【练习】等差数列基础习题选(附详细答案)

1、等差数列基础习题选（附有详细解答）一选择题（共 26 小题）1已知等差数列a 中，a =9，a =3，则公差 d 的值为（ ）n 3 9ab1 c d12已知数列a 的通项公式是 a =2n+5，则此数列是（ ）n na以 7 为首项，公差为 2 的等差数列c以 5 为首项，公差为 2 的等差数列b以 7 为首项，公差为 5 的等差数列 d不是等差数列3在等差数列a 中，a =13，a =12，若 a =2，则 n 等于（ ）n 1 3 na23b24 c25 d264等差数列a 的前 n 项和为 s ，已知 s =6，a =8，则公差 d=（ ）n n 3 4a一 1b2 c3 d一 25两

2、个数 1 与 5 的等差中项是（ ）a1b3 c2 d6一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数， 则它的公差是（ ）a2b3 c4 d7（2012 福建）等差数列a 中，a +a =10，a =7，则数列a 的公差为（ ）n 1 5 4 na1 b2 c3 d48数列的首项为 3，为等差数列且 ，若 ， ，则=（ ）a0b8 c3 d119已知两个等差数列 5，8，11，和 3，7，11，都有 100 项，则它们的公共项的 个数为（ ）a25b24 c20 d1910设 s 为等差数列a 的前 n 项和，若满足 a =a +2（n2），且 s =9，则 a

3、=（ ）n n n n1 3 1a5b3 c1 d111（2005黑龙江）如果数列a 是等差数列，则（ ）naa +a a +a 1 8 45ba +a =a +a 1 8 45ca +a a +a 1 8 4 5da a =a a 1 8 4 512（2004福建）设 s 是等差数列a 的前 n 项和，若n n=（ ）a1b1 c2d13（2009安徽）已知a 为等差数列，a +a +a =105，a +a +a =99，则 a 等于（ ）n 1 3 5 2 4 6 20a1b1 c3 d714在等差数列a 中，a =4，a =12，那么数列n 2 6a b c的前 n 项和等于（ ）d21

4、5已知 s 为等差数列a 的前 n 项的和，a +a =4，s =21，则 a 的值为（ ）n n 2 5 7 7a6b7 c8 d916已知数列a 为等差数列，a +a +a =15，a =7，则 s 的值为（ ）n 1 3 5 4 6a30b35 c36 d2417（2012营口）等差数列a 的公差 d0，且n最大值时的项数 n 是（ ），则数列a 的前 n 项和 s 取得 n na5b6 c5 或 6 d6 或 718（2012辽宁）在等差数列a 中，已知 a +a =16，则该数列前 11 项和 s =（ ）n 4 8 11a58b88 c143 d17619已知数列a 等差数列，且

5、a +a +a +a +a =10，a +a +a +a +a =20，则 a =（ ）n 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 4a1b0 c1 d220（理）已知数列a 的前 n 项和 s =n28n，第 k 项满足 4a 7，则 k=（ ）n n ka6b7 c8 d921数列 a 的前 n 项和为 s ，若 s =2nn n n217n，则当 s 取得最小值时 n 的值为（ ）na4 或 5b5 或 6 c4 d522等差数列a 中，a =2n4，则 s 等于（ ）n n 43a12 b10 c8 d423若a 为等差数列，a =4，a =19，则数列a 的前 10 项和为（ ）n

6、 3 8 na230b140 c115 d9524等差数列a 中，a +a =5，则前 10 项和 s =（ ）n 3 8 10a5b25 c50 d10025设 s 是公差不为 0 的等差数列a 的前 n 项和，且 s ，s ，s 成等比数列，则 等n n 1 2 4于（ ）a1b2 c3 d426设 a =2n+21，则数列a 从首项到第几项的和最大（ ）n na第 10 项b第 11 项 c第 10 项或 11 项 d第 12 项二填空题（共 4 小题） 27如果数列a 满足：n= _ 28如果 f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3），且 f（1）=2，则 f（100）= _ 29

