 2 1，2)， 1，1)，acoc oa (所以(2 1)21(2n1)，得：2121.2 2n2 2 ，所以 2 2，即 mn3.答案(1)(3，6) (2)a思维升华1. 平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论 依据，也是向量的坐标表示的基础.2. 平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量

17、基底可以有无穷多组.3. 用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a e e 的形式.易错防范1.注意运用两个向量 a，b 共线坐标表示的充要条件应为 x y x y 0.1 2 2 12.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全 不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.基础巩固题组(建议用时：35 分钟)23 45 54 35 5 3 45 5 4 35 55 5一、选择题1.向量 a，b 满足 ab(1，5)，ab(5 ，3)，则 b 为( )a.(3，4) c.(3，4)b.(3，4) d.(3，4)解析由 ab(1，5)，ab(5，3)，得 2b(1

18、，5)(5， 3)(6，8)， 1b (6，8)(3， 4).答案a2.已知点 a(1，3)，b(4，1)，则与ab同方向的单位向量是()a.， c. ， b.， d. ， 解析 aboboa(4，1)(1，3)(3，4)， ab 3 4 与ab同方向的单位向量为 ， . |ab|答案a3.已知向量 a(2，1)，b(3，4)，c(1，m)，若实数 满足 abc，则 m 等于( )a.5 b.6 c.7 d.8解析由平面向量的坐标运算法则可得 ab(5，5)，5，c(， m)，据此有m5，解得 5，m1， m6.答案b4.已知向量 a (1，2) ，b (3，m)，mr ，则“m6”是“a (

19、a b)”的 ( )a.充要条件c.必要不充分条件b.充分不必要条件d.既不充分也不必要条件解析由题意得 ab(2，2m )，由 a(ab)，得1(2m)22，所以n21 21 2n333m6，则“m6 ”是“a(ab)”的充要条件.答案a5.已知 e ，e 是不共线向量，ame 2e ，bne e ，且 mn0，若 ab，则1 2 1 2 1 2m( )1a.b.12c.2 d.2解析答案nm，因为 ab，所以 ab，即 me 2e (ne e )，则2，cm得 2. 6.已知点 a(2，3)，b(4，5)，c(7，10)，若apabac(r)，且点 p 在直线 x 2y0 上，则 的值为(

20、 )2a.b.23c.32d.32解析 设 p(x，y)，则由apabac，得(x2，y3)(2，2)(5，7)(25，2 7). 所以 x54，y7 5.又点 p 在直线 x2y0 上，2故 542(75)0，解得 .答案b7.(2019 河北豫水中学质检 )已知在 rtabc 中，bac90，ab1，ac2， d 是abc 内一点，且dab60，设ad abac(，r)，则 ()2 3a.b.33c.3 d.2 3解析如图，以 a 为原点，ab 所在直线为 x 轴，ac 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 b 点的坐标为(1，0)，c 点的坐标为(0，2)， 35 55 55 55

21、52222122 5 55 5 1.因为dab60，所以设 d 点的坐标为(m， 3m)(m0). ad (m ， 3 m) ab ac(1， 0) (0 ， 2) ( ， 2 )，则 m，且 m， 2 3所以 .32答案a8.在平行四边形 abcd 中，e，f 分别是 bc，cd 的中点，de 交 af 于 h，记ab， bc分别为 a，b，则ah()2 4a. a b2 4 c. a b2 4b. a b2 4 d. a b解析 1 设ahaf，dh de.而dhdaahbafb b a， 1 dhdea b. 1 1 因此， a bb b a.由于 a，b 不共线，因此由平面向量的基本定

22、 ，4 2 1 2 4理，得 解之得 ， .故ahafb a a b. 1 2答案b二、填空题9.(2019 安徽江南十校联考 )已知平面向量 a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)，且 (ac)(ab)，则 m_.22223232解析a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)，ac(m1，m3)，ab(1，m5) ， 又(ac)(ab)，(m1)(m5)m30，即 m 3m20，解之得 m3 172.答案3 172310.已知 a(2，3)，b(4，3)，点 p 在线段 ab 的延长线上，且|ap| |bp|，则点 p 的坐标为_.解析设 p(x，y)，由点 p 在线段 ab 的延长线上，

23、3 3则ap bp，得(x2，y3) (x4，y3)，即x2 （x4）， y3（y3）.x8， 解得y15.所以点 p 的坐标为(8，15).答案(8，15)11.已知 a(1，1)，b (3，1)，c(a，b)，若 a，b，c 三点共线，则 a，b 的关系式 为_.解析 由已知得ab(2，2)，ac(a1，b1)， a，b，c 三点共线，abac.2(b1)2(a1)0，即 ab2.答案ab212.在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，若 p(ac，b)，q (ba，ca)，且 pq ，则角 c_.解析因为 pq，则(ac)(ca)b(ba)0 ，2 2 212 2 22ab 2233 3933 3 3 3 3 3 93 9 3 9 922 2 22 22222 2 2a b c所以 a b c ab，所以 ，1 由余弦定理知