7、等差数列a 的前 n 项的和n_ ，则数列|a |的前 10 项之和为n30已知a 是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a a =55，a +a =16n 3 6 2 74分析：（）求数列a 的通项公式：n（）若数列a 和数列b 满足等式：a = （n 为正整数），求数列b n n n= n的前 n 项和 s n参考答案与试题解析一选择题（共 26 小题）1已知等差数列a 中，a =9，a =3，则公差 d 的值为（ ）n 3 9a b1 c d1考点：等差数列501974专题：计算题本题可由题意，构造方程组 ，解出该方程组即可得到答案 解答：解：等差数列a 中，a =9，a =3，n 3

8、 9由等差数列的通项公式，可得解得 ，即等差数列的公差 d=1故选 d点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题2已知数列a 的通项公式是 a =2n+5，则此数列是（ ）n na以 7 为首项，公差为 2 的等差数列 b以 7 为首项，公差为 5 的等差数列5解答：c以 5 为首项，公差为 2 的等差数列d不是等差数列考点：等差数列501974专题：计算题分析：直接根据数列a 的通项公式是 a =2n+5 求出首项，再把相邻两项作差求出公差n n即可得出结论解答：解：因为 a =2n+5，n所以 a =21+5=7；1a a =2（n+1）+5（2n+5）=2n+1 n

9、故此数列是以 7 为首项，公差为 2 的等差数列故选 a点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用如果已知数列的通项公式，可以求出 数列中的任意一项3在等差数列a 中，a =13，a =12，若 a =2，则 n 等于（ ）n 1 3 na23b24 c25 d26考点：等差数列501974专题：综合题分析：根据 a =13，a =12，利用等差数列的通项公式求得 d 的值，然后根据首项和公差1 3写出数列的通项公式，让其等于 2 得到关于 n 的方程，求出方程的解即可得到 n 的值解：由题意得 a =a +2d=12，把 a =13 代入求得 d= ，3 1 1则 a =13 （n1）= n

10、+ =2，解得 n=23n6故选 a点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题4等差数列a 的前 n 项和为 s ，已知 s =6，a =8，则公差 d=（ ）n n 3 4a一 1b2 c3 d一 2考点：等差数列501974专题：计算题分析：根据等差数列的前三项之和是 6，得到这个数列的第二项是 2，这样已知等差数 列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差解答：解：等差数列a 的前 n 项和为 s ，n ns =6，3a =22a =8，48=2+2dd=3，故选 c点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前 三项的和等于

11、第二项的三倍，这样可以简化题目的运算5两个数 1 与 5 的等差中项是（ ）a1b3 c2 d考点：等差数列5019747分析：解答：点评：专题：计算题由于 a，b 的等差中项为解：1 与 5 的等差中项为： 故选 b，由此可求出 1 与 5 的等差中项 =3，本题考查两个数的等差中项，牢记公式 a，b 的等差中项为： 属基础题是解题的关键，6一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数， 则它的公差是（ ）a2b3 c4 d考点：等差数列501974专题：计算题分析：设等差数列a 的公差为 d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以n，结合公差为整数进而求

12、出数列的公差解答：解：设等差数列a 的公差为 d，n所以 a =23+5d，a =23+6d，6 7又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以 ，因为数列是公差为整数的等差数列，所以 d=4故选 c点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算87（2012 福建）等差数列a 中，a +a =10，a =7，则数列a 的公差为（ ）n 1 5 4 na1b2 c3 d4考点：等差数列的通项公式501974专题：计算题分析：设数列a 的公差为 d，则由题意可得 2a +4d=10，a +3d=7，由此解得 d 的值n 1 1解答：解：设数列a 的公差为 d，则由 a

13、 +a =10，a =7，可得 2a +4d=10，a +3d=7，解n 1 5 4 1 1得 d=2，故选 b点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题8数列的首项为 3，为等差数列且 ，若 ， ，则=（ ）a0b8 c3 d11考点：等差数列的通项公式501974 专题：计算题分析：先确定等差数列 值的通项，再利用 ，我们可以求得 的解答：解：为等差数列， ， ，b =b +（n3）2=2n8 n 3b =a a8 819数列的首项为 3288=a 3，8a =118故选 d点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数 列的通项，是基础题9已知两

14、个等差数列 5，8，11，和 3，7，11，都有 100 项，则它们的公共项的 个数为（ ）a25b24 c20 d19考点：等差数列的通项公式501974专题：计算题分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列， 且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为a ，则 a =11n 1数列 5，8，11，与 3，7，11，公差分别为 3 与 4，a 的公差 d=34=12，na =11+12（n1）=12n1n又5，8，11，与 3，7，1

15、1，的第 100 项分别是 302 与 399，a =12n1302，即 n25.5n又nn*，两个数列有 25 个相同的项10故选 a解法二：设 5，8，11，与 3，7，11，分别为a 与b ，则 a =3n+2，b =4n1n n n n设a 中的第 n 项与b 中的第 m 项相同，n n即 3n+2=4m1，n= m1又 m、nn*，可设 m=3r（rn*），得 n=4r1根据题意得 13r100 14r1100 rn*从而有 25 个相同的项故选 a解得 r点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运 算能力及逻辑思维能力的要求较高10设 s 为等差数

16、列a 的前 n 项和，若满足 a =a +2（n2），且 s =9，则 a =（ ）n n n n1 3 1a5b3 c1 d1考点：等差数列的通项公式501974专题：计算题分析：根据递推公式求出公差为 2，再由 s =9 以及前 n 项和公式求出 a 的值3 1解答：解：a =a +2（n2），a a =2（n2），n n1 n n1等差数列a 的公差是 2，n由 s =3a +3 1故选 d=9 解得，a =11点评：本题考查了等差数列的定义，以及前 n 项和公式的应用，即根据代入公式进行求 解1111（2005黑龙江）如果数列a 是等差数列，则（ ）naa +a a +a 1 8 45

17、ba +a =a +a 1 8 45ca +a a +a 1 8 4 5da a =a a 1 8 4 5考点：等差数列的性质501974分析：用通项公式来寻求 a +a a +a 的关系1 8 与 4 5解答：解：a +a （a +a =2a +7d（2a +7d）=01 8 4 5） 1 1a +a =a +a1 8 4故选 b5点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质12（2004福建）设 s 是等差数列a 的前 n 项和，若n n=（ ）a1b1 c2d考点：等差数列的性质501974专题：计算题分析：充分利用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题解答：解：设等

18、差数列a 的首项为 a ，由等差数列的性质可得n 1a +a =2a ，a +a =2a ，1 9 5 1 5 3 = = = =1，故选 a点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的综合应12用，已知等差数列a 的前 n 项和为 s ，则有如下关系 sn n 2n1=（2n1）a n13（2009 安徽）已知a 为等差数列，a +a +a =105，a +a +a =99，则 a 等于（ ）n 1 3 5 2 4 6 20a1b1 c3 d7考点：等差数列的性质501974专题：计算题分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得 a 和 a 的值，进而求得数列

19、的公差，3 4最后利用等差数列的通项公式求得答案解答：解：由已知得 a +a +a =3a =105，1 3 5 3a +a +a =3a =99，2 4 6 4a =35，a =33，d=a a =23 4 4 3a =a +17d=35+（2）17=120 3故选 b点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用解题的关键是利 用等差数列中等差中项的性质求得 a 和 a 3 414在等差数列a 中，a =4，a =12，那么数列n 2 6的前 n 项和等于（ ）ab cd考点：数列的求和；等差数列的性质501974 专题：计算题13分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差

20、数列与一个等比数列的积构成的数 列，利用错位相减法求出数列的前 n 项的和解答：解：等差数列a 中，a =4，a =12；n 2 6公差 d= ；a =a +（n2）2=2n；n 2；的前 n 项和，=两式相减得=故选 b点评：求数列的前 n 项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法15已知 s 为等差数列a 的前 n 项的和，a +a =4，s =21，则 a 的值为（ ）n n 2 5 7 7a6b7 c8 d9考点：等差数列的性质501974专题：计算题分析：由 a +a =4，s =21 根据等差数列的性质可得 a +a =a +a =4，根据等差数列的前 n 2 5

21、7 3 4 1 614项和公式可得， ，联立可求 d，a ，代入等差数列的通项公式可求1解答：解：等差数列a 中，a +a =4，s =21n 2 5 7根据等差数列的性质可得 a +a =a +a =43 4 1 6根据等差数列的前 n 项和公式可得，所以 a +a =61 7可得 d=2，a =31所以 a =97故选 d点评：本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基 础试题16已知数列a 为等差数列，a +a +a =15，a =7，则 s 的值为（ ）n 1 3 5 4 6a30b35 c36 d24考点：等差数列的性质501974专题：计算题分析：利

22、用等差中项的性质求得 a 的值，进而利用 a +a =a +a 求得 a +a 的值，代入等3 1 6 3 4 1 6差数列的求和公式中求得答案解答：解：a +a +a =3a =15，1 3 5 3a =53a +a =a +a =121 6 3 4s =6故选 c6=36点评：本题主要考查了等差数列的性质特别是等差中项的性质15分析：17（2012营口）等差数列a 的公差 d0，且n最大值时的项数 n 是（ ），则数列a 的前 n 项和 s 取得 n na5b6 c5 或 6 d6 或 7考点：等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式501974 专题：计算题分析：由的项数 n 解答：解

23、：由知 a +a =0 1 11a =0，6故选 c，知 a +a =0由此能求出数列a 的前 n 项和 s 取得最大值时 1 11 n n，点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式要求学生能够运用性质简化计算18（2012辽宁）在等差数列a 中，已知 a +a =16，则该数列前 11 项和 s =（ ）n 4 8 11a58b88 c143 d176考点：等差数列的性质；等差数列的前 n 项和501974专题：计算题根据等差数列的定义和性质得 a +a =a +a =16，再由 s =1 11 4 8 11结果解答：解：在等差数列a 中，已知 a +a =16，a +a =a +a =1

24、6，n 4 8 1 11 4 8运算求得16s =11故选 b=88，点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前 n 项和公式的应用，属于中 档题19已知数列a 等差数列，且 a +a +a +a +a =10，a +a +a +a +a =20，则 a =（ ）n 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 4a1b0 c1 d2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和501974专题：计算题分析：由等差数列得性质可得：5a =10，即 a =2同理可得 5a =20，a =4，再由等差中5 5 6 6项可知：a =2a a =04 5 6解答：解：由等差数列得性质可得：a

25、+a =a +a =2a ，又 a +a +a +a +a =10，1 9 3 7 5 1 3 5 7 9故 5a =10，即 a =2同理可得 5a =20，a =45 5 6 6再由等差中项可知：a =2a a =04 5 6故选 b点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础 题20（理）已知数列a 的前 n 项和 s =n2n n8n，第 k 项满足 4a 7，则 k=（ ）ka6b7 c8 d9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和501974 专题：计算题17分析：解答：点评：2先利用公式 a =n求出 a ，再由第 k 项满足 4a 7，

26、建立不等 n k式，求出 k 的值解：a =n=n=1 时适合 a =2n9，a =2n9n n4a 7，42k97，k k8，又kn ，k=7，+故选 b本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式 a =n理运用，属于基础题的合21数列 a 的前 n 项和为 s ，若 s =2n217n，则当 s 取得最小值时 n 的值为（ ）n n n na4 或 5b5 或 6 c4 d5考点：等差数列的前 n 项和501974专题：计算题分析：把数列的前 n 项的和 s 看作是关于 n 的二次函数，把关系式配方后，又根据 n 为n正整数，即可得到 s 取得最小值时 n 的值n解答：解：因为 s =

27、2n 17n=2n又 n 为正整数，所以当 n=4 时，s 取得最小值n故选 c ，18点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题22等差数列a 中，a =2n4，则 s 等于（ ）n n 4a12b10 c8 d4考点：等差数列的前 n 项和501974专题：计算题分析：利用等差数列a 中，a =2n4，先求出 a ，d，再由等差数列的前 n 项和公式求n n 1s 4解答：解：等差数列a 中，a =2n4，n na =24=2，1a =44=0，2d=0（2）=2，s =4a +4 1=4（2）+43=4故选 d点评：本题考查等差数列的前 n 项和公式的应用，是基础题解

28、题时要认真审题，注意 先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和23若a 为等差数列，a =4，a =19，则数列a 的前 10 项和为（ ）n 3 8 na230b140 c115 d95考点：等差数列的前 n 项和50197419专题：综合题分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到和，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n 项和的公式即可 求出数列前 10 项的和解答：解：a =a +2d=4，a =a +7d=19，3 1 8 1得 5d=15，解得 d=3，把 d=3 代入求得 a =2，1所以 s =10（2）+ 10故选 c3=115点评

29、：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值，是一道 基础题24等差数列a 中，a +a =5，则前 10 项和 s =（ ）n 3 8 10a5b25 c50 d100考点：等差数列的前 n 项和；等差数列的性质501974专题：计算题分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 a +a =5，代入前 10 项和 s1 1010=运算求得结果解答：解：等差数列a 中，a +a =5，a +a =5，n 3 8 1 10前 10 项和 s =10故选 b=25，20点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前 n 项和公式的应用，求得 a +a =5，1 10是解题

30、的关键，属于基础题25设 s 是公差不为 0 的等差数列a 的前 n 项和，且 s ，s ，s 成等比数列，则 等n n 1 2 4于（ ）a1b2 c3 d4考点：等差数列的前 n 项和501974专题：计算题分析：由 s ，s ，s 成等比数列，根据等比数列的性质得到 s 1 2 422=s s ，然后利用等差数列 1 4的前 n 项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为 0，即可求出公差与首项的关系并解出公差 d，然后把所求的式子利用 等差数列的通项公式化简后，把公差 d 的关系式代入即可求出比值解答：解：由 s ，s ，s 成等比数列，1 2 4（2a

31、+d）2=a （4a +6d）1 1 1d0，d=2a 1 = = =3故选 c点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的 公式化简求值，是一道综合题26设 a =2n+21，则数列a 从首项到第几项的和最大（ ）n na第 10 项 b第 11 项 c第 10 项或 11 项 d第 12 项21考点：等差数列的前 n 项和；二次函数的性质501974 专题：转化思想分析：方法一：由 a ，令 n=1 求出数列的首项，利用 a an nn1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前 n 项和的公式，得到前 n 项的和与 n

32、 成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当 n= 时， 前 n 项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令 a 大于等于 0，列出关于 n 的不等式，求出不等式的解集即可得到 nn的范围，在 n 的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可 得到正确答案解答：解：方法一：由 a =2n+21，得到首项 a =2+21=19，a =2（n1）+21=n 1 n12n+23，则 a a =（2n+21）（2n+23）=2，（n1，nn n n1所以此数列是首项为 19，公差为2 的等差数列，+），则 s =19n+n当 n=（2）=n2+20n，为开口向下的抛物线， =10 时

33、，s 最大n所以数列a 从首项到第 10 项和最大n方法二：令 a =2n+210，n解得 n ，因为 n 取正整数，所以 n 的最大值为 10，所以此数列从首项到第 10 项的和都为正数，从第 11 项开始为负数，则数列a 从首项到第 10 项的和最大n故选 a点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前 n 项和的公式及二次函数求最值的方法得到 n 的值；也可以直接令 a 0，求出解集中的最大正整n22解答：数解，要求学生一题多解二填空题（共 4 小题） 27如果数列a 满足：n= 考点：数列递推式；等差数列的通项公式501974专题：计算题分析：根据所给的数列的递推式，看

34、出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果 解：根据所给的数列的递推式数列是一个公差是 5 的等差数列，a =3，1 = ，数列的通项是故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等 差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目28如果 f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3），且 f（1）=2，则 f（100）= 101 考点：数列递推式；等差数列的通项公式501974专题：计算题分析：由 f（n+1）=f（n）+1，xn+，f（1）=2，依次令 n=1，2，3，总结规律得23到 f（n）=n+1，由此能够求出 f（100）解答：解：f（n+1）=f（n）+1，xn+，f（1）=2，f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，f（n）=n+1，f（100）=100+1=101故答案为：101点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答29等差数列a 的前 n 项的和